Première S - Extremums dune fonction PDF

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit

VARIATIONS DUNE FONCTION

Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions. On a représenté ci-dessous dans une fonction admet un minimum en .

LA DÉRIVÉE SECONDE

Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une

Optimisation dune fonction dune variable

On s'intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d'une fonction réelle f : I ? R ? R. Lorsque l'on cherche x vérifiant. {. Minimiser f(x).

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est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de. D et s'il existe un réel dans D tel que . • On appelle extremum de sur D son maximum ou son

Fonctions de deux variables

Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Page 3. Exemple

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX

Fonctions chapitre 4 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de ... le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0.

Fonctions de 2 et 3 variables

Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Page 9. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x y)=0 c'

Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré

Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré servent de fonctions du second degré pour déterminer la hauteur maximale d'une arche ou la ...

Extremums d'une fonction

I) Définitions (rappels de seconde : voir la fiche de cours correspondante) Soit ࢌ une fonction définie sur un ensemble D inclus dans , ࢓ et ࡹ deux réels. • On appelle extremum de ࢌsur D son maximum ou son minimum (s'il existe). • Si ࢓ ou ࡹ est un extremum de ࢌ sur un intervalle I ouvert inclus dans D, on dit que ࢓ ou ࡹ est un extremum local de ࢌ sur D

Exemples

1°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'intervalle

D = [-0,5 ; 4,5 ]

Sur I = ] 0 ; 4 [ intervalle ouvert contenu dans D, ݂admet un minimum local

2°)

La figure ci-dessus est la représentation graphique d'une fonction ݂ définie sur l'ensemble

D = ] - ; 2 [ ׫

Sur D, ݂ admet ni minimum, ni maximum.

II) Extremums et dérivée

Propriété :

Si une fonction ࢌ, dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en ࢻ sur I et si ࢻ n'est pas une borne de I alors ࢌԢ(ࢻ) = 0

Démonstration :

Supposons que ݂ admette un maximum en ߙ, ߙ

݂sur J.

௛ 0

0 et les rapports

que 0.

Démonstration analogue pour un minimum.

Attention :

que ࢌadmet un extremum en ࢻ. ( Voir exemple ci-dessous)

Exemple :

définie et dérivable sur Թ est strictement croissante sur Թ et s'annule en ݔ ൌ Ͳsans que la fonction ait d'extremum en ce point.

En revanche :

si ࢌǯs'annule en changeant de signe en un réel ࢻ, ࢻ n'étant pas une borne de I,

alors ࢌ admet un extremum local en ࢻpuisque ࢌ est : • Soit croissante avant ࢻ et décroissante après (maximum local en ࢻ) • Soit décroissante avant ࢻ et croissante après (minimum local en ࢻ)

Exemples :

݂est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : Graphiquement on conjecture que ݂ admet un maximum en ݔ = 1 et un minimum en ݔ = 3 (ces points n'étant pas des bornes de l'intervalle de définition). Montrons que la dérivée݂ǯ s'annule en ݔ = 1 et en ݔ = 3

La propriété est bien vérifiée.

2) Exemple montrant la nécessité de l'hypothèse " Į n'est pas une borne de

l'intervalle I » ݂ est dérivable sur I (fonction polynôme ) dont la représentation graphique est : ݂ admet un minimum en 0 et un maximum en 3 qui sont les bornes d' l'intervalle de définition.

3) Exemple montrant que la réciproque est fausse

x 4 - 12 x 2 + 12 = 0 et pourtant ݔ = 2 n'est pas un extremum de ݂

4) En lisant un tableau de variation

tableau de variation.

ݔ - 4 0 2 6

Variations de

5 3

െͳ 1

La lecture de ce tableau nous permet d'affirmer :

[2 ; 6].

III) Etude d'une fonction

E 7 F 9quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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