[PDF] Correction Devoir maison n?1 EXERCICE 1 Soit linéquation

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Terminale SCorrection Devoir maison n°12016 - 2017

EXERCICE 1Soit l"inéquation suivante :

1 x-4-1x-3<12(E)

1. L"expression

1 x-4-1x-3n"existe pas six= 3 ou six= 4 donc ces deux nombres ne peuvent pas être solutions.

2.On appelle domaine de validité d"une inéquation l"ensembledes réels susceptibles d"être solution de l"inéqua-

tion. (a) Le domaine de validitéDEde l"inéquation (E) est donc :DE=R- {3;4}. (b) Résolution de (E) surDE: ?x? DE,(E)?1 x-4-1x-3<12 x-3-(x-4) (x-4)(x-3)<12 1 (x-4)(x-3)-12<0

2-(x-4)(x-3)

(x-4)(x-3)<0 -x2+ 7x-10 (x-4)(x-3)<0 À partir de là, on peut utiliser un tableau de signes x x-3 x-4 -x2+ 7x-10

Signe de

-x2+ 7x-10 (x-4)(x-3) -∞2 3 4 5+∞ -0+++ --0++

0+++0-

0+-+0-

Ainsi,SE=]- ∞;2[?]3;4[?]5;+∞[

Rappel:

Les fonctions affinesx?→x-3 et

x?→x-4 ont des coefficients direc- teurs positifs donc l"enchaînement des signes est-0+ (annulation en respectivement 3 et 4). -x2+ 7x-10 a un discriminant

Δ = 9, solutions 2 et 5, on applique

la règle du signe deaà l"extérieur des racines.

EXERCICE 2Un pont est soutenu par un arc parabolique d"une portée de 200m et d"une hauteur de 80 m.

Le pont et l"arc se coupent à 40 m de la rive comme sur la figure ci-dessous. G

O40mHauteur 80m

Portée 200m40f(40)PONTArc parabolique

Quelle est la hauteur du pont?

Lycée Bertran de Born - Périgueux1 sur 2

Terminale SCorrection Devoir maison n°12016 - 2017 On fait le choix d"un repère orthonormal : (O;-→i;-→j) (voir figure).

Dans ce repère, l"arc parabolique est une partie de la représentation graphique d"une fonction polynôme de degré

2 notéef.

Il existea,betc, trois réels, tels quef(x) =ax2+bx+c. Les données de la figure nous permettent d"écrire que : ?f(0) = 0 f(200) = 0 f(100) = 80??????c= 0

40000a+ 200b+c= 0

a=-1 125
b=8

5?f(x) =-1

125x2+85x

La hauteur recherchée n"est autre quef(40) :f(40) =-1

125×402+85×40 = 51,2.

La hauteur du pont est de 51,2 mètres.

EXERCICE 3Soit (un) la suite définie pour tout entiern, paru0= 2 etun+1= 3un+ 2n+ 1.

On admet que, pour tout entiern,un?= 0.

1.u1= 3u0-2×0 + 1 = 3×2 + 1 = 7

,u2= 3u1-2×1 + 1 = 20etu3= 57.

2.u2-u1= 13 etu1-u0= 5 doncu1-u0?=u2-u1et la suite n"est pas arithmétique.

De même,u2

u1=207etu1u0=72,u2u1?=u1u0et la suite n"est pas géométrique.

3. On posevn=un-npour tout entier natureln.

?n?N, vn+1=un+1-(n+ 1) = 3un-2n+ 1-n-1 = 3un-3n = 3(un-n) = 3vn

Remarque 1Le quotientvn+1

vnpermet de trouver 3 mais rien n"assure dans l"énoncé quevn?= 0 pour tout n?N.

D"après le calcul précédent, on en déduit que (vn) est géométrique de raisonq= 3 et de premier terme

v

0=u0-0 = 2.

4.?n?N,vn=v0qn, ce qui donne ici :vn= 2×3n

5.?n?N,vn=un-n?un=vn+n. Finalement,

?n?N, un=n+ 2×3n formule explicite du terme généralun

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