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16 juin 2017
Exercice I5 points
Commun à tousles candidats
1.AetBsont deux évènements d"une expérience aléatoire.
On note
Bl"évènement contraire deB.
On sait que :P(A)=0,6,P(B)=0,5 etP(A∩B)=0,42. pB(A)=p(A∩B)
pB=0,420,5=0,84 :pB(A)=0,84(réponse c.)2. Dans une station de ski, le temps d"attente à un télésiège donné, exprimé en
sur l"intervalle [0; 5]. p(X>2)=p(23. Une machine remplit des flacons dont le volume annoncé est de 100 mL. On
admet que le volume contenu dans le flacon peut être modélisé par une va- riable aléatoireYqui suit la loi normale d"espérance 100 mL et d"écart type 2 mL. p(96?Y?104)=p(μ-2σ?X?μ+2σ) ≈0,95(réponse c.)4. Sifreprésente la fréquence du caractère étudié dans un échantillon de taille
n, alors si les condition sont vérifiées, l"intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 %, est donné par : I=? f-1 ?n;f+1?n? qui a une amplitudedeA=2?n. On cherche donc un entiernstrictement positif tel que2 ?n?0,1. La fonction inverse étant décroissante sur ]0 ;+∞], on en déduit? n2?10,1=
10 qui donne
n?20. n?202=400. (réponse d.)5. La fonctionfest la fonction densité de probabilité associée à la loi normale
centréeréduiteN(0; 1).Lafonctiongestlafonctiondedensitédeprobabilité associée à la loi normale de moyenneμ=3 et d"écart typeσ=2. La fonctionfest la fonction de Gauss définie prf(x)=1 ?2πe-x22doncf(0)=
1 ?2π≈0,4 ce qui exclut la courbe c.Corrigé du baccalauréat ESA. P. M. E. P.
tionx=μ=3; cela exclut la courbe a. On sait quep(μ-σ?X?μ+σ)=p(1?X?5)≈0,68. Cela exclut la courbeCgde la figure b., car l"aire correspondanteentrex=1 et x=5 est visiblement supérieure à quatre carreaux, donc supérieure à 0,8.La réponse est donc la
réponse d.Antilles-GuyanePage 2/1016 juin 2017
Corrigé du baccalauréat ESA. P. M. E. P.
Exercice II5 points
Commun à tous/toutesles candidat/e/s
1.u0=75
u1=(1-4%)u0+2=0,96×75+2=72+2=74 :
u1=74 u2=(1-4%)u1+2=0,96×74+2=71,04+2=73,04 :u1=73,042.u1-u0= -1 etu2-u1=-0,96; la différence entre deux termes consécutifs
n"est pas constante, donc la suite (un)n"est pas arithmétique. u1 u0=7475;u2u1=73,0474=73047400=913925?=u1u0; le quotientde deux termesconsé- cutifs n"est pas constant donc la suite n"est pas géométrique.3. Pour toutn,un+1(1-4%)un+2=0,96un+2 donc
un+1=0,96un+2.4. Pour toutn, on posevn=un-50.
(a) Pourtoutn,vn+1=un+1-50=(0,96un+2)-50=0,96un-48=0,96(un-50)=0,96vn.
On en déduit que la suite
(vn)est géométriquede raisonq=0,96. (b) Le premier terme estv0=u0-50=75-50=25.On a alors :vn=v0×qn=25×0,96n:
vn=25×0,96n. (c) Pour toutn,vn=un-50 doncun=vn+50 d"où un=25×0,96n+50. (d)-1<0,96<1 donc limn→+∞0,96n=0; par produit et par somme, on a : limn→+∞un=50. La quantité d"eau dans la piscine va se stabiliser à 50 m 3.5. (a) Complétonsl"algorithme:
Variables:nest un nombre entier naturelL1
uest un nombre réelL2Traitement :nprend la valeur 0L3
uprend la valeur 75L4Tant queu?65L5
uprend la valeur0,96×u+2L6 nprend la valeurn+1L7Fin Tant queL8
Sortie : AffichernL9
(b) À la calculatrice, on trouveu12≈65,32 etu13≈64,7 donc l"algorithme affiche n=13. (c) Sionconserveceréglage,leniveaudel"eauestsuffisantpendant12jours.Antilles-GuyanePage 3/1016 juin 2017
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Exercice II5 points
Candidats de la série ES ayant suivil"enseignement de spécialitéLes parties A et B sont indépendantes
Partie A
Le graphe ci-dessous représente le plan d"un centre de vacances. Les arêtes re- présentent les allées et les sommets, les carrefours. On a indiqué sur chaque arête la longueur en mètre des allées entre deux carrefours. 11075
30
72
42
50
103
40
93
80AB
CD E F G
1. Déterminonsle degré des sommets
SommetABCDEFG
Degré2432432
Exactement deux sommets de ce graphe connexe ont un degré impair. Il existe donc une chaîne eulérienne. On peut donc nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d"elles.2. Le graphe possède des sommets de degré impair.
Il n"existe donc
pas de cycle eulérien. Il n"existe donc pas de parcours permettant de nettoyer toutes les allées en passant une et une seule fois par chacune d"elles et de revenir au point de dé- part.3. Déterminonsle trajet le plus court pour aller du carrefour A au carrefour G.
Pour cela, nous allons utiliser l"algorithmede Dijkstra :ABCDEFGsommet
0A75(A)110(A)B
105(B)125(B)117(B)C
125(B)117(B)E
157(E)210(E)D
157(E)210(E)F
210(E)G
Le chemin le plus court est donc A - B - E - G. Il mesure210 mètres.Antilles-GuyanePage 4/1016 juin 2017
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Partie B
Dans ce centre de vacances, les vacanciers peuvent, chaque jour, déjeuner au restaurant du centre ou à l"extérieur. On constate chaque jour que : 5 % des vacanciers ayant déjeuné au centre de vacances ne se réinscrivent pas pour le lendemain; 20 % des vacanciers ayant déjeuné à l"extérieur s"inscrivent pour déjeuner au centre de vacances le lendemain. On noteDl"état "Déjeuner au centre de vacances» etEl"évènement "Déjeunerà l"extérieur».
1. Graphe correspondant à la situation:
DE0,050,95
0,2 0,82. La matrice de transition de ce graphe, les sommets étant rangés selon l"ordre
alphabétique, est :M=?0,95 0,05
0,2 0,8?.
3. On notednetenrespectivement la proportion de vacanciers prenant leur dé-
jeuner au centre de vacances et la proportion de vacanciers prenant leur dé- jeuner à l"extérieur le n-ième jour.On notePn=?dnen?.
On aP1=?0,25 0,75?.
Le deuxième jour, on aP2=p1×M=?0,25 0,75?×?0,95 0,050,2 0,8?
?0,25×0,95+0,75×0,2 0,25×0,05+0,75×0,8?= ?0,3875 0,6125)?. Lepourcentagedevacanciers quimangentaucentreledeuxièmejourestd2=0,3875=38,75%.
De même,P5=P1×M4≈
?0,626 0,374?(calculé à la calculatrice). Le pourcentage de vacanciers qui mangent au centre le cinquième jour est d5≈0,626=62,6%.
4.?0,5 0,5?×M=?0,575 0,425??=?0,5 0,5?donc l"état?0,5 0,5?n"est pas
stable.5. Déterminonsl"état stableP=?d e?. Il vérifie :
Antilles-GuyanePage 5/1016 juin 2017
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?P=P×M e=0,05d+0,8e e=1-d???d=0,95d+0,2(1-d) e=1-d??0,25d=0,2
e=1-d???d=0,8 e=0,2.L"état stable est donc
P?0,8 0,2?.
Puisque la matriceMest d"ordre 2 et ne comporte aucun 0, alors la suite(Pn) converge vers la matriceP. Sur le long terme, 80 % des vacanciers prendront leur déjeuner au centre.L"affirmation est donc
fausse.Antilles-GuyanePage 6/1016 juin 2017
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Exercice III7 points
Commun à tous/toutesles candidat/e/s
La courbeCci-dessous est la courbe représentative dans le plan muni d"un re- père orthonormé d"une fonctionfdéfinie et deux fois dérivable sur l"intervalle [-4; 10]. La tangente à la courbeCau point A d"abscisse-2 est parallèle à l"axe des
abscisses. Le domaineS grisésur lafigure est le domainecomprisentrela courbeC, l"axe des abscisses, la droite d"équationx=2 et la droite d"équationx=4. -11234567
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1-2-3-4-5
0 ?A CPartie A
1. Puisque la tangente àCau point d"abscisse-2 est parallèle à l"axe des abs-
cisses, on a : f?(-2)=0.2. La tangente à la courbeCau point d"abscisse 4 est "dirigée vers le bas» donc
le nombre dérivéef?(4), coefficient directeur de cette tangente, est négatif.3. L"aire du domaine S est comprise entre 3 et 4 unités d"aires.
Partie B
1. (a) La fonctionfest dérivable sur [-4; 10].
La fonctionfest de la formeuvdonc de dérivéeu?v+uv?avec :?u(x)=(x+4) v(x)=e-0,5x;?u?(x)=1 v ?(x)=-0,5e-0,5x. doncPour toutx?[-4 ; 10],
f?(x)=(-0,5x-1)e-0,5xAntilles-GuyanePage 7/1016 juin 2017
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(b) Pour toutx, e-0,5x>0 doncf?(x) est du signe de-0,5x-1 et s"annule si -0,5x-1=0. -0,5x-1=0?? -0,5x=1??x=-10,5=-2.
-0,5x-1>0?? -0,5x>1??x< -2 (en divisant par-0,5, nombre négatif). On en déduit quefest décroissante sur [-4 ;-2] puis croissante sur [-2 ; 10]. x-4-2 10 f?(x)+0- f(x) 0?? ??2e ????14e-5 (c) Sur [1 ; 6],fest continue,f(1)=5e-0,5≈3,03>1,5 etf(6)=10e-3≈0,5<1,5.
D"après le théorèmedesvaleursintermédiaires,l"équationf(x)=1,5 ad- met une solution sur [1 ; 6]; celle-ci est unique dans cet intervalle, carf est décroissante sur cet intervalle. On la noteα. (d) À la calculatrice, on trouveα≈3,11.
2. On admet que la dérivée seconde defest définie parf??(x)=0,25xe-0,5x.
(a) Étudions la convexité de la fonctionfsur l"intervalle [-4 ; 10]. fest convexe sur un intervalle[a;b] si, et seulement si,f??(x)?0 sur cet intervalle.Comme e
0,5x>0,f??(x)>0??0,25x>0??x>0.
fest donc convexesur [0 ; 10]. flexion sont donc (0 ; 4).3. (a) SoitFla fonctiondéfinie parF(x)=(-2x+12)e-0,5x. Pour montrer queF
est une primitivedefsur [-4 ; 10], il suffit de montrer que F?=f. (b)S=? 2 4 f(x) dx=F(4)-F(2)=-20e-2-(-16)e-1=16e-1-20e-2.
S≈3,18
Exercice IV3 points
Commun à tousles candidats
On considère la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [0;1] parf(x)=4+e-5x.Antilles-GuyanePage 8/1016 juin 2017
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On a tracé dans le repère orthogonalci-dessous la courbeCreprésentativede la fonctionfdans un repère du plan. Le domaineDhachuré sur la figure est le domaine délimitépar la courbeC, par l"axe des abscisses, l"axe des ordonnées et la droite d"équationx=1. On veut partager le domaine hachuré en deux domaines de même aire par une droite d"équationy=a, parallèle à l"axe des abscisses, selon l"exemple donné ci- dessous.123456
1 0 ay=a C1. Supposons que l"on prennea=3; l"aire de la partie du plan comprise entre
la droite d"équation y=3, l"axe des abscisses et les droitesd"équationsx=0 et x=1 vaut 3 (aire d"un rectangle). L"aire de la partie du plan comprise entre la droite d"équationy=3, la courbe Cet les droites d"équationsx=0 etx=1 est inférieure à l"aire délimitée par les droites d"équationsy=3 ety=5 qui vaut 2 (aire d"un rectangle). Les deux aires sont donc différentes;a=3 ne convient pas.2. L"aire de la partie du plan comprise entre la droite d"équationy=a, l"axe des
abscisses et les droites d"équationsx=0 etx=1 vauta. L"aire dela partiedu plancompriseentrela courbeC, l"axe des abscisseset les droites d"équationsx=0 etx=1 vaut donc 2a.Cette aire vaut?
1 0 f(x) dxavecf(x)=4+e-5x.Antilles-GuyanePage 9/1016 juin 2017
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Une primitive defestFavecF(x)=4x-15e-5xcar e-5x= -15×(-5e-5x)= 15u?(x)eu(x)en posantu(x)=-5xdont une primitiveest-15e-5x.
1 0 f(x) dx=F(1)-F(0)=4-e-5 5+15=21-e-5
5.On en déduit que
a=21-e-510≈2,1à 0,1 prèsAntilles-GuyanePage 10/1016 juin 2017
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