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SECOND DEGRÉ (Partie 1)

M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit

VARIATIONS DUNE FONCTION

Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions. On a représenté ci-dessous dans une fonction admet un minimum en .

LA DÉRIVÉE SECONDE

Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une

Optimisation dune fonction dune variable

On s'intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d'une fonction réelle f : I ? R ? R. Lorsque l'on cherche x vérifiant. {. Minimiser f(x).

Première S - Extremums dune fonction

est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de. D et s'il existe un réel dans D tel que . • On appelle extremum de sur D son maximum ou son

Fonctions de deux variables

Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Page 3. Exemple

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Fonctions chapitre 4 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de ... le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0.

Fonctions de 2 et 3 variables

Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Page 9. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x y)=0 c'

Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré

Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré servent de fonctions du second degré pour déterminer la hauteur maximale d'une arche ou la ...

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Table des matières

I Définitions1

II Variations et représentation graphique3

IIIMéthodes pratiques pour déterminer les variations deP4

I Définitions

Définition 1

On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionPdéfinie surRde la forme

P(x) =ax2+bx+c

oùa,betcsont des réels appelés coefficients aveca?= 0.

Exemple 1

Exemples de fonctions polynômes du second degré, ou pas! fonctions polynôme de degré2coefficients autres fonctions

P(x) = 2x2-5x+ 3a= 2,b=-5,c= 3P(x) =x3+ 2x2-5x+ 3

P(x) =-x2+ 3a=-1,b= 0,c= 3

P(x) =x-5

P(x) =-7x2+ 3x a=-7,b= 3,c= 0

f(x) =x2-5x+1x

Définition 2

Une expression de la formea(x-α)2+baveca?= 0s"appelle la forme canonique d"un polynôme de degré 2. Toute fonction polynôme admet une forme canonique.

Exemple 2

L"expressionP(x) = 2(x-1)2+ 3est la forme canonique du polynômeP(x) = 2x2-4x+ 5.

ÔEn effet :2(x-1)2+ 3 = 2(x2-2x+ 1) + 3

= 2x2-4x+ 5 =P(x). http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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II Variations et représentation graphique

Les parties en bleu ne sont pas exigibles en seconde.

Propriété 1

La fonction polynôme de degré 2 définir sur ]- ∞; +∞[ est : ©strictement décroissante puis strictement croissantesia >0, ©strictement croissante puis strictement décroissantesia <0, Tableau de variations et représentation graphique : a >0 x-∞-b2a+∞ f? ? min x=-b2a minimuma <0 x-∞-b2a+∞ Max f? ? x=-b2a ?Maximum

Dans un repère (O;-→i;-→j), la courbe représentative d"une fonction polynôme de degré 2 est une parabole

cette parabole admet un axe de symétrie parallèle à l"axe des ordonnées. http://mathematiques.daval.free.fr-2-

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III Méthodes pratiques pour déterminer les variations deP •Utilisation de la forme canoniquea(x-α)2+β.

Sia >0, alorsa(x-α)2≥0

donc,a(x-α)2+β≥β le minimumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.

Exemple 3

SoitP(x) = 2(x-2)2-1, on obtient :

Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],

croissante sur[ 2 +∞[.

Son minimum atteint en2vaut-1.

x-∞2 +∞ f? ? -1

1 2 3 4-1

123456

-1 le Maximumβest atteint lorsquea(x-α)2= 0, c"est-à-dire pourx=α.

Exemple 4

SoitP(x) =-1

2(x-2)2-1, on obtient :

Pest croissante sur]- ∞; 2 ],

décroissante sur[ 2 +∞[.

Son Maximum atteint en2vaut-1.

x-∞2 +∞ -1 f? ?

1 2 3 4 5-1-2-3

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7? http://mathematiques.daval.free.fr-3-

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•Utilisation de la propriété de symétrie de la courbe.Puisque la courbe est symétrique, si l"on trouve deux pointsAetBde cette courbe de même ordonnée, on

en déduit que leur milieuIest situé sur l"axe de symétrie.

L"abscisse deIest donc l"abscisse de l"extremum.

Exemple 5

SoitP(x) =x2-4x+ 3:

On recherche par exemple les2pointsAetBqui ont pour abscissey= 3.

Pour cela, on résoutP(x) = 3:

2-4x+ 3 = 3??x2-4x= 0

??x(x-4) = 0 ??x= 0oux= 4

L"abscisse du minimum est doncx=0 + 4

2= 2.

L"ordonnée vautP(2) = 22-4×2 + 3 =-1.

Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],

croissante sur[ 2 +∞[.

1 2 3 4-1

12345
-1 -2????

× ×IA B

•Utilisation dex=-b2a.

Exemple 6

SoitP(x) =-x2-2x+ 3.

a=-1est négatif etb=-2donc,-b

2a=--22×(-1)=-1.

La fonctionPest donc croissante sur]- ∞;-1 ]et décroissante sur[-1 +∞[.

Son maximum est atteint pourx-1et vautP(-1) = 4.

http://mathematiques.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Table des matières

I Définitions1

II Variations et représentation graphique3

I Définitions

Définition 1

P(x) =ax2+bx+c

Exemple 1

P(x) = 2x2-5x+ 3a= 2,b=-5,c= 3P(x) =x3+ 2x2-5x+ 3

P(x) =-x2+ 3a=-1,b= 0,c= 3

P(x) =x-5

P(x) =-7x2+ 3x a=-7,b= 3,c= 0

Définition 2

Exemple 2

ÔEn effet :2(x-1)2+ 3 = 2(x2-2x+ 1) + 3

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II Variations et représentation graphique

Propriété 1

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Sia >0, alorsa(x-α)2≥0

Exemple 3

SoitP(x) = 2(x-2)2-1, on obtient :

Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],

Son minimum atteint en2vaut-1.

1 2 3 4-1

123456

Exemple 4

SoitP(x) =-1

2(x-2)2-1, on obtient :

Pest croissante sur]- ∞; 2 ],

Son Maximum atteint en2vaut-1.

1 2 3 4 5-1-2-3

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L"abscisse deIest donc l"abscisse de l"extremum.

Exemple 5

SoitP(x) =x2-4x+ 3:

Pour cela, on résoutP(x) = 3:

2-4x+ 3 = 3??x2-4x= 0

L"abscisse du minimum est doncx=0 + 4

L"ordonnée vautP(2) = 22-4×2 + 3 =-1.

Pest décroissante sur]- ∞; 2 ],

1 2 3 4-1

× ×IA B

Exemple 6

SoitP(x) =-x2-2x+ 3.

2a=--22×(-1)=-1.

Son maximum est atteint pourx-1et vautP(-1) = 4.