SECOND DEGRÉ (Partie 1)
M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit
VARIATIONS DUNE FONCTION
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions. On a représenté ci-dessous dans une fonction admet un minimum en .
LA DÉRIVÉE SECONDE
Une fonction convexe possède une dérivée première croissante ce qui lui donne l'allure de courber vers le haut. Au contraire une fonction concave possède une
Optimisation dune fonction dune variable
On s'intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d'une fonction réelle f : I ? R ? R. Lorsque l'on cherche x vérifiant. {. Minimiser f(x).
Première S - Extremums dune fonction
est le minimum de sur D si et seulement si pour tout de. D et s'il existe un réel dans D tel que . • On appelle extremum de sur D son maximum ou son
Fonctions de deux variables
Ce qu'on sait faire pour les fonctions d'une variable s'étend dans une certaine mesure aux fonctions de plusieurs variables comme on va le voir. Page 3. Exemple
Majorant minorant
minimum.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ DEUX
Fonctions chapitre 4 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de ... le minimum ? est atteint lorsque a(x ? ?)2 = 0.
Fonctions de 2 et 3 variables
Une fonction peut ne pas avoir de maximum sous contrainte. Page 9. Chercher le minimum de f sous la contrainte c(x y)=0 c'
Le maximum ou le minimum dune fonction du second degré
Le maximum ou le minimum d'une fonction du second degré servent de fonctions du second degré pour déterminer la hauteur maximale d'une arche ou la ...
Fonctionsde2et3variables
AdministrationÉconomiqueetSociale
Mathématiques
XA100M
fonction,onnote f:RR!R: fonction,onnote f:RRR!R: en(x;y;z). noteD(f).Exemple
Soit f:RR!R (x;y)7!1 xy: couples(x;y)telsquexy6=0.AinsiD(f)=f(x;y)2RR:x6=yg:
Ona f(2;3)=1 23=1:Exemple
Soit g:RRR!R (x;y;z)7!8 :yz xsix6=00sinon.
couples(x;y;z).AinsiD(g)=RRR:
Ona g(2;3;1)=31 2=32etg(0;32;12)=0:
2Extremumssouscontrainte:méthode
f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctiondedeuxvariableset c:RR!R (x;y)7!c(x;y) unedeuxièmefonctiondedeuxvariables. celuipourlequelf(x;y)estmaximum.Uncouple(x
0 ;y 0 )deD(f)estunmaximumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 celuipourlequelf(x;y)estminimum.Uncouple(x
0 ;y 0 )deD(f)estunminimumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 souslacontraintec. f(x;y)deviennentalors1.soitg(y)=f(h(y);y)danslepremiercas;
2.soitg(x)=f(x;h(x))danslesecondcas.
Exemple
Onconsidèrelafonction
f(x;y)=2xy c(x;y)=2x+3y6: y=22 3x: f(x;y)=f x;22 3x =2x 223x etondoitétudierlesextremumsde g(x)=2x 22
3x
Oncalcule
g 0 (x)=8 3x+4:Ainsig
0 (x)>0pourx<3 2etg 0 (x)<0pourx>32etgaun
maximumatteintenx=32.Onaalors
y=22 332=1: unmaximum,cemaximumestatteinten 32
;1etvaut f 3 2;1 =3:
2x+3y6=0.
3Dérivéespartiellespremièreset
deuxvariablesSoit f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctionà2variables. (x;y)si,ladérivéedelafonction f y :R!R x7!f(x;y) existeenx.Onnote @f @x:RR!R (x;y)7!f 0y (x;y):Pourcalculer@f
considérantycommeunnombreconstant. (x;y)si,ladérivéedelafonction f x :R!R y7!f(x;y) existeeny.Onnote @f @y:RR!R (x;y)7!f 0x (x;y):Pourcalculer@f
considérantxcommeunnombreconstant.Exemple
Soit f:RR!R (x;y)7!x 2 p y+y: OnaD(f)=f(x;y)2RR:y0g:
Siyestconstant,ladérivéedex
2 p y+yparrapportàxest2xp y donc@f @x(x;y)=2xp y:Sixestconstant,ladérivéedex
2 p y+yparrapportàyest x 212p y +1donc @f @y(x;y)=x 2 1 2p y+1: f(x;y)2RR:y>0g6=D(f):
àlapremièreoudeuxièmevariable.
Onnote
2 f @x 2 @x @f @x deuxièmedefparrapportàx.Onnote
2 f @x@y=@ @x @f @y deuxièmedefparrapportà(x;y).Onnote
2 f @y@x=@ @y @f @x deuxièmedefparrapportà(y;x).Onnote
2 f @y 2 @y @f @y deuxièmedefparrapportày. troisvariablesSoit f:RRR!R (x;y;z)7!f(x;y;z) unefonctionà3variables. (x;y;z)si,ladérivéedelafonction f y;z :R!R x7!f(x;y;z) existeenx.Onnote @f @x:RRR!R (x;y;z)7!f 0y;z (x;y;z):Pourcalculer@f
Demême@f
sibestl'unedeslettresx,yetz, 2 f @a@b=@ @a @f @b deuxièmedefparrapportà(a;b).Exemple
Soit f(x;y;z)=p y+p z x+y 2 +p z: @f @z=x+y 2 p y 2(x+y 2 +p z) 2 p z 2 f @x@z=x+y 2 2p yp z 2(x+y 2 +p z) 3 p z4Extremumssouscontrainte:méthode
contraintec. souslacontraintec. candidats.Elledonneunelistedecouples(x 0 ;y 0 )ets'ilexisteun extremum,ildoitêtredanscetteliste. d'extremum. construitunefonctiondetroisvariables g(x;y;)=f(x;y)+c(x;y): @g @x;@g @y;@g :@g @x=0 @g@y=0 @g @=0:Exemple
Oncherchelesextremumsde
f(x;y)=4p xy souslacontrainte c(x;y)=x+y6=0:Lafonctionassociéeest
g(x;y;)=4p xy+(x+y6): Ona @g @x=2p y p x+;@g @y=2p x p y+;@g @=x+y6:Lescandidatssontdonclessolutionsde
8 :2 p y p x+=0 2 px p y+=0 x+y6=0:L'équation
2p y p x+=0 donne y= 2 4x:L'équation
2p x p y+=0 donnealors 4 +=0 donc4+ 2 =0puis=2ou=2.L'équationx+y6=0devientalors
x+ 2 4x6=0 puis2x6=0:
Onaalorsx=3.Mais,y=
24xdoncy=3.
extremumestatteinten(3;3)etvaut f(3;3)=12:5Représentationgraphiquedesfonctions
x et y qui formentunangledroit. y x O1.Onrepèrexsurl'axe
x enleplaçantàdistancexdeO enmesurantdegaucheàdroitesix0 enmesurantdedroiteàgauchesix<02.Onrepèref(x)surl'axe
y enleplaçantàdistancef(x)deO enmesurantdebasenhautsif(x)0 enmesurantdehautenbassif(x)<03.Ontraceunedroiteparallèleà
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