Corrigé Devoir Maison 5
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1 Flocon de von Koch Voiciles di?érentesétapes delaconstructiondu?ocon devon Kochparapplicationsuccessive dela mêmetransformation Attention Les ?gures précédentes ont été crées avec Maxima et une mise à l’échelle a été e?ectuée pourcelledegauche Normalementletriangledecette?guredegauchepeutêtreplacédanscellede
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Année 2007-20081èreSSVT
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Exercice 1 :
Le floconde Koch
1. Etude du nombre de côtés
1)C1est le nombre de segments à la première étape doncC1=3 .
D"après la figure du livre on aC2=12 etC3=48 .
A chaque itération chaque segment est transforméen 4 segments par conséquent on a : C4=4×48=192 .
2) A chaque itération chaque segment est transformé en 4 segments par conséquent on a, pour tout
entiern:Cn+1=4×Cn. La suite (Cn)n?1est donc géométrique de raison 4. On a ainsi, pour tour entiern:Cn=C1×(4)n-1=3×4n-1.2. Etude du périmètre
1) Puisque la transformation transforme 1 segment en 4 segments de même longueur et que les 3
segments de départ sont de même longueur les segments ont tous la même longueur à l"étapen.
On peut donc parler delalongueur d"unsegment à l"étapen.2) La transformationtransforme un segment en 4 segments de longueur1
3du segment originel.
Par conséquent on a, pour tout entiern:un+1=1
3×un.
La suite (un)n?1est ainsi géométriquede raison1 3.On peut donc écrireun=u1×?1
3? n-1 =1×13n-1=13n-1.3) A l"étapenle flocon est composé deCnsegments de longueursun.
On obtient doncPn=Cn×un=3×4n-1×1
3n-1=3×?43?
n-1Ce qui est bien la formule demandée.
4) On nous demande de déterminer,si elle existe, lim
n→+∞Pn.Or (Pn) est une suite géométrique de raison supérieure à 1 et de premier terme positif par consé-
quent limn→+∞Pn=+∞.3. Etude de l"aire
1) Pour calculerA1il nous faut déterminer la hauteurhdans le triangeéquilatéral de côté 1.
Cettehauteurest aussimédiatricedansce trianglecar il est équilatéral.On peut donc appliquerle
théorèmedePythagoredansletrianglerectangleainsiformé: 12=?1 2? 2 +h2puish2=1-14=34et enfinh=? 3 2.On a ainsiA1=1×h
2=? 3 4.Page 1/3
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2) Par proportionnalité un triangle équilatéral de côtéaa une hauteur de longueura?3
2et donc
comme aire a×a? 3 22=a2×?
3 4.La différenceAn+1-Ancorrespond à l"aire desCntriangleséquilatéraux de côtéun+1par consé-
quent il suit que A n+1-An=Cn×?un+1?2×? 3 4 =3×4n-1×?1 3n? 2 3 4 =3×4n-1×132n×?
3 4 =3×4n-1×?1 32?n 3 4 =3? 3
4×4n-1×19n
3? 34×19×?49?
n-1 312×?49?
n-13) On remarque que la somme (An-An-1)+···+(A2-A1) est une somme télescopique donc on a
3 4. D"après l"expression trouvée deAn+1-Anon voit que la suite?An-An-1?est une suite géomé- trique de raison 49et de premier termeA2-A1=?
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