Feuille 5 : Arithmétique
1. n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 Exercice 13 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n pair
Arithmétique dans Z
n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le reste de la division euclidienne.
Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1 : Démontrer que
Démontrer que pour tout entier n (n ? 1) 30n + 7 n'est jamais la somme de 3. En déduire que p2 ? 1 est divisible par 24. ???. 1. 3 est premier et ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
2 n'est pas rationnel. [000256]. Exercice 252. Montrer que ?n ? N : n(n+1)(n+2)(n+3) est divisible par 24 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120.
NOMBRES ENTIERS
4) 7 est un diviseur de 24. Correction. 1) VRAI : 36 est un multiple de 12 car 36 = × 12 avec =3. 2) FAUX : 28 n'est pas un multiple de 8 car il
Arithmétique dans Z 1 Divisibilité division euclidienne
Exercice 4 Démontrer que le nombre 7n + 1 est divisible par 8 si n est impair ; dans le cas n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 n(n + 1)(n + ...
Extrait de cours maths 3e Multiples et diviseurs
Exercice 5. 1. L'entier n est un multiple de 12. Écrire n sous forme littérale. 2. En utilisant cette écriture montrer que n est un multiple de 4. 3.
Exercices de mathématiques - Exo7
n(n+1)(n+2)(n+3)+1 = n4 +6n3 +11n2 +6n+1 = (n2 +3n+1)2 avec n2 +3n+1 entier naturel. Correction de l'exercice 2 ?. 1. Soit n un entier relatif. Si n est
Cours darithmétique
Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 36* Déterminer toutes les suites (an)(n ? 1) d'entiers ...
Devoir n°2 - 2016 corrigé
conclusion Pour tout entier naturel n 44n+2 - 3n+3 est divisible par 11. Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas.
Feuille d’exercices n02 - CNRS
1 Montrer que 10n+1 9n 10 est divisible par 9 2 On appelle u n le nombre dont l’ ecriture d ecimale est 1:::1 (avec n fois le chi re 1) Exprimez u n en fonction de n 3 Calculez u 1 + u 2 + :::+ u n en fonction de n 4 D eduisez-en que 10n+1 9n 10 est divisible par 81 Exercice 6 (Application des congruences : la preuve par 9)
DIVISIBILITE DANS : CARACTERE DE DIVISIBILITE PAR 3 ET PAR 9
Exercice 8 Montrer que 8n 2N : n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24; n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120: Exercice 9 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carr es d’entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4 n’est jamais egal a 3 Exercice 10 D emontrer que le nombre 7n + 1 est divisible
Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie II - AlloSchool
3 – Montrer que 291 n’est pas premier et que 127 est premier Montrer que 291 n’est pas un nombre premier ? On teste la divisibilité de 291 par 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17 ? Or 291 impair donc n’est pas divisible par 2 ? On calcule 291 17;0587 ? On a 2 + 9 + 1 = 12 donc 291 est divisible par 3 D’où 291 n’est pas un nombre
Feuille d'exercices o17 : Polynômes - CNRS
1 Montrer que ? est stable par produit (on pourra utiliser des polynômes complexes bien choisis) 3 Inversement soit P?R[X] tel que ?x?RP(x) ? 0 : (a)Montrer que toutes les racines réelles de Psont d'ordre de multiplicité pair
TD : Exercices de logique - univ-angersfr
nn k n k; 3 6 ( 1)(2 1) ² 0 + + ? = = nn n k n k; 4 3 2 0 2 ( 1) + ? = = nn k n k 4 Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence la propriété suivante : P(n) : 10n - (-1)n est divisible par 11 Exercice 18 a Partager un carré en 4 carrés puis en 6 7 8 9 et 10 carrés b Peut-on partager un carré en 3 ou 5 carrés?
Quels sont les nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9 ?
NB : Ii y a des nombres qui sont à la fois divisible par 3 et par 9. Exemple3 : 11745 est à la fois divisible par 3 et par 9 car 1+1+7+4+5= 18, qui est à la fois multiple de 3 et de 9 Un nombre est divisible par 3 ou par 9 si la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 3 ou de 9.
Quels sont les critères de divisibilité d’un nombre entier par un autre non nul ?
On revient sur la division euclidienne d’un nombre entier par un autre non nul et on précise le vocabulaire qui y est attaché : dividende, diviseur, quotient et reste. On aborde les notions de multiple et de diviseur et on énonce les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9. Un problème d’œufs…
Comment calculer les expressions non divisibles ?
4 x 2 (16 – 4) = 8 x 12 = 96 = 3 x 32 7 x 5 (49 – 25) = 35 x 24 = 3 x 8 x 35 Expressions non divisibles Ces expressions sont premières pour le seul cas où p = 3.
Comment calculer la divisibilité par 3 ?
Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas. Exemples: 7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc. Quotient d'une division par 3 L'entierde la divisionpar 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo3 par 3. Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3
EXERCICE 1:
Démontrer que pour tout entiern(n?1), 30n+ 7 n"est jamais la somme de deux nombres premiers.Si l"on excepte 2, tous les nombres premiers sont impairs. Onsuppose que 30n+ 7 peut s"écrire comme la somme
de deux nombres premiers tous les deux différents de 2. La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair et
visiblement 30n+ 7 est impair pour toutn: une telle décomposition n"est donc pas possible. Si pour toutn?1, il existeppremier (p?35), tel que 30n+ 7 = 2 +palorsp= 30n+ 5 qui est clairement divisible par 5. On aboutit à une contradiction puisquepest premier.EXERCICE 2:
pest un nombre premier etp?5.1. Démontrer quep2-1 est divisible par 3.
2. Démontrer quep2-1 est divisible par 8.
3. En déduire quep2-1 est divisible par 24.
1. 3 est premier et 3 est premier avecp(p?5), par application du petit théorème de Fermat, on obtient
p3-1≡1 (3)?p2≡1 (3) d"oùp2-1 est divisible par 3.
2.p?5 doncpest impair et il existek?Ntel quep= 2k+ 1 d"oùp2-1 = 4k(k+ 1). Or (déjà vu),k(k+ 1)
est un nombre pair car le produit de deux nombres entiers consécutifs comporte obligatoirement un facteur pair.
Ainsip2-1 est divisible par 8.
3. On utilise ici une conséquence du théorème de Gauss : sia|betb|cavecaetbpremiers entre eux alorsab|c. 3 et
8 sont premiers entre eux et divisentp2-1 doncp2-1 est divisible par 24.
EXERCICE 3:
p >3 est un nombre premier.1. Quels sont les restes possibles dans la division deppar 12?
2. Prouver quep2+ 11 est divisible par 12.
1. Les restes de la division d"un entier par 12 sont tous les entiers compris entre 0 et 11. Compte-tenu de la primalité
dep, certaines valeurs de restes sont impossibles : •Aucun reste pair n"est possible, sinonpserait pair (il s"écrirait 12q+ 2k);•Aucun reste ayant un diviseur commun supérieur ou égal à 2 avec 12 n"est possible : soitrun tel reste, on
auraitp= 12q+ravec 12 etrdivisible pard,ddiviserait alorsp, impossible puisquepest premier; •Les seuls restes possibles sont donc 1,5,7 et 11.2. Dans ces quatre cas, on vérifie aisément quep2+ 11≡0 (12).
EXERCICE 4:
Les deux questions sont indépendantes.
My Maths Space1 sur 3
TS spécialitéExercices sur les nombres premiers2013-20141. Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un carré parfait divsible par 56.
2. Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre dansN, l"équation :x(x+ 1)(2x+ 1) = 84
1. On utilise la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, 56 = 7×23. Un nombre répondant à
la question comportera trois chiffres et aura une écriture dela forme 72x×22y= (2y×7x)2. On est tenté par
x= 1 ety= 2 et l"on obtient 72×24= 784 = 282est un carré parfait divisible par 56.2. 84 = 2
2×3×7 donc 84 possède 3×2×2 = 12 diviseurs.D12={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}.
S"il existexsolution dansNde l"équationx(x+ 1)(2x+ 1) = 84 alorsx,x+ 1 et 2x+ 1 sont des diviseurs de
84. Il ne reste plus qu"à " chercher » parmi les diviseurs de 84, le triplet d"entiers qui convient.xetx+ 1 sont
deux entiers consécutifs :x= 3 est la seule solution de l"équation.EXERCICE 5:
Le produit de deux entiers naturelsaetb(a < b) est 11340. on notedleur PGCD.1. (a) Pourquoid2divise-t-il 11340?
(b) Pourquoid= 2α×3βavec 0?α?1 et 0?β?2?2. On sait de plus queaetbont six diviseurs communs etaest un multiple de 5.
(a) Démonter qued= 18. (b) En déduireaetb.1. (a)d|aetd|bdoncd2|ab, c"est à dired2|11340.
(b) la décomposition de facteurs premiers de 11340 est 22×34×5×7. Ainsi tous les diviseurs de 11340 admettent
une décomposition en facteurs premiers de la forme 2 α×3β×5c×7davec (α,β,c,d)?N4et 0?α?2 ,0?β?4, 0?c?1 et 0?d?1.
dest l"un de ces diviseurs doncd2= 22α×32β×52c×72det compte-tenu des " contraintes » qui doivent
être vérifiées parα,β,cetd,αne peut être que 0 ou 1 etβne paut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2.
d"oùd= 2α×3βavec 0?α?1 et 0?β?2.2. (a) Les diviseurs communs deaet debsont les diviseurs de leur PGCD (cela se démontre avec l"algorithme
d"Euclide et les propriétés de divisibilité). Ainsiddoit avoir six diviseurs. Au regard de la question 1.b,
d? {1,2,3,6,9,18}et seul 18 admet 6 diviseurs doncd= 18.(b) 18 = 2×32,d|aetd|bconduisent à écrirea= 2×32×5s×7tetb= 2×32×5x×7yavec (s,t,x,y)?({0,1})2
(au regard de la décomposition en produit de facteurs premiers de 11340).5 est un diviseur deaimpliques= 1 (et doncx= 0) puisa < bimpliquey= 1 (et donct= 0).
les nombres cherchés sonta= 90 etb= 126.EXERCICE 6:
αetβsont deux entiers naturels etn= 2α3β. Le nombre de diviseurs den2est le triple du nombre de diviseurs den.1. Prouver que (α-1)(β-1) = 3.
2. En déduiren.
My Maths Space2 sur 3
TS spécialitéExercices sur les nombres premiers2013-20141.npossède (α+ 1)(β+ 1) diviseurs etn2= 22α32βadmet (2α+ 1)(2β+ 1) diviseurs.
On a donc
(2α+ 1)(2β+ 1) = 3(α+ 1)(β+ 1) ?4αβ+ 2α+ 2β+ 1 = 3αβ+ 3α+ 3β+ 3 ?αβ-α-β+ 1 = 3 ?(α-1)(β-1) = 32. Les deux seuls couples (α,β) possibles sont (2,4) et (4,2) donnant deux possibilités pourn.n? {144,324}.
EXERCICE 7:
Un entierna 5 diviseurs etn-16 est le produit de deux nombres premiers.1. Prouver quen=p4avecppremier.
2. Écriren-16 sous forme d"un produit de trois facteurs dépendant dep.
3. En déduire la valeur den.
1. De la décomposition denen produit de facteurs premiers :n=pα11×...×pαkk, αi?N?,?i? {1,2,...,k}, on
peut écrire que le nombre de diviseurs den,k? i=1(αi+1), vaut 5 = 1×5. Compte-tenu des conditions sur lesαietde la décomposition de 5, il existe un seul nombre premierpet un seulαtel quen=pαavecα+1 = 5 d"oùα= 4.
2.n-16 =p4-24= (p2-22)(p2+ 22) = (p-2)(p+ 2)(p2+ 4).
3.n-16 est le produit de deux nombres premiers,n=p1p2avec (p1< p2), doncn-16 n"admet que 4 diviseurs
1,p1,p2,p1p2. D"après la question précédente,p-2,p+2,p2+4 sont des diviseurs den-16, aucun d"eux ne peut
être égal àp1p2car cela remettrait en cause la décomposition den-16 en produit de deux facteurs premiers.
On a donc???p-2 = 1
p+ 2 =p1 p2+ 4 =p2?p= 3,p1= 5 etp2= 13 , ainsin= 34= 81 etn-16 = 65 = 5×13.My Maths Space3 sur 3
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] التكوين المهني بالمغرب
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