[PDF] Le théorème de Thalès - Lycée dAdultes

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DERNIÈRE IMPRESSION LE28 juin 2016 à 11:38

Le théorème de Thalès

Table des matières

1 Théorème des milieux2

1.1 Le théorème direct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 La réciproque du théorème des milieux. . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Application : quadrilatère de Varignon (1654 - 1722). . . . . . . . . 2

2 Le théorème de Thalès3

2.1 Théorème direct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Réciproque du théorème de Thalès. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

PAUL MILAN1CRPE

TABLE DES MATIÈRES

1 Théorème des milieux

1.1 Le théorème direct

Théorème 1 :Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d"un

côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième en son milieu.

Si ?I=m[AB] (IJ)//(BC)alors???J=m[AC] IJ=1 2BC A B C? I J

1.2 La réciproque du théorème des milieux

Théorème 2 :Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu de deux côtés est parallèle au troisième.

Si?I=m[AB]

J=m[AC]alors???(IJ)//(BC)

IJ=1 2BC A B CI J

1.3 Application : quadrilatère de Varignon (1654 - 1722)

Soit ABCD est quadrilatère quelconque. Soit I, J, K et L les milieuxrespectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle la nature du quadrilatèreIJKL?

Faisons une figure (ci-contre)

•Dans le triangle ABD, on sait que Iest le milieu de [AB] et L le milieu de[AD], donc d"après la réciproque duthéorème des milieux, on a :

(IL)//(BD)et IL=1

2BD (1)

•Dans le triangle BDC, on sait que Jest le milieu de [BC] et K le milieu de[CD], donc d"après la réciproque duthéorème des milieux, on a :

(JK)//(BD)et JK=1

2BD (2)

A B CD I JK L Des propriétés (1) et (2), on en déduit :(IL)//(JK)et IL=JK

PAUL MILAN2CRPE

2. LE THÉORÈME DE THALÈS

Donc le quadrilatère IJKL possède deux côtés parallèles de même longueur, donc

IJKL est un parallélogramme.

2 Le théorème de Thalès

2.1 Théorème direct

Théorème 3 :: Soit deux droites (AB) et (A"B") sécante en O.

Si(AA")//(BB")alors, on a :OA

OB=OA"OB"=AA"BB"

On peut avoir les deux configurations suivantes :

?O A A" B B" O B B"A A" Exemple :Dans la figure ci-dessous, on a (MN)//(AB). À l"aide des indications portées sur la figure, calculer CN et MN.

Comme (MN)//(AB), nous avons une

configuration de Thalès, donc CM

CA=CNCB=MNAB

Si on posex=CN, de la première éga-

lité, on a :3

4,5=xx+1A BC

M N 1,53 5 1

On fait un produit en croix,

3(x+1) =4,5x

3x+3=4,5x

3x-4,5x=-3

-1,5x=-3 x=2De la seconde égalité, on a : 3

4,5=MN5

On fait un produit en croix,

MN=3×5

4,5=154,5=103

Conclusion : CN=2 et MN=10

3.

PAUL MILAN3CRPE

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Réciproque du théorème de Thalès

Théorème 4 :: Soit O, A, B d"une part et O, A", B" d"autre part alignés dans cet ordre. SiOA

OB=OA?OB?alors, on a :(AA?)//(BB?)

Exemple :On donne la figure ci-dessous, montrer que (AB) et (MN) sont paral- lèles.

Calculons les deux rapports :

OM

OA=3,54,5=79

ON

OB=5,256,75=2127=79

On a donc :

OM

OA=ONOB

ABO M N 13,5

1,55,25

donc d"après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (AB) sont parallèles.

PAUL MILAN4CRPE

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