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Lycee Clemenceau - ReimsMAPLE

Suites numeriquesTP5

1 Calcul des termes d'une suite numerique

S'il n'est pas dicile de travailler avec les suites sous Maple, il conviendra avant tout de comprendre comment

sont donnes les termes de la suite.

1.1 Suite denie explicitement

Si la suite est denie de facon explicite, du typeun=f(n), on denira la suiteucomme uneexpression dependant de la variablen. Ainsi, le calcul des termes consiste simplement a evaluer une expression: >u:=exp(-n)/n2; eval(u,n=10); 1100
e10

1.2 Suite denie par une relation de recurrence

Si la suite est denie par recurrence sur plusieurs termes, du typeun=f(un1;un2:::), on pourra essayer de

se ramener a une forme explicite gr^ace a la commandersolve: >eq:=u(n+1)=2*u(n): rsolve(eq,u(n)); u(0)2n Si on conna^t les valeurs initiales, il sut de remplacer le premier argument de la commandersolvepar l'ensemble suivant:fequation;conditions initialesg >eq:=u(n+1)=2*u(n): rsolve(feq,u(0)=sqrt(2)g,u(n)); p2 2 n

Malheureusement, Maple ne parvient pas toujours a exprimerunen fonction den. En eet, considerons la suite

udenie par: u

0=u1= 1 et8n1; un+1=u2n+un1

les m^emes instructions sont inecaces ici: >eq:=u(n+1)=u(n)2+u(n-1): rsolve(feq,u(0)=1,u(1)=1g,u(n)); rsolve(fu(0) = 1;u(1) = 1;u(n+ 1) =u(n)2+u(n1)g;u(n)) Dans ce cas, pour calculer les termes de la suite, on devra proceder par iterationou recursivite.

Calcul des termes par la methode iterative:On construit une procedure qui prend pour argument une valeurnet renvoie len-eme terme de la suite, a

l'aide d'une boucleforet des variables locales: >u:=proc(n) local u2,u1,u0,i; if n=0 or n=1 then u2:=1; else u1:=1; u0:=1; for i from 2 to n do u2:=u1 2+u0; u0:=u1; u1:=u2; end do; end if; return u2; end proc 1

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On calcule le terme souhaite en appelant simplement la procedureu: >u(0);u(1);u(2);u(7); 1 1 2

290287121823

Calcul des termes par la methode recursive:La methode recursive consiste a denir une procedure qui fera appel a elle-m^eme. Plus precisement, pour

calculer len-eme terme de la suite denie plus haut, il est necessaire d'aller chercher les deux termes precedents

u

n1etun2, eux-m^emes necessitant le calcul de termes precedents... Maple lance donc les procedures au fur

et a mesure jusqu'a obteniru1etu0, puis il remonte tous ses calculs pour donner la valeur deun: >u:=proc(n) local resultat; if n=0 or n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)

2+u(n-2);

end if; return resultat; end proc

Cependant il s'agira de faire bien attention a ajouter l'optionrememberdans notre procedure. En eet, lorsque

Maple remonte la pile de ses calculs pour trouverun, il calcule toutes les valeursuk(k < n) dont il a besoin

et cela m^eme s'il les a deja calculees. Cette option nous permet par consequent de forcer Maple a remonter ses

calculs en se rappelant des valeurs rencontrees: >u:=proc(n) option remember; local resultat; if n=0 or n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)

2+u(n-2);

end if; return resultat; end proc De la m^eme facon, on calcule le terme souhaite en appelant la procedureu: >u(0);u(1);u(2);u(7); 1 1 2

290287121823Exercice 1On denit la suite (un) par:

u

0= 1;u1= 1 et8n2; un=un1+un2

Determinerunen fonction den. En deduire sa limite quandn! 1.Exercice 2On denit la suite (vn) par: v

0= 0:5 et8n1; vn=23vn1

1. Ecrire une pr ocedurerecursivequi, pour un entierndonne, calculevn. 2. Calculer di erentesv aleursvn, puis etablir une conjecture sur sa convergence.2 Lycee Clemenceau - ReimsMAPLEExercice 3On considere la suite (wn) denie par:w0= 1 et8n1; wn=w2n1+ 1. 1. Ecrire une pro cedureiterativequi, pour un entierndonne, calculewn. Etablir une conjecture sur sa convergence. 2. Mo dierv otreprogr ammean qu'il ne ren voiepas seulemen twn, mais une liste avec toutes les valeurs w

0;:::;wn.

3.Les prochaines questions sont a resoudre independamment de Maple.

(a)

Mon trerque p ourtout n2N,wn1.

(b)

En d eduireque la suite ( wn) est croissante, et quelimn!+1wn= +1.2 Calcul et approximation de la limite d'une suite

Si la suite est denie explicitement, la limite pourra ^etre determinee par la commandelimit: >limit(nn/n!,n=infinity) 1 Dans le cas contraire, on s'interessera a sa limite de deux facons: •soit par approximation de celle-ci en calculant les termes de la suite pournassez grand, •soit, quand elle est connue, en etudiant le module de la dierence:junlj.

Dans ces deux cas, on observera la vitesse de convergencede la suite, c'est a dire la rapidite avec laquelle la

suite tend vers sa limite. En guise d'exemple, considerons la suite reelle denie par:u1= 1 et8n2; un=un1+1n 2.

2.1 Approximation de la limite

On commence par construire la procedure pour calculer les termes de la suite: >u:=proc(n) option remember; local resultat; if n=1 then resultat:=1; else resultat:=u(n-1)+1/n 2; end if; return resultat; end proc On peut alors acher la sequence des valeurs de la suite pournassez grand: >seq(evalf(u(1000+i)),i=1..1000)

Ainsi, on remarque que cette suite converge lentement (n2000) vers un nombre dont l'ecriture decimale est:

1:644:::

2.2 Vitesse de convergence

La suite (un) designe en fait une somme bien connue: 1 + 12 2+13 2+14

2+:::+1n

2=Pn k=11k

2dont la limite est26

Nous allons construire une procedure qui determine la premiere valeurnpour laquellejun26 j<10a: celle-ci nous donnera donc le rang a partir duquelunapproche sa limite avec une precision de l'ordre de 10a. 3

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>approx:=proc(a) local n,u; n:=1; u:=1; while evalf(abs(u-Pi

2/6))>=10ado

n:=n+1; u:=u+1/n 2; end do; return n; end proc

Par consequent, si on appelle cette procedure poura= 4, on peut alors constater la lenteur de la convergence;

en eet, la suite approche sa limite a 10

4pres a partir du rangn= 10000:

>approx(4)

10000Exercice 4On considere la suite (un) denie paru0= 2 et8n1; un=f(un1) avecf:x7!12

(x+2x

1.Les prochaines questions sont a resoudre independamment de Maple.

(a)

Mon trerque p ourtout n2N,unest bien deni etunp2.

(b) Mon trerque la suite ( un) est convergente et determiner sa limite. 2. Ecrire une pro cedureapprox(a)qui renvoie le rang a partir duquel la suite approche sa limite a 10a pres.Exercice 5SoitNun entier. On denit la suite de Syracuse associee a l'entierNpar: u

1=Net8n2; un=(

un12 (si un1pair)

3un1+12

(si un1impair) 1. Ecrire une pro cedureiterativesyr1(N,n)qui renvoie une liste dans laquelle seront achees les valeurs u

1;:::;unavecu1=N.

2.

Calculer syr1(15,50)etsyr1(127,50).

On appelle temps de vol le plus petit indiceptel queup= 1. 3.

Ecrire une pro cedureit erativesyr2(N)qui calcule les valeursuntant queun6= 1, puis en sortie renvoie

le temps de vol obtenu. 4.

D eterminerle temps de v olp ourN= 15 etN= 222.4

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