[PDF] MATHEMATIQUES 3 nov. 2011 Pour traverser

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Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

1

NOM : Prénom : Classe :

Observations :

Compétences testées lors de ce devoir

 Rechercher, extraire et organiser l'information utile.  Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer.

 Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l'aide d'un langage

adapté.

 Nombres et calculs: connaître et utiliser les nombres entiers, décimaux et fractionnaires.

 Utiliser des tableaux, des graphiques.

Durée 1 heure 30 minutes

Il sera tenu compte de la clarté et de la présentation de la copie.

La calculatrice est autorisée.

Exercice 1 /5

On considère les deux expressions :

A = 5 - 1

2´5

2 et B = 16´10-1´2

(10

3)²´10-8´80

1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. /2 Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

3

Exercice 4 : /4

La courbe ci-contre représente la fonction f

a. Compléter les phrases suivantes : /2 - L'image de 1 est ...... - L'antécédent de -3 est ...... - L'image de ...... est 4. - L'antécédent de ...... est 4. b. Compléter les égalités : /2 f(-3) = ...... f(0) = ...... f(......) = 3 f(......) = -4

Exercice 5 : /7

Soit f la fonction définie par f(x) = - x² + 4 1) Compléter le tableau de valeurs suivant : /2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)

2) Construire la courbe représentative de f dans le repère orthogonal suivant pour des

valeurs de x comprises entre -3 et 3 /3 x f(x) 0 1 1 O Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

4 2) Déterminer graphiquement l'image de -0,5 par f. /1 3) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) éventuel(s) de -2 par la fonction f. /1

Exercice 6 : /6

Pour traverser une rivière, en voiture, on peut emprunter deux ponts A et B distants de 10 km. Le village Coco représenté par un point C est à 8 km du pont A et 6 km du pont B. On note H le pied de la hauteur issue du sommet C dans le triangle ABC.

1. En prenant 1 cm pour représenter 1 km, tracer le triangle ABC et placer le point H. /1

Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

5 A présent, on travaille avec la figure que vous venez de construire.

2. Montrer que ABC est un triangle rectangle. /2

3. On souhaite déterminer l'aire du triangle rectangle ABC.

a. Parmi les trois formules proposées, deux sont correctes, lesquelles ? /1

···· Formule 1 : AC ´ BC

2

··· Formule 2 : AB ´ CH

2

··· Formule 3 : AH ´ CH

2 b. Calculer alors cette aire en cm². /1

4. En déduire la distance réelle CH de ce village à la rivière. /1

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

6

Exercice 7 : /9

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. L'unité de longueur est le centimètre.

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].

Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.

On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK =

x cm où x désigne un nombre positif.

PARTIE A

Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ou BL = 4,8 cm et x = 1 cm.

1. Construire la figure en vraie grandeur. /1

2. Calculer l'aire en cm² du triangle BLA. /1

Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

7

3. On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. Parmi les propriétés suivantes,

choisir celle(s) qui permette(nt) cette justification. /1

a. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

b. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième

côté.

c. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.

d. La réciproque du théorème de Thalès. a b c d

4. Calculer la longueur HK. /2

PARTIE B

Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et x ne sont pas connus.

1. Exprimer la longueur KL en fonction de

x. /1

2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs

KL et HG pour différentes valeurs de

x. x 0,6 1,5 1,8 2,1 4,2 4,5 5,1

KL 5,4 4,5 4,2 3,9 1,8 1,5 0,9

HG 1,4 3,5 4,2 4,9 9,8 10,5 11,9

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes : a. Quelles sont les longueurs KL et HG pour x égal à 4,5 cm ? /1 Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

8 b. Pour quelle valeur de x a-t-on l'égalité KL = HG ? /1 Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH ? /1 Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

9

Exercice 1 /5

On considère les deux expressions :

A = 5 - 1

2´5

2 et B = 16´10-1´2

(10

3)²´10-8´80

1) Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. /2

A = 

5´2 - 1´5

2

´5´5

2 =

A = 6 - 5

10´5

2

A = 1´5

2

´5´2 = 1

4

2) Vérifier que B est un nombre entier. Ecrire les éta pes du calcul. /2

B = 16´2

80´10-1

103´2´10-8

B = 16´2

16

´5´10-1

106+(-8)

B = 2 5

´10-1

10-2 B = 2 5

´10-1-(-2)

B = 20

5 = 4

3) Brice affirme que "A est l'opposé de B". Est-ce vrai ? Justifier.. /1

L'affirmation de Brice est fausse : A est l'inverse de B.

Exercice 2 /3

Pour les nouvelles technologies, l'unité de stockage des informations est l'octet. Par définition :

1 gigaoctet (Go) = 2

30 octets

1 téraoctet (To) = 2

40 octets

La capacité mémoire d'un baladeur MP3 est 8 Go.

Grâce au progrès de la technologie, sa capacité mémoire devrait doubler tous les six mois.

Donner (en To) la capacité mémoire qu'il aura dans 3 ans et demi. Sur 3 ans et demi il y a 7 périodes de six mois.

Donc la nouvelle capacité mémoire sera de 27´8´230 = 27´23´230 = 27+3+30 = 240 octets = 1 To

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CORRECTION

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Exercice 5 : /7

Soit f la fonction définie par f(x) = - x² + 4 1) Compléter le tableau de valeurs suivant : /2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x) -5 0 3 4 3 0 -5

2) Construire la courbe représentative de f dans le repère orthogonal suivant pour des

valeurs de x comprises entre -3 et 3 /3 2) Déterminer graphiquement l'image de -0,5 par f. /1 On lit l'ordonnée du point de la courbe dont l'abscisse est -0,5 : environ 3,8. 3) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) éventuel(s) de -2 par la fonction f. /1

On lit les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est égale à -2 : environ -2,4 et

2,4. Classes de 3ème MATHEMATIQUES 3 Novembre 2011

CORRECTION

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Exercice 6 : /6

Pour traverser une rivière, en voiture, on peut emprunter deux ponts A et B distants de 10 km. Le village Coco représenté par un point C est à 8 km du pont A et 6 km du pont B. On note H le pied de la hauteur issue du sommet C dans le triangle ABC.

1. En prenant 1 cm pour représenter 1 km, tracer le triangle ABC et placer le point H. /1

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CORRECTION

13 A présent, on travaille avec la figure que vous venez de construire.

2. Montrer que ABC est un triangle rectangle. /2

Dans le triangle ABC, le plus long côté est [AB].

AB² = 10² = 100

AC² + BC² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100

On a l'égalité AB² = AC² + BC², donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle ABC

est rectangle en C.

3. On souhaite déterminer l'aire du triangle rectangle ABC.

a. Parmi les trois formules proposées, deux sont correctes, lesquelles ? /1

···· Formule 1 : AC ´ BC

2

··· Formule 2 : AB ´ CH

2

··· Formule 3 : AH ´ CH

2

Ce sont :

· la formule 1

· la formule 2 avec [AB] = base relative au sommet A et [CH] = hauteur relative au sommet A. b. Calculer alors cette aire en km². /1

Aire(ABC) = AC´BC

2 = 8´6

2 = 24 km²

4. En déduire la distance réelle CH de ce village à la rivière. /1

Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation

On a aussi Aire(ABC) = AB´CH

2 = 5´CH

On a donc 24 = 5´CH

D'où CH = 24

5 = 4,8 km

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Exercice 7 : /9

La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. L'unité de longueur est le centimètre.

Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH où H est sur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].

Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteur issue de A. (AL) coupe [GH] en K.

On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK =

x cm où x désigne un nombre positif.

PARTIE A

Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ou BL = 4,8 cm et x = 1 cm.

1. Construire la figure en vraie grandeur. /1

2. Calculer l'aire en cm² du triangle BLA. /1

Aire(BLA) = BL´AL

2 = 4,8´6

2 = 14,4 cm²

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3. On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallèles. Parmi les propriétés suivantes,

choisir celle(s) qui permette(nt) cette justification. /1

a. Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux.

b. Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième

côté.

c. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles.

d. La réciproque du théorème de Thalès. a b c d

4. Calculer la longueur HK. /2

Les droites (HK) et (BL) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles

AHK et ABL :

AK

AL =HK

BL

Soit : 1

6 = HK

4,8

D'où : HK = 4,8

6 = 0,8 cm

PARTIE B

Dans cette partie, on se place dans le cas général où BL et x ne sont pas connus.

1. Exprimer la longueur KL en fonction de

x. /1

KL = AL - AK = 6 - x

2. On déplace le point K sur le segment [AL]. L'utilisation d'un tableur a permis d'obtenir les longueurs

KL et HG pour différentes valeurs de

x. x 0,6 1,5 1,8 2,1 4,2 4,5 5,1

KL 5,4 4,5 4,2 3,9 1,8 1,5 0,9

HG 1,4 3,5 4,2 4,9 9,8 10,5 11,9

Sans aucune justification, répondre aux questions suivantes : a. Quelles sont les longueurs KL et HG pour x égal à 4,5 cm ? /1

Pour x = 4,5 cm, KL = 1,5 et HG = 10,5.

b. Pour quelle valeur de x a-t-on l'égalité KL = HG ? /1

KL = HG pour x = 1,8

Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatère EFGH ? /1

EFGH est alors un carré.

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