[PDF] Centres étrangers 2012. Enseignement spécifique

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Centresétrangers201 2.Enseignementspécifique

EXERCICE1(4points)(c ommu nàtousl escandidats)

Onco nsidèreuncubeABCDEFGHd'arêtedelongueur1.Onseplacedanslerepèreorthonormal A; AB; AD; AE

Onco nsidèrelespointsI

1; 1 3 ;0 ,J 0; 2 3 ;1 ,K 3 4 ;0;1 etL(a;1;0)avecaunno mbreréelapparte nant

àl'intervalle[0;1].

B A C D F EH G

Lespartie sAetBsontindépenda nte s.

PartieA

1)Déterminerunereprésentation paramétr iquedeladroite(IJ).

x= 3 4 +t a- 3 4 y=t z=1-t ,t ∈R.

3)Démontrerquelesdroites(IJ)et(KL)sontsécante ssi,etseulementsi,a=

1 4

PartieB

Danslasui tedel' exercice,onpose a=

1 4

Lepo intLapourcoordonnées

1 4 ;1;0

1)Démontrerquelequadrilatè reIKJLestunpa rallélo gramme.

2)Lafi gureci-dessousfai tapparaîtrel'intersectiond uplan(IJK)aveclesfac esducubeABCDEFGH

tellequ'ellea étéobtenueàl'aided'unl ogi cielde géométried ynamique. Ondé signeparMlepo intd'intersectio nduplan(IJK)etde ladroi te(BF)etpa rNlepo int d'intersectionduplan(IJK)etde ladroi te(DH). http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. B A C D F EH G I K J L M N Lebutd ecettequ estion estdedéterminer lescoordonnéesdespointsMetN. a)Prouverquelevecteur ndeco ordonnées(8;9;5)estunv ecteurnor malauplan(IJK). b)Endé duirequeleplan(IJK)apouréquation8x+9y+5z-11=0. c)Endé duirelescoordonnéesde spointsMetN. http://ww w.maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés. Centresétrangers201 2.Enseignementspécifique

EXERCICE1

B A C D F EH G I J K

1)Lepo intIapourcoordonnées

1, 1 3 ,0 etle vecteur

IJapourcoordonnées

-1, 1 3 ,1 Unerep résentationparamétriquedeladroite(IJ)estdonc x=1-t y= 1 3 t 3 z=t ,t∈R.

2)Lepo intKapourcoordonnées

3 4 ,0,1 etle vecteur

KLapourcoordonnées

a- 3 4 ,1,-1 Unerepr ésentationparamétriquedeladroite(KL)estdonc x= 3 4 +t a- 3 4 y=t z=1-t ,t ∈R.

3)SoientM

1-t, 1 3 t 3 ,t ,t∈R,unpointdeladroite(IJ)etM 3 4 +t a- 3 4 ,t ,1-t ,t ∈R,unpoint dela droite (KL). M=M 1-t= 3 4 +t a- 3 4 1 3 t 3 =t t=1-t t=1-t

1-(1-t

3 4 +t a- 3 4 1 3 1-t 3 =t t=1-t 4t 3 2 3 t 3 4 +t a- 3 4 t 1 2 t= 1 2 1 2 3 4 1 2 a- 3 4 t 1 2 t= 1 2 1 2 a= 1 2 3 4 3 8 t 1 2 t= 1 2 1 2 a= 1 8 t 1 2 t= 1 2 a= 1 4

Sia̸=

1 4 ,lesystèmeprécedentn'apasdesolutionouencorelesdroites(IJ)et(KL)n'ontaucunpoin tcommun. Sia= 1 4 ⇔t=t 1 2 .Danscecas,lesdroites(IJ)et(KL) ontenc ommunle pointobtenuquandt= 1 2 out 1 2

àsavoirlepointΩdeco ordonnées

1 2 1 2 1 2

Enr ésumé,

lesdroit es(IJ)et(KL)sontsécant essietseulementsia= 1 4 http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

PartieB

1)Lev ecteur

IKapourcoordonnées

1 4 1 3 ,1 demê mequelevecte ur

LJ.Donc,

IK=

LJouen corelequadrilatè re

IKJLestunpa rallélo gramme.

B A C D F EH G I J K L

2)a) Lesvect eurs

IJet

IKsontdeuxve cteursnoncol inéairesduplan(IJK).

Pourvérifi erquelevecteurnonnul

nestunvect eurnorm alauplan(IJK),ilsuffitdevérifierquelevecteur nest orthogonalauxvecteu rs IJet IK. Onra ppellequelespointsI,JetKontpourc oordonnéesre spectives 1, 1 3 ,0 0, 2 3 ,1 et 3 4 ,0,1

Donclesvec teurs

IJet

IKontpour coordonnéesre spectives

-1, 1 3 ,1 et 1 4 1 3 ,1 n.quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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