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[Corrigé du baccalauréat S Antilles-Guyane 16 juin 2017 EXERCICE 1 3 points 1 Ona14 +2×13 ?1?2=1+2?1?2=0donc 1est solution de(E) 2 Soit z ?Calors : ¡ z2 +z ?2 ¢¡ z2 +z +1 ¢ =z4 +z3 +z2 +z3 +z2+z ?2z2 ?2z ?2=z4 +2z3 ?z ?2 3 D’aprèsla question précédente l’équation (E) équivaut à z2+z ?2=0 ou z2
Corrige S Antilles-Guyane 16 juin 2017 AD - APMEP
Corrigé baccalauréatSAntilles -Guyane du 16juin 2017 TS 2 D’aprèsce quiprécède pourtoutentiern >3 le nombre réel ?n est solution de l’équation (En) a Surle graphique sont tracéesles droites D3 D4 et D5 d’équations respectives y = 1 3 y = 1 4 y = 1 5 Conjecturerle sensde variationde la suite (an)
EXERCICE13 points
Commun à tousles candidats
On munit le plan complexe d"un repère orthonormé direct. On considère l"équation (E):z4+2z3-z-2=0 ayant pour inconnue le nombre complexez.1.Donner une solution entière de (E).
Solution:z=1 est une solution évidente de (E)
2.Démontrer que, pour tout nombre complexez,
z4+2z3-z-2=?z2+z-2??z2+z+1?.
On a donc bien?z?C,z4+2z3-z-2=?z2+z-2??z2+z+1?
3.Résoudre l"équation (E) dans l"ensemble des nombres complexes.
Solution:(E)???z2+z-2=0
z2+z+1=0
Résolution dez2+z-2=0
z ou z=-2Résolution dez2+z+1=0
Δ=b2-4ac= -3=?i?
3?2<0 on en déduit que l"équation admet deux solutions
complexes conjuguées ?z1=-b-i?
2a=-12-i?
3 2 z 2= z1=-12+i? 3 2Finalement (E)??z??
-2 ; 1 ;-1 2-i? 32;-12+i?
3 2?4.Les solutions de l"équation (E) sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD
est un quadrilatère non croisé. Le quadrilatère ABCD est-il un losange? Justifier.Solution:On se place dans un repère?
O;-→u,-→v?
orthonormé directSoitA(-2) ,B?
1 2-i? 3 2? ,C(1) etD? 12+i? 3 2? AC(3i) et--→DB(1) donc--→AC=3-→uet--→DB(1)=-→v on en déduit que (AC) et (BD) sont perpendiculaires z A+zC2=-12etzB+zD2=-12, on en déduit que [AC] et [BD] ont même milieu
FinalementABCDest un losange car ses diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires.Baccalauréat 2017 page 1 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TSEXERCICE24 points
Commun à tousles candidats
Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d"une fine couche de nickel qui les
protège contre la corrosion et l"usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse.
On admet que la variable aléatoireX, qui à chaque pièce traitée associe l"épaisseur de nickel déposé, suit la loi
normale d"espéranceμ1=25 micromètres (μm) et d"écart typeσ1.Une pièce est conforme si l"épaisseur de nickel déposé est comprise entre 22,8μm et 27,2μm.
25 26 27 28 29 302423222120
2,3% 27,21. a.Déterminer la probabilité qu"une pièce soit conforme.
Solution :X?→N?25 ;σ21?donc la courbe de la fonction densité est symétrique par rapport à la
droite d"équationx=25 on en déduitP(X>27,2)=P(X>25+2,2)=P(25-2,225 26 27 28 29 302423222120
2,3%27,22,3%
22,8b.Justifier que 1,1 est une valeur approchée deσ1à 10-1près. Solution:On sait que siX?→N?μ;σ2?alorsP(μ-2σ
Solution:On cherchePX?[22,8 ; 27,2](X<24)
P X?[22,8 ; 27,2](X?[0 ; 24])=P(X?[0 ; 24]∩[22,8 ; 27,2])P(X?[22,8 ; 27,2])=P(22,8 Baccalauréat 2017 page 2 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TS 2.Une équipe d"ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans au-
cune source de courant. L"équipe affirmeque ce nouveauprocédé permet théoriquementd"obtenir 98% de
pièces conformes. La variable aléatoireYqui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associel"épaisseur de nickel
déposé suit la loi normale d"espéranceμ2=25μm et d"écart-typeσ2. a.En admettant l"affirmation ci-dessus, comparerσ1etσ2. Solution :σ2<σ1car la probabilité qu"un pièce soit conforme est supérieuredans le deuxième cas,
ce qui signifie que la dispersion est moins grande autour de l"espérance. b.Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle quesur 500 pièces testées, 15 ne sont pas
conformes. Au seuil de 95%, peut-on rejeter l"affirmation de l"équipe d"ingénieurs? Solution:Ici on répèten=500 fois de manière indépendante le test d"une pièce La proportion annoncée de pièces conformes estp=0,98. On an?30 ,np=490?5 etn(1-p)=10?5.
On peut donc bâtir l"intervalle de fluctuation asymptotique. On peut affirmer au seuil de 95% que la fréquence observée de pièces conformes devrait appartenir
à l"intervalleIn=?
p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? p-1,96? p(1-p)?n≈0,9677 etp+1,96? p(1-p)?n≈0,9923 la fréquence observée estf=485 500=0,97?In.
On peut donc pas rejeter l"affirmation au seuil de 95%. Baccalauréat 2017 page 3 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TS EXERCICE33 points
Commun à tousles candidats
Soientfetgles fonctions définies sur l"ensembleRdes nombres réels par f(x)=exetg(x)=e-x. On noteCfla courbe représentative de la fonctionfetCgcelle de la fonctiongdans un repère orthonormé du
plan. Pour tout réela, on noteMle point deCfd"abscisseaetNle point deCgd"abscissea. La tangente enMàCfcoupe l"axe des abscisses enP, la tangente enNàCgcoupe l"axe des abscisses enQ.
À l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs deaet on a
relevé dans un tableur la longueur du segment [PQ] pour chacune de ces valeurs dea. -11 23
1 2-1-2
AB 1AbscisseaLongueurPQ
2-32 3-2,52
4-22 5-1,52
6-12 7-0,52
802
90,52
1012
111,52
1222
132,52
14 Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante. 1.Démontrer que la tangente enMàCfest perpendiculaire à la tangente enNàCg.
Solution:fetfsont dérivables surRet pour tout réelxon af?(x)=exetg?(x)=e-x La tangente àCfen M d"abscisseaa pour coefficient directeurm1=f?(a)=ea La tangente àCgen N d"abscisseaa pour coefficient directeurm2=g?(a)=-e-a m 1×m2=-ea-a=-1 et le repère est orthonormé, on en déduit que les tangentes sont perpendiculaires.
remarque : si on ne connaît pas cette propriété on peut passer par les vecteurs directeurs de ces deux
droites : u1?1 e a? et-→u2?1 -e-a? puis montrer que leur produit scalaire est nul (toujours parce que l"on se situe dans un repère orthonormé) 2. a.Que peut-on conjecturer pour la longueurPQ?
Solution:D"après les données du logiciel, il semblerait que la longueur PQ soit constante b.Démontrer cette conjecture. Solution:Δf, la tangente àCfen M d"abscisseaa pour équationy=f?(a)(x-a)+f(a) soitΔf:y=eax+(1-a)ea g, la tangente àCgen N d"abscisseaa pour équationy=g?(a)(x-a)+g(a) soitΔg:y=-e-ax+(1+a)e-a P(xP; 0) avecxPtel que eaxP+(1-a)ea=0??xP=a-1
Q(xQ; 0) avecxQtel que-e-axQ+(1+a)e-a=0??xQ=1+a
On a alors PQ=1+a-(a-1)=2
Baccalauréat 2017 page 4 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TS EXERCICE45 points
Commun à tousles candidats
En):ln(x)
x=1n ayant pour inconnue le nombre réel strictement positifx. Partie A
Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=ln(x) x. On admet que la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ]0 ;+∞[. On a donné en ANNEXE, qui n"est pas à rendre, la courbe représentativeCfde la fonctionfdans un repère
orthogonal. 1.Étudier les variations de la fonctionf.
Solution:fest dérivable sur ]0 ;+∞[
f=u v=?f?=u?v-uv?v2avec?u(x)=ln(x) v(x)=x=????u ?(x)=1x v?(x)=1 ?x>0 ,f?(x)=1-ln(x) x2 x 2>0 sur ]0 ;+∞[ doncf?(x) est du signe de (1-ln(x)), on en déduit les variations def
x0 e+∞ f ?(x)+0- 1 equotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
Baccalauréat 2017 page 2 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TS2.Une équipe d"ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans au-
cune source de courant. L"équipe affirmeque ce nouveauprocédé permet théoriquementd"obtenir 98% de
pièces conformes.La variable aléatoireYqui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associel"épaisseur de nickel
déposé suit la loi normale d"espéranceμ2=25μm et d"écart-typeσ2. a.En admettant l"affirmation ci-dessus, comparerσ1etσ2.Solution :σ2<σ1car la probabilité qu"un pièce soit conforme est supérieuredans le deuxième cas,
ce qui signifie que la dispersion est moins grande autour de l"espérance.b.Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle quesur 500 pièces testées, 15 ne sont pas
conformes. Au seuil de 95%, peut-on rejeter l"affirmation de l"équipe d"ingénieurs? Solution:Ici on répèten=500 fois de manière indépendante le test d"une pièce La proportion annoncée de pièces conformes estp=0,98.On an?30 ,np=490?5 etn(1-p)=10?5.
On peut donc bâtir l"intervalle de fluctuation asymptotique.On peut affirmer au seuil de 95% que la fréquence observée de pièces conformes devrait appartenir
à l"intervalleIn=?
p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? p-1,96? p(1-p)?n≈0,9677 etp+1,96? p(1-p)?n≈0,9923 la fréquence observée estf=485500=0,97?In.
On peut donc pas rejeter l"affirmation au seuil de 95%.Baccalauréat 2017 page 3 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TSEXERCICE33 points
Commun à tousles candidats
Soientfetgles fonctions définies sur l"ensembleRdes nombres réels par f(x)=exetg(x)=e-x.On noteCfla courbe représentative de la fonctionfetCgcelle de la fonctiongdans un repère orthonormé du
plan. Pour tout réela, on noteMle point deCfd"abscisseaetNle point deCgd"abscissea.La tangente enMàCfcoupe l"axe des abscisses enP, la tangente enNàCgcoupe l"axe des abscisses enQ.
À l"aide d"un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs deaet on a
relevé dans un tableur la longueur du segment [PQ] pour chacune de ces valeurs dea. -11 231 2-1-2
AB1AbscisseaLongueurPQ
2-323-2,52
4-225-1,52
6-127-0,52
80290,52
1012
111,52
1222132,52
14 Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante.1.Démontrer que la tangente enMàCfest perpendiculaire à la tangente enNàCg.
Solution:fetfsont dérivables surRet pour tout réelxon af?(x)=exetg?(x)=e-x La tangente àCfen M d"abscisseaa pour coefficient directeurm1=f?(a)=ea La tangente àCgen N d"abscisseaa pour coefficient directeurm2=g?(a)=-e-a m1×m2=-ea-a=-1 et le repère est orthonormé, on en déduit que les tangentes sont perpendiculaires.
remarque: si on ne connaît pas cette propriété on peut passer par les vecteurs directeurs de ces deux
droites : u1?1 e a? et-→u2?1 -e-a? puis montrer que leur produit scalaire est nul (toujours parce que l"on se situe dans un repère orthonormé)2. a.Que peut-on conjecturer pour la longueurPQ?
Solution:D"après les données du logiciel, il semblerait que la longueur PQ soit constante b.Démontrer cette conjecture. Solution:Δf, la tangente àCfen M d"abscisseaa pour équationy=f?(a)(x-a)+f(a) soitΔf:y=eax+(1-a)ea g, la tangente àCgen N d"abscisseaa pour équationy=g?(a)(x-a)+g(a) soitΔg:y=-e-ax+(1+a)e-aP(xP; 0) avecxPtel que eaxP+(1-a)ea=0??xP=a-1
Q(xQ; 0) avecxQtel que-e-axQ+(1+a)e-a=0??xQ=1+a
On a alors PQ=1+a-(a-1)=2
Baccalauréat 2017 page 4 sur 9A. Detant
Corrigé baccalauréat S Antilles - Guyane du 16 juin 2017TSEXERCICE45 points
Commun à tousles candidats
En):ln(x)
x=1n ayant pour inconnue le nombre réel strictement positifx.Partie A
Soitfla fonction définie sur l"intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=ln(x) x. On admet que la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ]0 ;+∞[.On a donné en ANNEXE, qui n"est pas à rendre, la courbe représentativeCfde la fonctionfdans un repère
orthogonal.1.Étudier les variations de la fonctionf.
Solution:fest dérivable sur ]0 ;+∞[
f=u v=?f?=u?v-uv?v2avec?u(x)=ln(x) v(x)=x=????u ?(x)=1x v?(x)=1 ?x>0 ,f?(x)=1-ln(x) x2 x2>0 sur ]0 ;+∞[ doncf?(x) est du signe de (1-ln(x)), on en déduit les variations def
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