[PDF] Centres étrangers 2013. Enseignement spécifique

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Centresétrangers201 3.Enseignementspécifique

EXERCICE1(6points)(c ommu nàtousl escandidats)

Unin dustrielfabriquedesvannesél ectroniquesdestinéesàdescircuitshydrauliques.LesquatrepartiesA,B,C,

Dsontindépendantes.

PartieA

Ladu réedevied'un evanne, expriméeenheu res,estunevariablealéa toireTquisuit laloiexponent ielled e

paramètreλ=0,0002.

1)Quelleestladurée deviemoye nned' unevanne?

2)Calculerlaprobabilité ,à0,001près,queladuréede vied'unev annesoit supérieure à6000heures.

PartieB

V 2 V 3 V 1

Avectrois vannesidentique sV

1 ,V 2 et V 3 ,onfabriquelecircuithydraulique ci-contre.Lecircuitestenétatd e marchesiV 1 estenétat dem archeou siV 2 etV 3 leso ntsimultanéme nt.

Onas simileàuneexpériencealéa to irelefait quechaquevannees toun'estpa senéta tdemarcheaprès6000

heures.Onnote: •F 1 l'événement:"lavanneV 1 estenétat dem archeaprès 6000heures». •F 2 l'événement:"lavanneV 2 estenétat dem archeaprès 6000heures» •F 3 l'événement:"lavanneV 3 estenétat dem archeaprès 6000heures».

Onad metquelesévéne mentsF

1 ,F 2 etF 3 sontdeuxà deuxindépend ant setontchacu nuneprobabilitéégale

à0,3.

1)L'arbreprobabiliste ci-contrereprésente

unepar tiedelasituation.Re produi recet arbreetp lacerle sprobabilitéssurle s branches.

2)DémontrerqueP(E)=0,363.

3)Sachantquelecircuit estené tatdem arche

après6000heures,calculerlapr obabilitéque lava nneV 1 soitenétat demarc heàcemo- mentlà.Arr ondiraumil lième. F 1 F 1 F 2 F 3

PartieC

L'industriela

ffi rmequeseul ement2%desvannesqu'ilfabriquesontdéfectueuses.Onsupposequecetteaffirmation

estvrai e,etl'onnoteFlava riablealéatoireégaleàlaf réquencedevannesdéfe ctueusesdansun échantillonal éatoir e

de400vannesprisesdan slaproductiontotal e.

1)Déterminerl'intervalleIdefluct uationasymptotiqueauseuil de95%delavariableF.

2)Onch oisit400vannesauhasardda nslapr oduction.Onassimi lecechoixàun tiragealéatoirede 400vannes,

avecremise ,danslaproduction.

Parmices400vannes,10sontdéfect ueuses.

Auvu deceré sultatp eut-onr emettreencause,auseuil de95%,l' affirmationdel'industri el?

PartieD

Danscettepart ie,lesprobabil itéscalculéesseron tarrondiesa umillièm e. http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.

L'industrielcommercialisesesvannesau prèsdenombreuxclients.Lademandem ensuelle estunevariablealéatoire

Dquisuit laloinormal ed'esp éranceµ=800etd' écart-typeσ=40.

1)DéterminerP(760!D!840).

2)DéterminerP(D!880).

3)L'industrielpenseques'ilconstitueu nstockmensuel de880vannes,iln'aurapasp lusde1%dechanced'être

enru pturedestock.A-t-ilra ison? http://ww w.maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. Centresétrangers201 3.Enseignementspécifique

EXERCICE1

PartieA

1)Lad uréedeviemoyen ned'un evanneestl 'espérancedelavariablealéatoireT.

Onsa itquel'espé rancedela loiexponentielledeparamètreλest 1 etdo ncl'espérancede Test 1

0,0002

=5000.

Unevan nedureenmoyenne 5000heures.

2)

P(T!6000)=1-P(T"6000)=1-

6000
0 e -λt dt=1- -e -λt 6000
0 =1- -e

0,0002×6000

+e 0 =1+e -1,2 -1=e -1,2 Donc,

P(T!6000)=e

-1,2 =0,301à0,001près.

PartieB

1)Puisquelesévénement sF

1 etF 2 sontindépe ndants,onsaitquelesévénementsF 1 etF 2 sontindépe ndants.Par suite,P F 1 (F 2 )=P(F 2 )=0,3.Demême,P F 1 ∩F 2 (F 3 )=P(F 3 )=0,3. F 1 F 1 F 2 F 3 0,3 0,7 0,3 0,3

2)D'aprèslaformuledes proba bilitéstotales

P(E)=P(F

1 )+P F 1 ∩(F 2 ∩F 3 =P(F 1 )+(1-P(F 1 ))×P(F 2 )×P(F 3 )=0,3+0,7×0,3×0,3 =0,3+0,063=0,363.

P(E)=0,363.

3)Lapr obabilitédemandéeestP

E (F 1 P E (F 1

P(E∩F

1 P(E) P(F 1 )×P F 1 (E) P(E)

0,3×1

0,363 0,3 0,363 300
363
100
121
etdo nc P E (F 1 100
121
=0,826arrondiaumilli ème .

PartieC

1)Ici,n=400etp=0,02.Onnotequel'onan!30,np=8etdo ncnp!5etn(1-p)=392etdo ncn(1-p)!5.

L'intervalleIdefluct uationasymptotiqueauseui lde95%delavariableFest http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

0,02-1,96

0,02×0,98

400
,0,02+1,96

0,02×0,98

400
=[0,00628;0,03372].

2)Lafr équenceobservéeestf=

10 400
questionprécédente. Donc,onnepeut pasrem ettre encause,ause uilde95%,l' affirmationdel'industri el.

PartieD

1)Lacal culatricefournitP(760"D"840)=0,683arrondiaumillième (lecoursditqueP(µ-σ"D"µ+σ)≈0,68).

2)Lacal culatricefournitP(D"880)=0,9772...etdo ncP(D"880)=0,977arrondiaumilli ème .

3)Lapr obabilitéd'êtreenrupturedestockest

p(D>880)=1-P(D"880)=0,0227..., soitunpeu plusqu e2,2%dechance.Donc,l'industrielatort. http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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