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Lycée JANSON DE SAILLY06 novembre 2017

VECTEURS DU PLAN2nde10

INOTION DE VECTEUR

1PARALLÉLOGRAMME

DÉFINITION

Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si ses diagonales ont le même milieu

A B CD OAB C D O parallélogramme aplati

PROPRIÉTÉS

— Un quadrilatèreABCDest un parallélogramme si, et seulement si (AB)//(DC) et (AD)//(BC). — Dans un parallélogramme les côtés opposés ont la même longueur.

REMARQUE

Dire que dans un quadrilatère, il y a deux côtés opposés parallèles et de même longueur ne suffit pas pour

conclure que ce quadrilatère est un parallélogramme. A B DC Dans le quadrilatèreABCDnous avons (AB)//(CD) etAB=CD, pourtantABCDn"est pas un parallélogramme.

2SENS ET DIRECTION

AB — Lorsque deux droites sont parallèles, on dit qu"elles ont même direction. — Une direction étant indiquée par la donnée d"une droite (AB), il y a deux sens de parcours dans cette direction : soit deAversB, soit deBversA.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur19

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VECTEURS DU PLAN2nde10

3TRANSLATION

A M N PQ F1 B R S TU F2

Le glissement qui permet d"obtenir la figureF2à partir de la figureF1peut être décrit de façon précise par

trois caractères : — ladirectiondu glissement est donnée par la droite(AB);

— lesensdu glissement est celui deAversB;

— ladistancedu glissement est égale à la longueur du segment[AB]. On dit que la figureF2est l"image de la figureF1par la translation de vecteur# »AB.

REMARQUE

Les vecteur

# »NSet# »PTsont aussi des vecteurs de la translation de vecteur# »AB, on dit qu"ils sont égaux. On

note alors :# »AB=# »NS=# »PT

DÉFINITION

SoientAetBdeux points du plan.

[AD] et [BC] aient le même milieu. Cette translation est la translation de vecteur# »AB.

Cas général

A CD B O ABDCest un parallélogrammeCas particuler oùA,BetCsont alignésAB CD O

ABDCest un parallélogramme aplati

IIVECTEURS

On le note# »AB.

1ÉGALITÉ DE DEUX VECTEURS

Deux vecteurs sont égaux s"ils sont associés à la même translation.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur19

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VECTEURS DU PLAN2nde10

DÉFINITION

AB CD A,B,CetDsont quatre points du plan. Les définitions suivantes sont équivalentes :

# »AB=# »CDsi, et seulement si,Dest l"image du pointCpar la translation de vecteur# »AB.

—# »AB=# »CDsi, et seulement si, les segments [AD] et [BC] ont le même milieu. —# »AB=# »CDsi, et seulement si,ABDCest un parallélogramme.

EXEMPLE:LES TROIS PARALLÉLOGRAMMES

ABCDetABEFsont deux parallélogrammes. Montrons queDCEFest un parallélogramme. A B C D EF —ABCDest un parallélogramme alors,# »AB=# »DC. —ABEFest un parallélogramme alors,# »AB=# »FE.

Par conséquent,

# »DC=# »FEdonc le quadrilatèreDCEFest un parallélogramme.

2REPRÉSENTATION D"UN VECTEUR

Devant des égalités du type# »AB=# »DC=# »FE= ···, on dit que les vecteurs# »AB,# »DC,# »FE, ... sont des

représentants du vecteur#»u:#»u=# »AB=# »DC=# »FE=···

Le vecteur

# »AA=# »BB=···est appelé le vecteur nul, noté#»0.

Soit O un point du plan. Pour tout vecteur#»u, il existe un un pointMunique tel que#»u=# »OM.

#»u # »OM OM

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VECTEURS DU PLAN2nde10

Si

#»un"est pas le vecteur nul, les pointsOetMsont distincts. Le vecteur#»uest caractérisé par :

— Sa direction : c"est celle de la droite

(OM).

— Son sens : c"est le sens deOversM.

— Sa norme notée??#»u??: c"est la distanceOM.

IIIADDITION VECTORIELLE

1SOMME DE DEUX VECTEURS

Soit trois pointsA,BetC.

Si on applique la translation de vecteur# »ABsuivie de la translation de vecteur# »BC, on obtient la translation

de vecteur# »AC. Le vecteur# »ACest la somme des vecteurs# »ABet# »BC # »AC=# »AB+# »BC AB C

RELATION DECHASLES

Quels que soient les pointsA,BetCon a :

AB+# »BC=# »AC

RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME

La somme# »OA+# »OBest le vecteur# »OMtel queOAMBest un parallélogramme.

CONSTRUCTION DE LA SOMME DE DEUX VECTEURS

Relation de Chasles

#»u #»v#»u+#»v ABC

Règle du parallélogramme

#»u #»v#»u+#»v OAB M

PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Quels que soient les vecteurs#»u,#»vet#»w#»u+#»v=#»v+#»u;#»u+#»0=#»0+#»u=#»u;?#»u+#»v?+#»w=#»u+?#»u+#»w?

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VECTEURS DU PLAN2nde10

2DIFFÉRENCE DE DEUX VECTEURS

OPPOSÉ D"UN VECTEUR

L"opposé d"un vecteur#»uest le vecteur noté?-#»u?tel que#»u+?-#»u?=#»0. #»u -#»u

CONSÉQUENCE

L"opposé du vecteur# »ABest le vecteur# »BA:-# »AB=# »BA ?PREUVE

D"après la relation de Chasles :

# »AB+# »BA=# »AA=#»0

DÉFINITION

Étant donné deux vecteurs#»uet#»vla différence#»u-#»vest le vecteur#»u+?-#»v?.

#»u #»v -#»v #»u-#»v #»u-#»v ACB MN Quels que soient les pointsA,BetC,# »BC=# »AC-# »AB

IVMULTIPLICATION D"UN VECTEUR PAR UN RÉEL

1PRODUIT D"UN VECTEUR PAR UN RÉELk

#»u -23 #»u 5 4 #»u

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DÉFINITION

Soit#»uun vecteur non nul (#»u?=#»0) etkun réel non nul (k?=0). Le produit du vecteur#»upar le réelk, noték#»uest le vecteur caractérisé par : — sa direction :k#»ua la même direction que le vecteur#»u;

Cas oùk>0Cas oùk<0

# »OM=k #»u # »OA= #»u OA M # »OM=k #»u # »OA=#»u OA M — son sens : le vecteurk#»uale même sens que le vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar le réelk??k#»u??=k×??#»u??— son sens : le vecteurk#»uest de sens opposé au sens du vecteur#»u;

— sanorme:lanormeduvecteurk#»uestégale

au produit de la norme du vecteur#»upar l"opposé du réelk k#»u??=-k×??#»u??

Ce qui s"écrit de façon générale

?k#»u??=|k|×??#»u??et se lit :

"la norme du vecteurk#»uest égale au produit de la norme du vecteur#»upar la valeur absolue du réelk»

Lorsque#»u=#»0 ouk=0, on convient quek#»u=#»0 : ainsi, l"égaliték#»u=#»0 ne peut se produire que

lorsque#»u=#»0 ouk=0.

REMARQUE

SoitAetBdeux points distincts, etkun réel donné. Il existe un unique pointMdéfini par la relation# »AM=k# »AB:

—Mest un point de la droite (AB)

—Ma pour abscissekdans le repère (A;B) d"origineA

M?[Ax)

k?0M?[AB]

0?k?1M?[By)

k?1 xA By

2PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES

Pour tous vecteurs#»uet#»vet pour tous réelsketk?: k?#»u+#»v?=k#»u+k#»v; (k+k?)#»u=k#»u+k?#»u;k#»u=#»0??k=0 ou#»u=#»0

3VECTEURS COLINÉAIRES

DÉFINITION

Deux vecteurs#»uet#»vsont dits colinéaires s"il existe un réelktel que#»u=k#»vou#»v=k#»u

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REMARQUES

— Comme

#»0=0#»u, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. — Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, ils ont la même direction.

4APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

AVEC LES MILIEUX

MILIEU D"UN SEGMENT

Étant donné un segment [AB]. Chacune des propriétés suivantes caractérise le milieuIdu segment

[AB] :

1)# »AI=# »IBou 2)# »I A+# »IB=#»0 ou 3)# »AB=2# »AI.

4) Pour tout pointMdu plan# »MA+# »MB=2# »MI.

?DÉMONSTRATION

1. L"égalité

# »AI=# »IBcaractérise le milieuIdu segment [AB] (conséquence de la définition de l"égalité de

deux vecteurs).

2.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??# »I A=-# »IB??# »I A+# »IB=#»0

3.Imilieu du segment [AB]??# »AI=# »IB??2# »AI=# »AI+# »IB??2# »AI=# »AB

4. SiIest le milieu du segment [AB], alors pour tout pointM

MA+# »MB=?# »MI+# »I A?

+?# »MI+# »IB? =2# »MI+# »I A+# »IB? =#»0=2# »MI

Réciproquement, la propriété

# »MA+# »MB=2# »MIétant vraie pour tout pointMon peut l"appliquer au pointI. Soit :# »I A+# »IB=2#»II=#»0

Ce qui prouve queIest le milieu du segment [AB]

THÉORÈME

SoitABCun triangle,IetJles milieux respectifs de [AB] et [AC] alors# »BC=2#»IJ ?DÉMONSTRATION BC=# »BA+# »AC=2# »I A+2# »AJ=2?# »I A+# »AJ? =2#»IJ

PARALLÉLISME ET ALIGNEMENT

— Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires.

— Trois pointsA,BetCsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »ABet# »ACsont colinéaires.

?DÉMONSTRATION

— Si (AB)//(CD) alors, les vecteurs# »ABet# »CDont la même direction donc ils sont colinéaires.

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AB D C

Réciproquement si les vecteurs# »ABet# »CDsont colinéaires alors, ils ont la même direction donc

(AB)//(CD)

—# »ABet# »ACsont colinéaires signifie donc (AB)//(AC). Deux droites parallèles ayant un point commun

sont confondues.

EXEMPLES

EXEMPLE1 :CONSTRUCTION DE POINTS

Laméthode pourconstruireunpointMdéfiniparuneégalité vectorielle estd"obtenir unerelationdu type:

OM=#»u?

origineconnue???? vecteurconnu

Soit trois points non alignés A, B etC. Construirele point M défini par# »MA-3# »MB=# »AC

— Choisissons par exempleAcomme "origine connue» # »MA-3# »MB=# »AC??# »MA-3?# »MA+# »AB? =# »AC # »MA-3# »MA-3# »AB=# »AC ?? -2# »MA=3# »AB+# »AC # »MA=-3

2# »AB-12# »AC

# »AM=3

2# »AB+12# »AC

— Nous pouvons construire le pointM:

3 2 # »AB 12 # »AC 12 # »AC# »AM ABC M

EXEMPLE2 :PARALLÉLISME,ALIGNEMENT

Montrer que des points sont aligné, ou sont sur des droites parallèles, revient à montrer que des vecteurs

sont colinéaires.

Soit ABC un triangle, I le milieu de[AC], M est le symétrique de B par rapport à C et le point N est tel que# »AN=1

3# »AB . Les points M, I et N sont-ilsalignés?

1 3 # »AB ABC I NM

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—Iest le milieu du segment [AC] donc# »AI=1

2# »AC

—Mest le symétrique deBpar rapport àCdoncCest le milieu du segment [BM] d"où# »MC=# »CB.

Exprimons les vecteurs

# »MIet# »INen fonction des vecteurs# »ABet# »AC: # »MI=# »MC+# »CI=# »CB-1

2# »AC=# »CA+# »AB-12# »AC=# »AB-32# »AC

# »IN=# »I A+# »AN=-1

2# »AC+13# »AB

Ainsi,

# »MI=# »AB-3

2# »ACet# »IN=13# »AB-12# »ACd"où# »MI=3# »IN.

Par conséquent, les vecteurs

# »MIet# »INsont colinéaires donc les pointsM,IetNsont alignés.

VCOORDONNÉES

1REPÈRE DU PLAN

On appelle base tout couple??ı,???de vecteurs non colinéaires.

Un repère du plan est un triplet?O;?ı,???où O est un point du plan (appelé origine du repère) et??ı,???une

base.

Oxy?ı?

Repère quelconque

Oxy?ı?

IJ (OI)?(OJ)Repère orthogonal

Oxy?ı?

IJ

Repère orthonormé

(OI)?(OJ) etOI=OJ

2COORDONNÉES D"UN VECTEUR

Le plan est muni d"un repère?O;?ı,???. Soit?uun vecteur.

On appelle coordonnées du vecteur

ules coordonnées du pointM?x;y?dans le repère?O;?ı,???tel que# »OM=?u.

On note indifféremment

u?x;y?ou?u?x y? ıO M x?ı y x ?ıy u

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VECTEURS DU PLAN2nde10

—?x;y?sont les coordonnées du pointMdans le repère?O;?ı,???signifie que# »OM=x?ı+y??.

—?x

y? sont les coordonnées du vecteur ?udans le repère?O;?ı,???signifie que?u=x?ı+y??.

REMARQUE

Les coordonnées d"un vecteur dépendent du choix du repère.

EXEMPLE

ABCDest un parallélogramme de centreO.

— Dans le repère

A;# »AB,# »AC?

A(0;0),B(1;0),C(1;1),D(0;1),# »AC?11?

et# »BD?-11? ABC D O

— Dans le repère?

O;# »OA,# »OB?

A(1;0),B(0;1),C(-1;0),D(0;-1),# »AC?-2

0? et# »BD?0 -1? ABC D O

PROPRIÉTÉS DES COORDONNÉES

Soit?O;?ı,???un repère du plan,?u?x

y? et ?v?x? y deux vecteurs : ?u=?0 équivaut àx=0 ety=0. ?u=?véquivaut àx=x?ety=y?.

— Le vecteur

u+?va pour coordonnées?x+x? y+y?? — pour tout réelk, le vecteurk?ua pour coordonnées?kxky?

3COORDONNÉES DU VECTEUR# »AB

Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?.

Les coordonnées du vecteur

# »ABdans le repère?O;?ı,???sont# »AB?xB-xA y B-yA? ıO A

B(xB-xA)?ı

yB-yA???

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?DÉMONSTRATION

D"après la relation de Chasles

# »AB=# »AO+# »OB=# »OB-# »OA. Donc les coordonnées du vecteur# »ABsont

# »AB?xB-xA y B-yA?

4COORDONNÉES DU MILIEU D"UN SEGMENT

Soit?O;?ı,???un repère du plan et deux pointsA?xA;yA?etB?xB;yB?. Les coordonnées du milieuI?xI;yI?du segment [AB] sont : x

I=xA+xB

2etyI=yA+yB2

?DÉMONSTRATION Iest le milieu du segment [AB] d"où 2# »OI=# »OA+# »OBsoit# »OI=1 2? # »OA+# »OB?

5CONDITION DE COLINÉARITÉ

Soit?O;?ı,???un repère du plan. Les vecteurs?u?x y? et ?v?x? y sont colinéaires si, et seulement si, xy ?-x?y=0 ?DÉMONSTRATION

— Dans le cas où l"un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont colinéaires et la relationxy?-x?y=0 est

vérifiée carx=y=0 oux?=y?=0. — Dans le cas où les deux vecteurs sont non nuls, dire que uet?vsont colinéaires signifie qu"il existe un réelktel que?v=k?v. Soit?x?=kx y ?=kyce qui équivaut àxy?-x?y=0.

EXEMPLE

Dans la figure ci-dessous,ABCest un triangle,Kest le milieu de [BC],Lest le symétrique du pointApar

rapport àB. Déterminer la position du pointMsur la droite (AC) pour que les pointsK,LetMsoient alignés. ABC M K L

Dans le repère?

A;# »AB,# »AC?

nous avonsA(0;0),B(1;0),C(0;1). — Les coordonnées du pointKmilieu du segment [BC] sontK?1 2;12?

—Lest le symétrique du pointApar rapport àBdonc# »AL=2# »AB. Les coordonnées du pointLsontL(2;0).

—Mest un point de la droite (AC) donc# »AM=y# »ACd"oùMa pour coordonnéesM?0;y?.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 11 sur19

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Les pointsK,LetMsont alignés si, et seulement si, les vecteurs# »LKet# »LMsont colinéaires.

Calculons les coordonnées des vecteurs# »LKet# »LM:

LK?xK-xL

y K-yL? soit# »LK(((1 2-2 1

2-0)))

??# »LK((( -3 2 1 2))) et # »LM?xM-xL y M-yL? soit# »LK?0-2 y-0? ??# »LM?-2 y?

Les vecteurs

# »LKet# »LMsont colinéaires pourysolution de l"équation : 3

2×y-(-2)×12=0?? -32×y=-1??y=23

Ainsi,Mest le point de la droite (AC) tel que# »AM=2

3# »AC

6DISTANCE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ

SoientA?xA;yA?etB?xB;yB?deux pointsdu plan munid"unrepèreorthonormal?O;?ı,???, la distanceAB est donné par AB=? (xB-xA)2+?yB-yA?2 ?DÉMONSTRATION

O?ı?

ABMxB-xAy

B-yA Comme?O;?ı,???est un repère orthonormal, le triangleAMBest un triangle rectangle enM.

D"après le théorème de Pythagore :

quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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