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Ann´ee 2006-20071`ereSSI1

Chap 8 :Suites num´eriques

I. Vocabulaire et d´efinitions

Le vocabulaire des suites est `a tr`es proche de celui des fonctions. En effet, au niveau de la th´eorie,

les suites et les fonctions sont les deux facettes d"un mˆemeobjet math´ematique.

1) D´efinitions

D´efinition 1 :Unesuite num´eriqueuest une application deNdansRu:N→R n?→un. La suiteuest souvent not´ee (un)n?Nou plus simplement (un). Remarque :u0est appel´e lepremier terme,u1ledeuxi`eme termeet de mani`ere g´en´eraleunest appel´e le (n+ 1)-i`emeterme.

D´efinition 2 :En g´en´eral, une suite est d´efinie :•Soit de mani`ere explicite (on peut calculerunen fonction den)

Exemple :un=(-1)n

n. Cas particulier :un=f(n) avecfune fonction connue.

Exemple :un=⎷

n.

•Soit par

r´ecurrence(on calculeunde proche en proche) Exemple :u0= 2 est donn´e etun+1= 2un-1 pour toutn, alors on peut calculer les termesu1= 3,u2= 5 ...

2) Sens des variations

D´efinition 3 :•(un) estcroissantesi et seulement si, pour tout entiern:un+1?un.

•(un) est

d´ecroissantesi et seulement si pour tout entiern:un+1?un.

•(un) est

monotonesi et seulement si (un) est croissante ou d´ecroissante.

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Il existe plusieurs m´ethodes pour d´eterminer le sens de variation (´eventuel) d"une suite (un) :

M´ethodesPour ´etudier les variations d"une suite(un), on peut :

•Comparerun+1etun.

•Etudier le signe deun+1-un.

•Siun>0 pour toutn, comparerun+1

unavec 1. •Siun=f(n), utiliser les variations dex?→f(x).

3) Suites born´ees

D´efinition 4 :•(un) estmajor´ees"il existeM?Rtel que pour tout entiern:un?M.

•(un) est

minor´ees"il existem?Rtel que pour tout entiern:un?m.

•(un) est

born´eesi (un) est `a la fois major´ee et minor´ee.

II. Suites arithm´etiques

1) D´efinition

D´efinition 5 :On appellesuite arithm´etiquetoute suite (un) telle que pour tout entiernon ait u n+1-unconstant et on note souventrcette constante. rest appel´e la raisonde la suite. u1u0+ru2+ru3+ru4+ru5+r +5r Exemple :La suite (un) d´efinie paru0= 2 etun+1=un+ 2 est arithm´etique. Proposition 1 :En fait si la suite (un) est arithm´etique de premier termeu0et de raisonron a pour toutn:un=u0+nr. -→d´emonstration avec le??raisonnement par r´ecurrence??.

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Proposition 2 :Si (un) est une suite arithm´etique de raisonralors : •sir <0, la suite (un) est une suite d´ecroissante;

•sir= 0, la suite est constante;

•sir >0, la suite (un) est une suite croissante. -→d´emonstration

2) Somme de termes cons´ecutifs

Th´eor`eme 1 :Soit (un) une suite arithm´etique de raisonr. On d´efinitSnparSn=u0+u1+···+un-1+un=n? k=0u k.

On a alors :Sn= (n+ 1)?u0+un

2? .-→d´emonstration Remarque :On peut r´e´ecrire cette formule??en fran¸cais??: S n= (nb de termes)×1erterme + dernier terme 2. Exemple :On a l"exemple fondamental : 1 + 2 +···+n=n(n+ 1) 2.

III. Suites g´eom´etriques

1) D´efinition

D´efinition 6 :On appellesuite g´eom´etriquetoute suite (vn) telle que pour tout entiernon ait

v n+1=q×vn. qest appel´e la raisonde la suite. u1u0×qu2×qu3×qu4×qu5×q

×q5

Exemple :La suite (un) d´efinie paru0=-1 etun+1=-2unest g´eom´etrique.

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Proposition 3 :En fait si la suite (vn) est g´eom´etrique de premier termev0et de raisonqon a pour toutn:vn=v0qn. -→d´emonstration avec le??raisonnement par r´ecurrence??. Proposition 4 :Si (vn) est une suite g´eom´etrique de raisonqalors : •siq >1 : la suite (vn) est une suite d´ecroissante siv0<0 et (vn) est une suite croissante siv0>0; •si 0< q <1 : la suite (vn) est une suite croissante siv0<0 et (vn) est une suite d´ecroissante siv0>0; •sinon la suite (vn) n"est ni croissante ni d´ecroissante. -→d´emonstration

2) Somme de termes cons´ecutifs

Th´eor`eme 2 :

Soit (vn) une suite g´eom´etrique de raisonq.

On d´efinitSn=v0+v1+···+vn-1+vn=n?

k=0v k.

On a alors :Sn=v01-qn+1

1-q.-→d´emonstration

Remarque :On peut r´e´ecrire cette formule??en fran¸cais??: S n= (1erterme)×1-raisonnb de termes

1-raison.

Exemple :On a par exemple : 1 + 2 +···+ 2n= 1×1-2n+1

1-2= 2n+1-1.

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IV. Limites et convergence des suites

1) D´efinition

D´efinition 7 :On dit qu"une suite (un) estconvergentevers un nombrelsi elle admetlcomme limite quandntend vers +∞, on note alors limn→+∞un=l. Dans le cas contraire on dit que la suite (un) est divergente (si limn→+∞un=±∞ou si la suite (un) n"a pas de limite.) 012

0 1 2 3 4 5 6 7 8

•u 0 •u 1 u 2 •u

3•u

4•u

5•u

6•u

7•u

8•u

9 l On peut donner pour les suites une d´efinition??rigoureuse??de la notion de limite :

D´efinition 8 :Pourlun nombrer´eel.

On dit que limn→+∞un=lsi tout intervalle ouvert contenantlcontient tous les termes de la suite `a partir d"un certain rang.

D´efinition 9 :De mani`ere analogue on peut dire que limn→+∞un= +∞si tout intervalle du

type ]a;+∞[ contient tous les termes de la suite `a partir d"un certain rang.

Remarque :Les th´eor`emes sur la limite d"une somme, d"un produit ou d"un quotient ´enonc´es pour

les fonctions restent valables pour toutes les suites.

2) Propri´et´es

Th´eor`eme 3 :Soitfune fonction d´efinie sur un intervalle du type [b;+∞[ et soit (un) d´efinie par

u n=f(n), alors : Si limx→+∞f(x) =lalors (un) converge versl.

Si lim

x→+∞f(x) = +∞alors limn→+∞un= +∞. -→d´emonstration admise

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Exemple :On a par exemple limn→+∞n2= +∞; limn→+∞-n3=-∞ou limn→+∞⎷n= +∞.

Proposition 5 :Si une suite (un) est croissante :

•si (un) est major´ee alors la suite est convergente. (admis) •si (un) n"est pas major´ee alors limn→+∞un= +∞et la suite est divergente. -→d´emonstration Remarque :On a la propri´et´e ´equivalente pour les suites d´ecroissantes.

Th´eor`eme 4 :Th´eor`eme des gendarmes

On consid`ere trois suites (un), (vn) et (wn) et un nombreltels que, `a partir d"un certain rang, on aitvn?un?wnavec limn→+∞vn=let limn→+∞wn=l.

On a alors lim

n→+∞un=l. -→d´emonstration 012

0 1 2 3 4 5 6 7 8

•v 0 w0

•u0

•v 1 w1

•u1•v

2 w2

•u2

•v 3 w3•u3 •v 4 w4

•u4•v

5 w5

•u5

•v 6 w6•u6•v 7

•w7•u7•v

8

•w8•u8l

3) Cas des suites g´eom´etriques

Th´eor`eme 5 :On consid`ere une suite g´eom´etrique (vn) de premier termev0non nul (sinon la suite

est toujours nulle) et de raisonq. •siq >1 etv0>0, alors limn→+∞vn= +∞; •siq >1 etv0<0, alors limn→+∞vn=-∞;

•si-1< q <1, alors limn→+∞vn= 0;

•et siq= 1 (vn) est constante ´egale `av0et limn→+∞vn=v0. -→d´emonstration en exercice.

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