SECOND DEGRÉ (Partie 1)
M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit
VARIATIONS DUNE FONCTION
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions. On a représenté ci-dessous dans une fonction admet un minimum en .
LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une
Optimisation dune fonction dune variable
On s'intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d'une fonction réelle f : I ? R ? R. Lorsque l'on cherche x vérifiant. {. Minimiser f(x).
Première S - Extremums dune fonction
est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de. D et s'il existe un réel dans D tel que . • On appelle extremum de sur D son maximum ou son
Fonctions de deux variables
Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Page 3. Exemple
Majorant minorant
minimum.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Fonctions chapitre 4 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de ... le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0.
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Page 9. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x y)=0 c'
Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré
Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré servent de fonctions du second degré pour déterminer la hauteur maximale d'une arche ou la ...
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable1ère année
E.N.S.T.B.B.
I.P.B.
Année Universitaire 2015-16
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
4Convexité
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiantMinimiserf(x)
x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest
souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiantMinimiserf(x)
x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéPlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexitéminimum global et local
Définition
Soit f une fonction définie sur I et x
2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global
sur I au point x , si8x2I f(x)f(x):
(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que8x2J f(x)f(x):
(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexitéminimum global et local
Définition
Soit f une fonction définie sur I et x
2I.On dit que f admet un extremum en x
si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.RemarqueUn extremum global est un extremum local.
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexité
Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
Convexité-5
0 5 100.00.51.01.52.02.53.0
Maximum localMaximum global
Minimum local
Figure:
f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
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Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreSoit
un intervalle ouvert.ThéorèmeToute fonction continue et coercive sur
atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordreThéorème
Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvertI et si f admet en un point x
de I un extremum alors f0(x) =0:C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreRemarque
La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les
extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.
En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I. On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
Soit la fonction f(x) =x2. SurRcette fonction présente un minimum en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle.Elle n"admet pas de maximum surR.En revanche, si on s"intéresse à f sur I= [1;1]. D"après le
théorème de W, la fonction admet un min et un max sur I.On étudie les extrema sur]1;1[puis on calcule f(1)et f(1).Le minimum est atteint en x=0et vaut0. Le maximum qui vaut1 est atteint en deux points x=1et x=1.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivée nulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.
De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1 quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions ,les choses
seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions ,les choses
seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreExemple
On peut aussi s"interesser à l"optimum d"une fonction non partout dérivable. Soit la fonction f(x) =pj1x2j. Cette fonction présente un maximum local en x=0, point où elle est dérivable de dérivéenulle et un minima qui vaut0en deux points x=1et x=1.En1et1, elle n"est pas dérivable.De plus, en x=0, le maximum est local car f tend vers+1
quand x tend vers l"infini.En plusieurs dimensions, les choses seront au moins aussi délicates...on se contentera de l"étude de fonctions dérivables.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
Figure:f onctionprésentant deux minima str icten 1 et en 1 sans yêtre dérivable.
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordrePlan
1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéExistence: Théorème de WeierstrassCondition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du second ordreThéorème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I et x2I un point critique de f. Alors :Si f"(x)>0, f présente en xun minimum local strict.Si f"(x)<0, f présente en xun maximum local strict.Si f"(x) =0, on ne peut rien dire.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe Plan1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe Plan1Introduction
2Définition: minimum, maximum
3Propriétés
Existence: Théorème de Weierstrass
Condition d"optimalité du1er ordre
Condition d"optimalité du second ordre
4Convexité
Définition et propriétés d"une fonction convexeC. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe fonction convexeDéfinition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ILa fonction f est dite convexe sur I si
8(x;y)2I282[0;1]f(x+(1)y)f(x)+(1)f(y):f est dite strictement convexe si l"inégalité stricte est
toujours vérifiée pour x6=y et2]0;1[.Elle est dite (resp. strictement) concave sif est (resp. strictement) convexe.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexeFigure:F onctionstr ictementcon vexe.
C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexe fonction convexe: interprétation graphiqueRemarque
Si f est convexe sur un intervalle I alors pour tous points A(x;f(x))et B(y;f(y))de la courbe représentative de f , le segment[AB]est au-dessus de l"arc_AB de la courbe de f .Exemple La fonctions x7! jxjest convexe, x7!x2est strictement convexe.C. NazaretOptimisation
Introduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexeConvexité et dérivée seconde
Théorème
Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I.Alors :f est convexe sur I() 8x2I f"(x)0.f est concave sur I() 8x2I f"(x)0.La fonction f est strictement convexe sur I() 8x2I
f"(x)0et si l"ensemblefx2I;f"(x) =0gne contient aucun intervalle ouvert non vide. En particulier si8x2I f"(x)>0alors f est strictement convexe.C. NazaretOptimisationIntroduction
Définition: minimum, maximum
Propriétés
ConvexitéDéfinition et propriétés d"une fonction convexeConvexité et extremum
Théorème
Soit f une fonction convexe (resp. concave) sur intervalle ouvert I. Si x est un point critique pour f , alors f admet en x un minimum (resp. maximum) global sur I. Si la fonction est strictement convexe, le minimum est strict (et unique).C. NazaretOptimisation
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