Corrigé Devoir Maison 5
Corrigé Devoir Maison 5. Exercice 1 : Le flocon de Koch. 1. Etude du nombre de côtés. 1) C1 est le nombre de segments à la première étape donc C1 = 3 .
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch. 1. Etude du nombre de côtés a. Faisons un tableau sans donner d'explication.
Une introduction aux fractales
Exercice 1 (Le flocon de Koch). 1. Procédé itératif de construction. a. Décrire précisément la transformation suivante : //. //.
Le flocon de neige de Helge von Koch
puis en fonction de n et n déduire e. Le flocon de neige de Helge von Koch.doc. Groupe MathéTIC. 1. 3/10/2004. Page 2. b) Exprimer l'aire d'un triangle
T.P. dinformatique no 4 CORRIGE
Exercice 1. Exercice 2. ... Le flocon de Von Koch est une célèbre figure fractale obtenue de la façon suivante : à tout segment [A B] orienté.
Concours de recrutement interne PLP 2009
Exercice 1. Un enseignant d'une classe de baccalauréat industriel a préparé une séquence de trois séances portant sur le flocon de Von Koch.
TP : Le flocon de Von Koch
Le but de ce TP est de tracer cette frise composée de flocons de Von Koch. Exercice 1 : Une branche. Partie A : On va en premier tracer la première partie
Correction flocon de von Koch
Construction du flocon de von Koch. Cette figure a été obtenue à partir de géolabo en utilisant des vecteurs ce qui explique les flèches.
Suites numériques ! corrigé TP math ! info
Suites numériques ! corrigé TP math ! info. Les flocons de Von Koch. PremiQre Partie. Des suites associées aux flocons de Von Koch page 1 / 4.
Récursivité en Python: TP
Exercice 3. Flocon de Von Koch. Le but de cet exercice est de tracer une ligne brisée qui s'approche de l'objet fractal appelé le Flocon de Von Koch.
Autour du flocon de Von KOCH - Espace pédagogique
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Le flocon de Koch - Paris Diderot University
Le flocon de Koch : quel est son périmètre ? Niels Fabian Helge von Koch 1870 – 1924 Etape Longueur d’un côté (cm) Nombre de côtés Périmètre (cm) 0
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch
Correction du devoir maison : Flocon de Von Koch 1 Etude du nombre de côtés a Faisons un tableau sans donner d’explication n 1 2 3 4 Cn 3 12 48 192 b Chaque segment de l’étape n en donne 4 à l’étape suivante Par conséquent et ainsi on en déduit que la suite C est la SG de raison 4 et de premier terme 2
1 Flocon de von Koch
1 Flocon de von Koch Voiciles di?érentesétapes delaconstructiondu?ocon devon Kochparapplicationsuccessive dela mêmetransformation Attention Les ?gures précédentes ont été crées avec Maxima et une mise à l’échelle a été e?ectuée pourcelledegauche Normalementletriangledecette?guredegauchepeutêtreplacédanscellede
[b Travaux dirigés : Flocon de Von Koch I Introduction
[bTravaux dirigés : Flocon de Von Koch c I Introduction Niels Fabian Helge Von Koch (Suédois 1870-1924) est un mathématicien qui a donné son nom à l’une des premières fractales : le ?ocon de Koch ou ?ocon de neige Il a décrit le ?ocon auquel on a donné son nom en 1904 dans un article intitulé Sur une courbe continue sans
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Exercice 1 : Le?ocondeKoch 1 Etude du nombre de côtés 1) C1 estle nombrede segmentsàlapremièreétapedonc C1 =3 D’après la?guredulivreon a C2 =12 et C3 =48 A chaqueitérationchaquesegmentesttransforméen 4segmentsparconséquentona : C4 =4×48=192 2) A chaque itérationchaque segmentest transforméen 4 segmentspar conséquent on a
D"autres courbes " fractales » peuvent être construites à partir de procédés tout aussi simples. En voici
quelques exemples :Courbe de von Koch à 5 segments
Cette courbe est une variante de la courbe précédente, la courbe en flocon de neige. L"initiateur est
un carré. Bien que le générateur semble proche du précédent, le résultat est bien différent. Ces
courbes sont ramifiées, contrairement aux courbes qui ne se coupent jamais et sont dites "self-
avoiding" ou "non-ramified".Les 2 courbes présentées correspondent, l"une au motif, le générateur ,
tracé à l"intérieur du carré, et l"autre à l"extérieur du carré. Générateur tracé sur un carré... ....à l"extérieur ....à l"intérieurCourbes de MinKowski
Ces courbes sont attribuées au mathématicien Hermann Minkowski (1864-1904). L"initiateur est soit
une droite, soit un carré. La courbe tracée sur une droite est connue sous le nom de "Minkowski Sau-
sage".Courbe de Minkowski
Générateur Etape 2 (carré) Minkowski Sausage-Etape3 (droite) Flocon Version Prof -- ÓBernard LANGER -- 03/01/13 Page 3/9Courbe de von Koch à 32 segments
Cette courbe est très proche des courbes précédentes, mais son générateur est plus complexe puis-
qu"il se compose de 32 segments. L"initiateur est un carré.Courbe de Koch à 32 segments
Générateur tracé sur un carré Etape 1 Etape 2Nous avons gardé pour le dessert quelques exemples plus difficiles à comprendre... Elles découlent
souvent de fonctions mathématiques qui peuvent devenir quelque peu complexes. Ces deux images représentent des ensembles fractals connus : l"ensemble de Mandelbrot (cet homme est en fait re- connu comme le père des fractales) et les ensembles de Julia qui découlent du premier.Nous vous présentons également quelques images intéressantes qui ont été créées par M. Jean-
Pierre Louvet. Vous retrouverez ces images dans
l"album de fractales de M.Louvet. Nous vous con- seillons d"aller y faire un tour, cela vaut la peine. Flocon Version Prof -- ÓBernard LANGER -- 03/01/13 Page 4/9Les fractales sont de très belles images. Avez-vous une idée de la raison pour laquelle elles ont une
naissance plutôt récente ? Essayez d"en dessiner une à la main...La précision n"y est pas, n"est-ce-
pas ?L"ordinateur. Oui, encore lui. C"est lui qui permet les nombreuses itérations ou répétitions qui se ca-
chent dans une fractale. Rapidité, efficacité et précision : trois raisons simples qui expliquent que les
fractales connaissent un grand essor depuis que l"ordinateur évolue...Retour au flocon
La construction de flocon de Von Koch repose sur le principe de base ci-dessous. figure 1 Est transformé en : figure 2L"obtention des points C, E, D à partir des points A et B repose sur quelques formules simples détail-
lées ci-dessous :1 et 23
1 1( ) ; ( )3 3
2 ; 2
C B A A C B A A
D C A D C A
AC AB AD AC
x x x x y y y y x x x y y y= = uuur uuur uuur uuur Flocon Version Prof -- ÓBernard LANGER -- 03/01/13 Page 5/9 Le point E est un peu plus difficile à obtenir, mais on peut remarquer que : est l"image de par la rotation (C,)3CE CDpÂuuur uuur ( )cos( ) ( )sin( )3 3 ( )sin( ) ( )cos( ) 3 3 Donc ( )cos( ) ( )sin( ) 3 3 ( )sin( ) ( )cos( )3 3D C D CD C D C
E D C D C C
E D C D C C
x x y y CE x x y y x x x y y x y x x y y y p p p p p p p p - - - - + - = - + - +uuurA partir de ces formules, il est aisé de construire une feuille de calcul permettant d"obtenir les coor-
données des points C, E, D à partir de celles des points A et B. Il est cependant difficile " d"itérer » ce
calcul (à l"aide du seul tableur) pour les ordres supérieurs du flocon. En fait la situation est typique de que l"on appelle " récursivité » en informatique. Imaginons par exemple qu"un robot de calcul soit capable d"afficher un segment [A, B] dont on donneles coordonnées des extrémités à l"aide de l"instruction SEGMENT (A, B). Imaginons également que
ce robot soit capable d"exécuter la procédure : KOCH (n, X, Y) qui consiste à afficher une ligne du
flocon à une profondeur donnée " n ».Pour fixer les idées :
· KOCH (1, A, B) dessine la figure 2.
L"algorithme " récursif » de la procédure KOCH (n, X, Y) permettant de construire la ligne fractale à
la profondeur n serait alors :Procedure KOCH (n, X, Y)
Si (n = 0) alors SEGMENT(X, Y)
Sinon1° Calculer les coordonnées des points C, E, D à partir des coordonnées de X et Y
2°Exécuter KOCH (n-1, X, C)
3°Exécuter KOCH (n-1, C, E)
4°Exécuter KOCH (n-1, E, D)
5°Exécuter KOCH (n-1, D, Y)
Les langages de programmation modernes permettent tous ce type de programmation et l"affichage du flocon se réduit à quelques lignes !A titre d"exemple, vous trouverez ci-dessous quelques graphiques produits par Excel avec la feuille de
calcul " Focon3 » jointe en annexe. Flocon Version Prof -- ÓBernard LANGER -- 03/01/13 Page 6/9quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] mots français d origine étrangère exercices
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