[PDF] Chapitre 5 Développements limités

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Chapitre5

D´eveloppementslimit´es

33

34CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

ES

5.1Pr´eli minaires:relationsdecomparaison

D´efinition.(NotationdeLandau) Soientα?R,etf,gdeuxfonctionsd ´e- finissurun voisinagedea.On´ ecrit: -f=o a (g)(=o(g)siilest clairquel'on estpr `esde a)ssi?ε>0,?V a voisinagedeatelque?x?V a onpeut aussidirequelim x→a f(x) g(x) =0. -f=O a (g)(=O(g)siilest clairquel'on estpr `esde a)ssi?M>0,?V a voisinagedeatelque?x?V a

Remarque:f=o

a (g)ssiilexisteunefonctionεtellequelim x→a

ε(x)=

0etf(x)=ε(x)g(x).

Exemple:x

n =o 0 (x p )pourn>p,x n =o (x p )pournAttention:onn' ´ecritpasf≂0... Attention:`al ama nip ula tio nde s´e qui val en ts. f≂gn'impliquePAS h(f)≂h(g).Pa rexemple,x 2 +x≂ x 2 alorsque e x 2 +x -e x 2 e x 2 →∞quand x→∞.

5.2G´en´ eralit´essurlesd´eveloppementslimi-

t´es unefonctiond ´efinie auvoisinagede0.Ondit quefadmetund ´evelopp ement limit´ed'ordrenauvoisinagede 0,s'ilexiste desr´ eelsa 0 ,a 1 ,...,a n telsque: f(x)= n k=0 a k x k +o 0 (x n 5.2.G EN

ERALIT

ESSURLE SD

EVELOPPEMENTSLIMIT

ES35 Remarque:pard´ efinitionduocelarevien t`adirequ'ilexist eune fonction?d´efiniesurunvoisinag ede0,tell equelim x?→0 ?(x)=0etf(x)= n k=0 a k x k +x n ?(x) unefonctiond ´efinie auvoisinagedea.Ondit quefadmetund ´evelopp ement limit´ed'ordrenauvoisinagede a,s'ilexiste desr´ eelsa 0 ,a 1 ,...,a n telsque: f(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n Remarque1:danslaprat ique,o nutilisesurtoutlesDL en0,enf aitsi fadmetunDLd'ordre nenadelaf ormef(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n alors,f(a+h)= n k=0 a k (h) k +o 0 (h n )ainsi,parchangementdevariableon s'estramen´ e`aunDLen0. Remarque2:Ilestcl ai rquefadmetenD Lenasietseu le mentsif admetunelimitefiniea 0 ena.Onaalorsf(x)=a 0 +o a (1).Par exemple, e x =1+o 0 (1)etln(1+x)=o 0 (1) Remarque3:D'apr`escequ'onavuenpremi `ere ann´ee ,si festun e fonctiond´efinieena,alorsfadmetunDLd'ordre 1e nasietseu lem entsif estd´ erivableena.Sifn'estpasd´e finieena,alorselleadmetunDLd'ordre

1enasietseu le mentsielleestprolongeab leen unefonctio nd´eriv ableena.

Parexem ple,

1+x=1+

1 2 x+o 0 (x)carlafonctionf:x?→

1+xadmet

f (0)= 1 2 commed´eriv´ee en0.Demˆeme,(3+x) 2 3 =3+ 2 3 4 3 x+o 0 (x). Remarque4:SifadmetunDLd'ordre n?Nena,alorsfadmetun DLd'ordre ppourtoute ntierinf´eri eur`an.Pluspr´ecisemment:sif(x)= n k=0 a k (x-a) k +o a ((x-a) n p k=0 a k (x- a) k +o a ((x-a) p ).(En clair, ilsu ffi tde n'enpren drequ'unb out). Th´eor`eme.Sifposs`edeunDLd'ordrenauvoisinagede a,alors celui-ci estunique. Proposition.Soitfunefonctiond ´efinie auvoisinagede0.Soitn?N.On supposequefadmetunD Len 0delafor mef(x)= n k=0 a k x k +o 0 (x n

36CHAPITRE5.D

EVELOPPEMENTSLIMIT

ES k =0. k =0.

5.3D´evel oppementslimit´esusuels

Leth ´eor`emedeTaylor-Youngesten fait unemachine`afabriquerdesDL. Th´eor`eme(Th´eor`emedeTaylor-Young).Sifestunefonction declasseC n d´efinieauvoisinagedea,alors fadmetauvoisinage dealeDL : f(x)= n k=0 (x-a) k k! f (k) (a)+o a ((x-a) n Onae nparticulie rlesDL` aconnaˆıtresuivant s:

Proposition.Pourtoutn?N:exp(x)=1+x+

x 2 2 x nquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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