SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels
Cours I : SUITES NUMERIQUES. I Quelques rappels. 1/ Définition. Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ? ou une partie de ? dans ?
GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
un est appelé le terme de rang n de cette suite (ou d'indice n). 2) Générer une suite numérique par une formule explicite. Vidéo https://youtu.be/HacflVQ7DIE.
Suites numériques 1 Calcul des termes dune suite numérique
Suites numériques. TP5. 1 Calcul des termes d'une suite numérique. S'il n'est pas difficile de travailler avec les suites sous Maple il conviendra avant
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
a) Considérons une suite numérique (un) où la différence entre un terme et son précédent reste constante et égale à 5. Si le premier terme est égal à 3
Suites numériques
Le vocabulaire des suites est `a tr`es proche de celui des fonctions. Définition 1 : Une suite numérique u est une application de N dans R u :N ? R.
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3
COMPETENCES VISEES : - connaître la suite numérique connaître
COMPETENCES VISEES : - connaître la suite numérique connaître la valeur des nombres
Convergence des suites numériques
Lorsque b = 0 on dit qu'on a une suite géométrique. Proposition 4. Suites arithmétiques. Soit r un réel et soit (un) une suite arithmétique de raison
Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 1
Cours I : SUITES NUMERIQUES
I Quelques rappels
1/ Définition
Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ℕ ou une partie de ℕ dans ℝ qui à chaque
élément
n de ℕ associe un unique élément noté un , appelé terme d'indice n de la suite un.
2/ Comment définir une suite
a/ Définition expliciteDéfinition : Une suite
un est dite explicite s'il est possible de calculer directement un à partir de n.On note alors
un= gn avec g une fonction définie sur ℕ (et le plus souvent sur ℝ+ également).
Ex : :
un = 1 n1 ; (%i49) u[n]:=1/(n+1); (%i50) u[5]; (%o50) 1/6 (%i51) makelist([n,u[n]],n,0,5); (%o51) [[0,1],[1,1/2],[2,1/3],[3,1/4],[4,1/5],[5,1/6]] (%i52) wxplot2d([discrete,makelist(n,n,0,10),makelist(u[n],n,0,10)],[style,points]) b/ Suite définie par récurrence Définition : Une suite est définie par récurrence si le terme un1 peut être défini à partir de un : un1=fun avec f une fonction définie le plus souvent sur ℝEx : Soit un tel que un+1 = 0.5 un +2 et u0=1Lecture graphique de
u1 ; u2... Construire les droites d'équation y=x et y=x2.Déterminer graphiquement u1, u2, u3.
Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 2
(%i56) f(x):=1.5-0.5*x; (%i54) v[0]:2;v[n]:=f(v[n-1]); (%i58) load(dynamics); (%i63) evolution(f(x),2,10);(%i73) f(x):=2-1.1*x; (%i65) staircase(f(x),2,10);(%i77) f(x):=-1+1.5*x;3/ Sens de variation d'une suite
Notation : ∃ signifie " il existe » et ∀ " quelque soit »Définition : - Une suite
un est strictement croissante si :∃N∈ℕ, tel que ∀ nN, un < un1 - Une suite (un) est strictement décroissante si :
Ex : Etudier le sens de variation des suites :
1.un définie sur ℕ par un = n² + n 2. undéfinie sur ℕ par un+1 = un , u0=2
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20 2 4 6 8 10
x(n) n 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.5 1 1.5 2 2.5
x(n+1) x(n) -2 -1 0 1 2 3 4 -2-1 0 1 2 3 4 5 x(n+1) x(n) 0 5 10 15 20 2530
0 5 10 15 20 25 30 35 40
x(n+1) x(n)Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 3
II Suites arithmétiques et géométriques (rappels) a. Suite arithmétiques Définition : Une suite (un) est une suite arithmétique si : " n Î ℕ, un+1 = un + r r est appelé la raison de la suite.Calcul direct de un : On a alors un = u0 + nr
Somme de termes consécutifs, S :
S= u0 + u1 + ....+ un S = nb de termes
2 termederniertermepremier×+×´Cas particulier : S=1+2+...+ n = n×n1 2Ex : Montrer que la suite
un définie par un = 2n+1 est arithmétique. Calculer S=u5...u16. b. Suite géométriques Définition : Une suite (un) est une suite géométrique si : q est appelé la raison de la suite.Calcul direct de un : On a alors un = u0 qn
Somme de termes consécutifs :
S= u0 + u1 + ....+ unS = premier terme
q qtermesnb×11
cas particulier : 1+q+q²+...+qn = 1-qn11-q (q¹1)
Ex : Montrer que la suite (un) définie par un = 2-n/3n-2 est géométrique. Calculer S=u5+...+u16.
Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 4
III Limite d'une suite
1/ Notion de limite d'une suite
Définition : Pour une suite numérique (un), il y a 3 types de limites : - (un) converge vers une limite finie L. (un) est dite convergente.un+1 = 2-0,5 un - (un) admet une limite +∞ ou -∞.(un) est dite divergente. un+1= -1+1,5 un - (un) n'admet pas de limite. (un) est dite divergente.
un1=1-un Propriété : Soit une suite (un) définie par un = f(n). Si f(x) admet une limite L en +¥, alors on dit que la suite (un) admet la limite L en +¥Ex : Soit un = ln
11 n . Calculer la limite de (un). 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20 2 4 6 8 10
x(n n 0 5 10 15 20 2530
35
0 2 4 6 8 10
x(n) n 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 2 4 6 8 10
x (n nAgrocampus OuestENIHP 1ère année p. 5
2/ Application aux suites géométriques
Propriété : Soit une suite géométrique (un) définie par sa raison q (q>0) et son premier terme u0=1,
un = qn. On a alors :· si q > 1,
+ ¥®nlimqn = +¥ · si q=1, + ¥®nlimqn = 1 · si |q| <1, + ¥®nlimqn = 0
Remarque : On retrouve ces limites en écrivant : qn = e nln(q). Si q>1, ln(q) >0 ...Ex : Soit un=
nae22 définie sur ℕ. Calculer sa limite et déterminer le plus petit entier n tel que un<10-3
3/ Suites croissantes majorées
Propriété 1 : Si une suite (un) est croissante et majorée alors elle converge. Propriété 2 : Si une suite (un) est décroissante et minorée alors elle converge.Ex : Soit un=1+ +...
n ae 21. Démontrer que un est croissante et majorée. Conclure.
III Ordre et comparaison de limites de suites
1/ Compatibilité avec l'ordre.
Théorème : Soit deux suites (un) et (vn) telles que : limn∞un=Let limn∞vn=L' Si à partir d'un certain rang N, on a toujours : un£ vn alors L £ L'
2/ Théorèmes de comparaison
Théorème 1 : Soit un réel L.
Si à partir d'un certain rang N on a ∣un-L| £ vn et limn∞vn=0alors limn∞un=L
Agrocampus OuestENIHP 1ère année p. 6
Exemple incontournable: Soit (un) telle que : ∣un1-2|£ 12 ∣un-2∣ et u0 = 3.
a/ Démontrer par récurrence que ∣un-2∣£ 12n
b/ En déduire la limite de un. c/ Trouver p tel que si np alors ∣un-2∣<10-3. Théorème (dit des gendarmes): Soient trois suites (un) (vn) et (wn).Si à partir d'un certain rang N, on a :
vn£ un £ wn et limn
®+ ¥vn= limn
®+ ¥wn=L alors limn
®+ ¥un=L
Ex: soit (un) définie sur
ℕ par un=nsinn n21. Etudier la convergence de cette suite. En déduire sa limite.3/ Suites adjacentes
Définition : Deux suites (un) et (vn) sont dites adjacentes ssi - (un) est croissante - (vn) est décroissante limn∞ vn-un =0. Propriété : Deux suites adjacentes sont convergentes vers une même limite L.Méthode du Héron pour approximer
2 :Soit (un) et (vn) définies par :
u0=1, un= 12unvn et vn=2
un Démontrer que (un) et (vn) sont adjacentes et conclure.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] La supersitition
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