[PDF] Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) ? Développements limités

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PanaMaths [1 - 4] Décembre 2001

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)

Développements limités

Définitions

Au voisinage d'un point

Soit a un réel et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un voisinage ,aa de a sauf, éventuellement, en a. On dit que f possède un développement limité en a à l'ordre n si, et seulement si, il existe 1 01 n n aa a et une fonction réelle de la variable réelle définie sur ,aa, sauf éventuellement en a, tels que : 2 01 2 nn n fxaaxaaxa axa xx quand ,xax a lim ( ) 0 xaxa x 2 01 2 n na axa axa axa s'appelle la partie régulière du développement limité.

Au voisinage de ou

Soit A un réel et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur ,A (resp. ,A). On dit que f possède un développement limité en (resp. ) à l'ordre n si, et seulement si, il existe 1 01 n n aa a et une fonction réelle de la variable réelle définie sur ,A (resp. ,A) tels que : 12 02 ( ) ...n nn aaa xfx a xxxx quand x (resp. ) lim ( ) 0 x x (resp. lim ( ) 0 x x 12 0 2 n n aaaa xxx s'appelle la partie régulière du développement limité. Remarque : on peut toujours se ramener à un développement limité à l'origine. Si on cherche un développement limité en a, on pose xah et on a : 2 01 2 nn n fxfahaahah ahhh quand 0, 0hh Si on cherche un développement limité en ou en , on pose

1xh et on a :

2 01 2

1() ... ()

nn n fxf aahah ahhhh quand

0, 0hh

PanaMaths [2 - 4] Décembre 2001

Partie principale d'un développement limité

Soit f une fonction réelle de la variable réelle admettant en a le développement limité :

2 01 2 nn n fxaaxaaxa axa xx

On suppose que l'ensemble

0,1,2,..., / 0

k kna est non vide et on note son plus petit élément. Il existe alors une fonction réelle de la variable réelle telle que : () ()fxaxa x x et lim ( ) 0 xaxa x axa est appelée la partie principale du développement limité et on a, au voisinage de a, l'équivalence : ()fxaxa

Propriétés des développements limités

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. 1. Si f admet un développement limité en a à l'ordre n, il est unique ;

Conséquences :

a. Si f est paire, la partie régulière du développement limité de f en a ne comporte que des puissances paires ; b. Si f est impaire, la partie régulière du développement limité de f en a ne comporte que des puissances impaires ; 2. f possède un développement limité en a à l'ordre 0 f admet une limite finie en a ; 3.

Si f est continue en a, alors :

f admet un développement limité en a d'ordre 1 f est dérivable en a

On a alors :

()()'()()fah fa fahoh (Différentiabilité de f en a)

Formule de Taylor-Young

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. On suppose que f est n

fois dérivable en a. Alors la formule de Taylor-Young : 2 ( ) () '() ''() ... () ()2! ! n nn xx fah fa fahfa f a x xn est le développement limité de f en a à l'ordre n. Opérations sur les développements limités Soient f et g deux fonctions réelles de la variable réelle et a un réel quelconque. On suppose que f et g admettent chacune un développement limité en a d'ordre n : 2 01 2 2 01 2 nn n n nn n n fah a ahah ah h h Ph x h ga h b bh bh bh h h Qh x h avec lim ( ) lim ( ) 0 xa xaxa xa xx

PanaMaths [3 - 4] Décembre 2001

Alors :

1. La fonction somme, fg, admet un développement limité en a d'ordre n : 2

00 11 22

nn nn fgah a b a bh a bh a bh h h 2. La fonction produit, fg, admet un développement limité en a d'ordre n : 2 01 2 nn n n fgah c chch ch h h Rh h h où le polynôme R est obtenu en ne conservant du produit polynomial PQ que les termes de degré inférieur ou égal à n. 3.

En supposant

0

0b, la fonction rapport,

f g, admet un développement limité en a d'ordre n dont la partie régulière est obtenue en effectuant la division suivant les puissances croissantes de P par Q à l'ordre n. 4. La fonction composée, gof, admet un développement limité en a d'ordre n : 2 01 2 nn n n gof a h c c h c h c h h h R h h h où le polynôme R est obtenu en ne conservant du polynôme composé QoP que les termes de degré inférieur ou égal à n.

Intégration d'un développement limité

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. On suppose que f est dérivable sur un voisinage ,aa de a et que sa dérivée possède un développement limité en a d'ordre n : 2 01 2 nn n fah a ahah ah h h Alors f possède un développement limité en a d'ordre

1n qui s'écrit :

23 1112

0 ( ) ( ) ... ( )23 1 nnn aaa fah fa ah h h h h hn

Dérivation d'un développement limité

Soit f une fonction réelle de la variable réelle et a un réel quelconque. On suppose que f est dérivable sur un voisinage ,aa et que f possède un développement limité en a d'ordre 1n : 211

01 2 1

nnn nn fah a ahah ah ah h h Alors 'f possède un développement limité en a d'ordre n qui s'écrit : 2

12 3 1

'( ) 2 3 ... 1 ( ) nn n fah a ah ah n ah h h

PanaMaths [4 - 4] Décembre 2001

Développement limité généralisé

Soit a un réel quelconque et f une fonction réelle de la variable réelle définie sur un voisinage

,aa de a sauf, éventuellement, en a. On dit que f possède un développement limité généralisé en a si, et seulement si, il existe 01 k k aa a, un réel m non nul et une fonction réelle de la variable réelle définie sur ,aa, sauf éventuellement en a, tels que : 2 01 2

1( ) ... ( )

kk k m fah a ahah ah h hh quand 0, 0hh 00 lim ( ) 0 h h h Le développement limité généralisé est d'ordre k-m

Notes :

1.

Si m est entier, on écrira :

2 01 2

1( ) ... ( )

kk k m fah a ahah ah h hh 2. Comme 0

0a, on a :

0 0 lim ( ) h h fa h f. Opérations sur les développements limités généralisés Soient f et g deux fonctions réelles de la variable réelle et a un réel quelconque.

On suppose que f et g admettent les développements limités généralisés suivants en a :

2 01 2

11( ) ... () () ()

kk k k pp fah a ahah ah h h Ph h hhh 2 01 2

11( ) ... () () ()

kk k k qq ga h b bh bh bh h h Qh h hhh avec lim ( ) lim ( ) 0 xa xaxa xa xx

Alors :

1. La fonction produit, fg, admet un développement limité généralisé en a d'ordre kpq : 2 01 2

1()() ... ()

kk k pq fahgah c chch ch h hh 2.

La fonction rapport,

f g, admet un développement limité généralisé en a d'ordre kpq : 2 01 2 ()1... ( )() kk k pq fa hddhdh dhhhga hhquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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