[PDF] Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique

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Centres étrangers 2011. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (5 points) (commun à tous les candidats) DH E A F BG C M I J

La figure ci-contre représente un cube

ABCDEFGHd"arête1.

On désigne parIetJles milieux respectifs

des arêtes[BC]et[CD].

SoitMun point quelconque du segment[CE].

Dans tout l"exercice, on se place dans le

repère orthonormal

A;-→AB,--→AD,-→AE?

1) a)Donner, sans justification, les coordonnées des pointsC,E,IetJ.

b)Justifier l"existence d"un réeltappartenant à l"intervalle[0;1], tel que les coordonnées du pointM

soient(1-t;1-t;t)(on commencera par déterminer une représentation paramétrique de la droite(CE)).

2) a)ExprimerIM2etJM2en fonction det.

b)Que peut-on en déduire?

3)Le but de cette question est de déterminer la position du pointMsur le segment[CE]pour

laquelle la mesure de l"angle ?IMJest maximale. On désigne parθla mesure en radian de l"angle?IMJ.

a)En admettant que la mesureθappartient à l"intervalle[0;π], démontrer que la mesureθest

maximale lorsque sin?θ 2? est maximal. b)En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueurIMest minimale. c)Étudier les variations de la fonctionfdéfinie sur l"intervalle[0;1]par : f(t) =3t2-t+1 4. d)En déduire qu"il existe une unique positionM0du pointMsur le segment[EC]telle que la mesure de l"angle ?IMJsoit maximale. e)Démontrer que le pointM0est le projeté orthogonal du pointIsur le segment[EC]. http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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