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Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique. EXERCICE 3 (7 points) (commun à tous les http ://www.maths-france.fr. 1 c? Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique. EXERCICE 2 : corrigé. 1) a) • z1 = http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2014. Enseignement spécifique. EXERCICE 1 : corrigé http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014. Tous droits réservés.



Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique. EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les http ://www.maths-france.fr. 1 c? Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique. EXERCICE 1 (6 points) (commun à tous les http ://www.maths-france.fr. 1 c? Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

e) Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. http ://www.maths-france.fr. 1 c? Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique. EXERCICE 1 (5 points) (commun à tous les http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique. EXERCICE 1 (4 points) (commun à tous les http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014.



Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique

L'intervalle I de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la variable F est http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014. Tous droits réservés.



Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

e) Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC]. http ://www.maths-france.fr. 1 c Jean-Louis Rouget 2014.

Centresétrangers201 4.Enseignementspécifique

EXERCICE3(7points)(c ommu nàtousl escandidats)

Lesparti esAetBsontindépend ant es

Uneima genumériqueenno iretblancestcomposéedepetits carrés(pix els)dontlacouleurvadublanc aunoiren

passantpartouteslesnua ncesdegr is.Chaquenuanceest codéepa runréelxdel afaçon suivante: •x=0pourlebla nc; •x=1pourlenoi r;

•x=0,01; x=0,02etai nsidesuitejusq u'àx=0,99parpasde0,01pourtoutes lesnuancesinterméd iaires

(duclai raufoncé).

L'imageA,ci-après,est composée dequatrepixelsetdonneu néchantillondecesnuancesavecleurscodes.

Unlo gicielderetouched'imageu tilised esfonctionsnumériquesdites"fon ctionsderetou ch e».

Unefon ctionfdéfiniesurl'in terval le[0;1]estdite"fonctionderetouche»siellepossèdelesquatrepropriétés

suivantes: •f(0)=0; •f(1)=1; •festconti nuesurl'intervalle[0;1]; •festcrois santesurl'intervalle[0;1]. Unenuan cecodéexestdite assombriepar lafonctionfsif(x)>x,etéclaircie,sif(x)Ainsi,sif(x)=x 2 ,unpixeldenuancecodée0,2prendralanuanceco dée0,2 2 =0,04.L'imageAseratransformée enl' imageBci-dessous.

Sif(x)=

x,lanuancecodée0,2prendralanuancec odée ci-dessous.

0,200,40

0,600,80

0,040,16

0,360,64

0,450,63

0,770,89

ImageAImageBIma geC

PartieA

1)Onco nsidèrelafonctionf

1 définiesurl'i nterva lle[0;1]par: f 1 (x)=4x 3 -6x 2 +3x. a)Démontrerquelafonctionf 1 estunef onctionder etouche. b)Résoudregraphiquement l'inéquationf 1 laco pie,enfaisantappa raîtrele spointillésutiles. Interprétercerésultatentermesd 'éclai rcissementoud'assombrissement.

2)Onco nsidèrelafonctionf

2 définiesurl'i nterva lle[0;1]par: f 2 (x)=ln [1+( e-1)x].

Onad metquef

2 estunef onctionder etouche. Ondé finitsurl'intervall e[0;1]lafo nctiongpar:g(x)=f 2 (x)-x. a)Établirque,pourtout xdel' intervalle[0;1]:g (x)= (e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

b)Déterminerlesvariationsdela fonctiongsurl'in tervalle[0;1].

Démontrerquelafonctiongadmetunmaximum en

e-2 e-1 ,maximumdontunevaleurarrondieau centièmeest0,12.

c)Établirquel'équatio ng(x)=0,05admetsurl'int ervalle[0;1]deuxsolut ionsαetβ,avecα<β.

Onad mettraque:0,08<α<0,09etqu e:0,85<β<0,86.

PartieB

Onre marquequ'unemodification denuancen'estperce ptiblevisuellementquesilavaleurabsoluede l'écar tentr ele

codedelan uancein itiale etlecodedelanuan cemodifiéeestsupérieureouégaleà0,05. http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.

1)Dansl'algo rithmedécritci-dessous,fdésigneunefonctionder eto uche.

Quelestler ôledeceta lgorit hme?

Variablesx(nuanceinitiale)

y(nuanceretouchée)

E(écart)

k

Initialisationcprendlavale ur0

TraitementPourkallantde0à100,faire

xprendlavale ur k 100
yprendlavale urf(x)

Eprendlaval eur|y-x|

SiE!0,05,faire

cprendlavale urc+1 Finsi

Finpour

Sortie:Afficherc

2)Quellevaleurafficheracetalgori thmesionl 'appliqueàlafonctionf

2 définiedansladeux ièmeque stion dela partieA?

PartieC

Danscette partie,ons'inté resseàdesfonctionsde retouc hefdontl'effetestd' éclaircir l'imagedanssaglobalité,

c'est-a-diretellesque,pourtoutréelxdel' intervalle[0;1],f(x)"x. Ondé cidedemesurerl'éc lairci ssementglobaldel'ima geencalculantl'aireA f dela portio ndeplancompriseentre

l'axedesabs cisses,lac ourbereprésentativedelafonct ionf,etlesdroitesd'équationsrespectivesx=0etx=1.

0.5 1.0

0.51.0

0

Entredeuxfonc tions,celleq uiaurapoure

ff etd'éc laircirleplusl'imageestcellecorrespondantàlapluspetiteaire.

Ondé sirecomparerl'e

ff etdesd euxfonct ionssuivante s,dontonadmetqu'ellessontdesfonctionsderetouche: f 1 (x)=xe (x 2 -1) f 2 (x)=4x-15+ 60
x+4

1)a) CalculerA

f1 b)CalculerA f2

2)Dece sdeuxfonc tions,laquel leapoureffetd'éc laircirleplusl' image?

http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

FEUILLESANNEXES

Annexe2,exercice 3

0,51 0,5 1 C f1 O http://www .maths-france.fr3c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. Centresétrangers201 4.Enseignementspécifique

EXERCICE3:corrigé

PartieA

1)a) •f

1 (0)=0etf 1 (1)=4-6+3=1. •Lafo nctionf 1 estconti nuesur[0,1]enta ntquefonction polynôme. •Lafo nctionf 1 estdériv ablesur[0,1]etpo urtoutxde[0,1], f 1 (x)=12x 2 -12x+3=3(4x 2 -4x+1)=3(2x-1) 2

Lafo nctionf

1 estpos itivesur[0,1]etd onclafonction f 1 estcrois santesur[0,1].

Onam ont réquelafonctionf

1 estunef onctionde retouche. b)Ré solutiongraphiquedel'inéquationf 1 (x)!x. 0,51 0,5 1 C f1 O

Enno tantquef

1 (0,5)=0 ,5,l'ensembledessolutionsdel'inéquationf 1 (x)!xest 1 2 ,1

Cecisignifi equelesgrisclairs(co désparunr éelxinférieurà0,5)sontassombrisetlesgrisfoncés(codésparunréel

xsupérieurà0,5)sontéclaircis.

2)a) Pourtoutxdel' intervalle[0;1],1+(e-1)x"1etenp art iculier,1+(e-1)x>0.Onendéduitquelafonction

gestdériv ablesur[0,1]etpo urtoutxde[0,1], g (x)= e-1

1+(e-1)x

-1= (e-1)-(1+( e-1)x)

1+(e-1)x

(e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

pourtoutré elxde[0,1],g (x)= (e-2)-(e-1)x

1+(e-1)x

b)Pourtoutré elde[0,1],1+(e-1)x>0.Donc,pourtoutréelxde[0,1],g (x)estdusi gnede(e-2)-(e-1)x. Or, (e-2)-(e-1)x>0⇔(e-2)>(e-1)x e-2 e-1 >x(care-1>0) ⇔x< e-2 e-1

Demê me,(e-2)-(e-1)x=0⇔x=

e-2 e-1 avec e-2 e-1 =0,418...Onno teque e-2 e-1 ∈[0,1].Deplus, http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. g e-2 e-1 =ln

1+(e-1)

e-2 e-1 e-2 e-1 =ln( e-1)- e-2 e-1 =0,12(arrondieaucentièm e). Onp eutdresserle tableaudevariationsd elafon ctiong. x0 e-2 e-1 1 f (x)+0-

0,12...

f 00 Onam ont réenparticulierqu elafon ctiongadmetunmaximum en e-2 e-1 ,maximumdontunevaleurarrondieau centièmeest0,12. c)Laf onctiongestconti nueetstrictementcroissant esu r 0, e-2 e-1 .Donc,pourtoutréelkde g(0),g e-2 e-1 [0;0,12...],l'équationg(x)=kadmetuneuniq uesolutiond ans 0, e-2 e-1 l'équationg(x)=0,05admetuneuniqu esolutionnot éeαdans 0, e-2 e-1 etmêm edans 0, e-2 e-1 Lafo nctiongestconti nueetstrictementdécroissan tes ur e-2 e-1 ,1 .Donc,pourtoutréelkde g(1),g e-2 e-1 [0;0,12...],l'équationg(x)=kadmetuneuniq uesolutiond ans e-2 e-1 ,1 l'équationg(x)=0,05admetuneuniq uesolutionn otéeβdans e-2 e-1 ,1 etmêm edans e-2 e-1 ,1

PartieB

1)L'algorithmeanalyseles101nuancesdegriscodée s0,0,01,0,02,...,0,99et1.Lecompteurcdénombreles

nuancesdegrisoùlam odifica tionserae ff ectivementperceptible.C'estce qu'affichel'algorit hme.

2)Onra ppelleque0,08<α<0,09etqu e0,85<β<0,86.Letableaudevariationsdelafonctiongétabliàla

question2)b)delaparti eAmontrequela modifi cation estperceptiblequandx∈[α,β].Donc,l'algorithmecompte

lesvaleu rs0,09,0,10,0,11,...,0,84,0,85.

Ilre vientaumêmedecompterl enomb red'entiersc ompris ausenslar geentre9et85.Ilya85entierscomprisau

senslargee ntre1et85et8entierscomprisausen slargeentre1et8.Ilyadonc85-8=77entierscomprisausen s largeentre9et85.

Sio nl'appli queàlafonctionf

2 ,l'algorithmea ffi chera77.

PartieC

1)a) Lafo nctionf

1 estconti nueetpositivesur[0,1].Donc A f1 1 0 xe x 2 -1 dx= 1 2 e x 2 -1 1 0 1 2 e 0 1 2 e -1 1 2 1- 1 e =0,32(arrondià10 -2 http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. 0.5 1.0

0.51.0

0 b)Lafo nctionf 2 estconti nueetpositivesur[0,1].Donc A f2 1 0

4x-15+

60
x+4 dx= 2x 2 -15x+60 ln(x+4) 1 0 =-13+60ln (5) -60ln(4) =-13+60 ln 5 4 =-13+60ln (1,25)=0 ,39(arrondià10 -2 0.5 1.0

0.51.0

0

2)Donc,lafoncti onf

1 estcelle quiéclaircit leplusl'i mage. http://www .maths-france.fr3c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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