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Antilles-Guyane- 16 juin 2017

EXERCICE1(4 points)

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 etd"argumentπ 2.

1.La suite(un)est définie paru0=-3 et pour tout entier natureln,un+1=7

5un.

La limite quandntend vers+∞de(un)est :

a.0b.-∞ c.+∞d.-3

La suite (un) est géométrique de raisonq=7

5et de premier termeu0=-3 donc,

pour tout entier natureln,un=u0×qn=-3×? 7 5? n 7

5>1 donc limn→+∞?

75?
n=+∞et donc limn→+∞-3×?75? n=-∞.

2.On considère la suite géométrique(vn)définie par son premier termev0=1

4et sa raison

q=3 2.

La valeur exacte du termev10est égale à :

a.14,4b.7,3×10-4c.59049

4096d.154

La suite (vn) est géométrique de premier termev0=1

4et de raisonq=32donc,

pour tout entier natureln,vn=v0×qn=1

4×?32?

n. Doncv10=14×?32?

10=3104×210=

59049
4096

3.On considère le nombre complexez=?

3-5i. Le nombre complexezzest égal à :

a.3-25ib.?-?

3+5i???3-5i?c.-28d.28

zz=|z|2=??3?2+?-5?2=3+25=28

4.Le nombreaest un réel strictement positif. Le nombre complexez=a+ia?

3 admet pour

forme exponentielle : a.eiaπ

3b.aei2aπ3c.2aeiπ3d.2aei2π3

|z| =? a2+? a?3?

2=?4a2=2adoncz=2a?12+ı?

3 2? =2a?cosπ3+ısinπ3?=

2aeıπ

3

EXERCICE2(7 points)

dans deux baromètres, l"un situé à Clermont-Ferrand et l"autre en haut de la montagne la plus

proche, le Puy-de-Dôme.

Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-

Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-

Ferrand.

Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l"altitude augmente. Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa). On rappelle que la pression atmosphérique vaut1013,25hPaau niveau de la mer. Corrigédu baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

Partie A : Une règle simplifiée

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : "la

pression atmosphérique diminue de 0,11 hectopascal quand l"altitude augmente de 1 mètre».

1.La pression baisse de 0,11hPa par mètre donc elle baisse de 800×0,11=88 hPa pour 800

mètres; la pression à 800 mètres est donc 1013,25-88=925,25 hPa. On fait un calcul similaire pour obtenir la pression à 1500 m et à 2000 m. On complète alors le tableau en utilisant cette règle : altitude (en mètre)080015002000 pression atmosphé- rique (en hPa)1013,25925,25848,25793,25

2.Pour tout entier natureln, on noteunla pression atmosphérique en hPa à l"altitude den

mètres calculée avec la règle simplifiée. Ainsiu0=1013,25. b. u2 u 2 u1?=u1u0donc la suite (un) n"est pas géométrique. c.On admet que pour tout entier natureln,un=u0-0,11n. La pression atmosphérique est inférieure à 950hPa pour les valeurs dentelles que : u 63,25

0,11575

La pression sera inférieure à 950hPa pour une altitude supérieure à 575 mètres.

Partie B : La formule barométrique

On considère l"équation différentielle (E) :y?+0,12y=0.

Pour de faibles valeurs de l"altitude, les scientifiques ontdémontré que la fonctionfqui, à l"alti-

tudexenkilomètre, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l"équa-

tion différentielle (E) qui vérifief(0)=1013,25.

1. a.L"équation différentielley?+0,12y=0 est de la formey?+ay=0 aveca?=0.

D"après le cours, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctionsfdé- finies surRparf(x)=Ce-axoùCest un réel quelconque. Donc les solutions de l"équation différentielle (E) sont les fonctionsfdéfinies surR parf(x)=Ce-0,12xoùCest un réel quelconque. b.La solutionfde l"équation différentielle (E) qui vérifie la condition initialef(0)=

1013,25 est la fonction définie sur[0 ;+∞[telle queCe0=1013,25 donc telle que

C=1013,25.

La solutionfvérifiant la condition initiale est donc définie parf(x)=1013,25e-0,12x.

2.En utilisant la fonctionf:

a.Une altitude de 150 mètres correspond à 0,15 kilomètre donc la pression atmosphé- rique à 150 mètres d"altitude est f(0,15)=1013,25e-0,12×0,150=1013,25e-0,018≈995,17 hPa. b.L"altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900hPa est la solution (en kilomètre) de l"équationf(x)=900 :

1013,25?? -0,12x=ln9001013,25

??x=-ln900

1013,25

0,12=?x≈0,988

L"altitude correspondant à une pression atmosphérique de 900hPa est 988 mètres.

Antilles-Guyane216 juin 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

3.On posevn=f(n), pour tout entier natureln.

v v n+1=vn×e-0,12 Donc la suite (vn) est géométrique de raison e-0,12. Partie C : Laformule du nivellementbarométrique La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes.

Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonctionpqui, à l"altitudexen kilomètre, associe la

pression atmosphérique en hPa :p(x)=1013,25?

1-6,5x

288,15?

5,255

1.La pression atmosphérique au sommet de l"Everest estp(8,848)≈314 hPa.

2.On complète l"algorithme suivant de façon à ce qu"il affiche en sortie l"altitude (estimée à

100 mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à 400hPa :

Variables

Aun nombre réel

Pun nombre réel

Début

Aprend la valeur 0

Pprend la valeur 1013,25

TantqueP?400faire

Aprend la valeurA+0,1

Pprend la valeurp(A)

Fin tant que

AfficherP

Fin

Antilles-Guyane316 juin 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

EXERCICE3(4 points)

Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d"un petit bateau.

La voile est représentée en grisdans le repèreorthonormé ci-dessous où une unité représente un

mètre. C fest la représentation graphique de la fonctionfdéfinie sur [0,1 ;+∞[par : f(x)=12+ax2+ln(x). oùaest un nombre réel qui sera déterminé dans la partie A.

S est le point deCfd"abscisse 1.

A est le point deCfd"abscisse 2.

B est le point deCfd"abscisse 5.

D est le point d"intersection de la droite d"équationx=2 et de la droite parallèle à l"axe des abscisses passant par B. La voile est représentée par le domaine délimité par le seg- ment [AD], le segment [DB] et la courbeCf.

0 1 2 3 4 5 601234567891011

S D B A C f?

Partie A

La fonctionf?désigne la fonction dérivée def.

1.On suppose que la tangente à la courbeCfau point S est horizontale; doncf?(1)=0.

2.Pour tout réelxde[0,1 ;+∞[,f?(x)=2ax+1

x.

3. a.f?(x)=2ax+1

xdoncf?(1)=2a+1. b.f?(1)=0 etf?(1)=2a+1 donc 2a+1=0 ce qui entraîne quea=-0,5 et donc que f(x)=12-0,5x2+ln(x).

Partie B

1.SoitFla fonction définie sur[0,1 ;+∞[parF(x)=11x-1

6x3+xln(x).

Pour toutxde[0,1 ;+∞[,

F ?(x)=11-1

DoncFest une primitive defsur[0,1 ;+∞[.

2. a.La fonctionfest positive sur[2 ; 5]donc l"aire du domaine limité par la courbeCf,

l"axe des abscisses et les droites d"équationx=2 etx=5 est :?5 2 f(x)dx=? F(x)? 5

2=F(5)-F(2)=?205

6+5ln(5)?

-?623+2ln(2)? =272+5ln(5)-

2ln(2) m

2. b. 27

2+5ln(5)-2ln(2)≈20,2 m2

3.Cette voile doit êtrelégèretout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dansun

tissu ayant une masse de 260 grammes par mètre carré. L"aire de la voile en mètre carré est égale à l"aire de la partie grise soit :?5 2 f(x)dx-DB×f(5)=27

2+5ln(5)-2ln(2)-3×?

-12+ln5? =15+2ln(5)-2ln(2)=15+

2ln(2,5).

La voile pèsera donc?15+2ln(2,5)?×0,26≈4,376 kg donc moins de 5 kg.

Antilles-Guyane416 juin 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

EXERCICE4(5 points)

Partie A

Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d"une hor- mone appelée TSH. Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital.

On désigne parXla variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le

taux de TSH du patient correspondant. On suppose queXsuit la loi normale de moyenneμ=2,2 et d"écart-typeσ=0,9.

1.On trouve à la calculatrice queP(X<3)≈0,813.

2.La probabilité qu"un dossier médical pris au hasard dans cethôpital présente un taux de

TSH compris entre 1,5 et 3,5 estP(1,53.Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à4, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient. La probabilité qu"un dossier médical pris au hasard dans cethôpital corresponde à un pa- tient qui nécessite des examens complémentaires estP(X>4)≈0,023.

Partie B

En 2012, l"Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s"est inquiétée de la forte aug-

mentation desventes dumédicament qui traite l"hypothyroïdie. Pour obtenir unétat deslieux de

l"utilisation de ce médicament en France, l"ANSM a effectuéun sondage sur 530877 personnes. Dans cet échantillon, 21771 personnes ont déclaré qu"ellesutilisaient ce médicament.

1.La fréquence des utilisateurs du médicament dans l"échantillon étudié estf=21771

530877≈

0,041.

2.Ondétermine unintervalle deconfianceavec unniveau deconfiancede95% delapropor-

tion d"utilisateurs de ce médicament dans la population française : I=?? f-1,96? f(1-f) n;f+1,96? f(1-f) n??

0,041-1,96?

0,041(1-0,041)

530877; 0,041+1,96?

0,041(1-0,041)

530877?

≈[0,040 ; 0,042]

Partie C

En médecine, on utilise de l"iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde.

La durée de vie exprimée en heure d"un atome d"iode radioactif est modélisée par une variable

aléatoireDqui suit la loi exponentielle de paramètreλ=0,0036, exprimé en h-1.

1.La durée de vie moyenne de l"atome d"iode radioactif estE(D)=1

λ≈278 heures.

2.D"après le cours :P(24 48
24

λe-λtdt=?

-e-λt?4824= -e-0,0036×48-?-e-0,0036×24?=e-0,0864- e -0,1728 ≈0,076. Cela signifie qu"il y a environ 7,6% d"atomes d"iode encore envie entre 24 et 48 heures.

Antilles-Guyane516 juin 2017

Corrigédu baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

3.Onappelle demi-vie d"un élément radioactifletempsT,expriméenheure,nécessairepour

que la moitié des atomes radioactifs d"une substance se soitdésintégrée. Autrement dit, ce

réelTest tel queP(D1-e-λt.

P(D ??ln?1 2? =-λT?? -ln(2)=-λT??T=ln(2)λ b.La demi-vie de l"iode radioactif estln(2)

0,0036≈192,5 heures soit environ 8 jours.

Antilles-Guyane616 juin 2017

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