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Lycée JANSON DE SAILLY11 mai 2018

TRIGONOMÉTRIE2nde10

IREPÉRAGE SUR UN CERCLE

1CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? Le cercle trigonométrique est le cercleCde centre O, de rayon 1 orienté dans le sens direct.

OIJ#»i#»

j C

2ENROULEMENT DE LA DROITE RÉELLE SUR LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE

Le plan est muni d"un repère orthonormal?O;?ı,??? La droiteDest tangente enIau cercle trigonométriqueC. Aest le point de coordonnées(1;1). La droiteDest munie du repère(I;A). Par enroulement de la droite réelleDsur le cercle trigonométriqueC: — àtout point de la droite d"abscissexon peutassocier un unique pointM du cercle trigonométrique, image du réelx; — tout pointMdu cercle trigonométrique est l"image d"une infinité de réels. Si le pointMest associé à un réelx, alors il est associé à tout réel de la formex+k×2πoùkest un entier relatif.

OIJ#»i#»

j D A 1x M C

3MESURE D"UN ANGLE EN RADIAN

DÉFINITION

SoitCle cercle trigonométrique de centre O, de rayon 1. Un radian est la mesure d"un angle au centre qui intercepte lecercleC suivant un arc de longueur 1.

OIJ#»i#»

j M 1 rad

REMARQUE:

Les mesures en radians et en degrés d"un angle géométrique sont proportionnelles : xen radians0π 6 4 3 2 2π 3π

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VALEURS REMARQUABLES

OIJ

43π4

3π

4-π4π

65π6

5π

6-π6π

32π3

2π

3-π3π

2 2

IICOSINUS ET SINUS D"UN NOMBRE RÉEL

1DÉFINITION

SoitMle point du cercle trigonométrique associé à un réelx. — Le cosinus du réelx, noté cosx, est l"abscisse du pointM. — Le sinus du réelx, noté sinx, est l"ordonnée du pointM. OIJ M cosxsinx x

2PROPRIÉTÉS

— Pour tout réelxet pour tout entier relatifk, cos(x+k×2π)=cosxet sin(x+k×2π)=sinx

— Pour tout réelx,-1?cosx?1 et-1?sinx?1

— Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1

EXEMPLE:

Sachant que sinx=-?

5

3avec-π2

Pour tout réelx, cos2x+sin2x=1 donc cos2x+5

9=1, soit cos2x=49.

Il existe deux valeurs possibles du cosinus :

cosx=-2

3ou cosx=23

Comme-π

20 donc cosx=23.

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur8

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3VALEURS REMARQUABLES

x0π 6 4 3 2 cosx1 ?3 2 ?2 2 1 20 sinx01 2 ?2 2 ?3 21
O 6 ?3 21
2 4 ?2 2? 2 2 3 1 2? 3 2 21
1

4ANGLES ASSOCIÉS

Pour tout réelx:

cos(-x)=cosx sin(-x)=-sinx OIJ M N x -x

MetNsont symétriques par

rapport à (OI)

Pour tout réelx:

cos(π-x)=-cosx sin(π-x)=sinx OIJ MN xπ-x

MetNsont symétriques par

rapport à (OJ)

Pour tout réelx:

cos(π+x)=-cosx sin(π+x)=-sinx OIJ M N xπ+x

MetNsont symétriques par

rapport àO

EXEMPLES:

1. cos

4π

3=cos?

π+π3?

=-cosπ3=-12

2. sin

3π

4=sin?

π-π4?

=sinπ4=? 2 2

5ÉQUATIONS

—Équationcosx=cosa

sont :?x=a+k×2π x=-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ M(a) N(-a) cosa

A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur8

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—Équationsinx=sina

Soitaunréeldonné. Lessolutions dansRde l"équation sinx=sina sont :?x=a+k×2π x=π-a+k×2πoùkest un entier relatif. OIJ

M(a)N(π-a)

sina

EXEMPLES:

1. Résoudre dansRl"équation cosx=?

3 2

Comme cos

6=? 3

2l"équation est équivalente à l"équation cosx=cosπ6

OIJ 6 6 cosπ6

Les solutions dansRde l"équation cosx=?3

2. Résoudre dansRl"équation sinx=sin7π

10. OIJ 7π

10π-7π10

sin7π10

Les solutions dansRde l"équation sinx=sin7π10sontx=7π10+k×2πoux=3π10+k×2πaveckentier

relatif.

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TRIGONOMÉTRIE2nde10

EXERCICE 1

1. Convertir en radians les mesures d"angle géométriques donnés en degrés :

a) 210 ◦b) 5◦c) 198◦d) 315◦e) 72◦f) 40◦

2. Convertir en degrés les mesures des angles géométriques donnés en radians :

a)

EXERCICE 2

Danschacundescassuivants, déterminerle réelx?]-π;π]dontl"image parenroulementdeladroite réelle

sur le cercle trigonométrique coïncide avec le point image du réel donné. a)

41π

6b)-15π2c) 13πd)-10π3e)-35πf)52π9

EXERCICE 3

Le pentagoneABCDEest inscrit dans le cercle trigonométriqueC. 0xy A B C DE À quels réels de l"intervalle ]-π;π] sont associés les sommets de ce pentagone?

EXERCICE 4

Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé(O;I,J), on a tracé le polygone régulier étoiléABCDEFGHI.

1. À quels réelsde l"intervalle ]-π;π]sont associés lessommets dece

polygone?

2. Donner les coordonnées des pointsCetF.

3. Les pointsAetHont-ils la même abscisse?

OIJ xy GE C A H F DB

EXERCICE 5

1. a) Placer sur le cercle trigonométrique les pointsA,B,CetD

repérésrespectivement parlesréels? -5π 6? -π3? ,2π3et3π4. b) Donner les coordonnées des quatre pointsA,B,CetD.

2.Mest un point du cercle trigonométrique tel que la mesure en

radians de l"angle ?IOM=αavecα??

0;π

2? Placer surlecercletrigonométriquelespointsM1etM2telsque

IOM1=π

2+αet?IOM2=π-α.

OIJ M

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TRIGONOMÉTRIE2nde10

3. a) On donne sin

10? 5-1

4. Donner la valeur exacte de sin?

-9π10? b) Calculer cos 10?

EXERCICE 6

Connaissant lavaleurdecosxoudesinxsurl"intervalle donné,déterminerlavaleurdusinusouducosinus du réelxcorrespondant : sinx=-? 3

2etx??

-π2;π2? ; cosx=-? 2

2etx?[0;π]; sinx=12etx??

-π2;π2? cosx=-1

2etx?[-π;0]; cosx=?

3

3etx??

-π2;0? ; sinx=? 2+?6

4etx??π2;π?

EXERCICE 7

Simplifier chacune des expressions suivantes :

1. a)A=cos(π-x)+2cosx-3cos(π+x)

c)C=cos(-x)-2cos(3π-x)+2cos(x+π)

2. a)D=(1+cost+sint)2-2(1+cost)(1+sint)

b)E=cos4t-sin4t+2sin2t

EXERCICE 8

Résoudre les équations suivantes dans l"intervalle]-π;π]. cosx=? 2

2; sinx=-?

3

2; 1+2cosx=0; 1-2sinx=0.

EXERCICE 9

Résoudre les équations suivantes :

cosx=cos2π

3; sinx=sin3π4; sinx=sin?

-5π6? ; cosx=cos? -π4?

EXERCICE 10

On donne cosπ5=1+?

5 4.

1. Déterminer la valeur exacte de sin

5.

2. En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus de-π

5;4π5et-4π5.

EXERCICE 11

1. Calculer cosxsachant que sinx=35etx??π2;π?

2. Résoudre dans l"intervalle

]-π;π]l"équation 2cos2x-1=0.

EXERCICE 12

1. Résoudre dansRl"équationX2-X-34=0.

2. En déduire les solutions dans l"intervalle

]-π;π]de l"équation sin2x-sinx-3 4=0.

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TRIGONOMÉTRIE2nde10

EXERCICE 13

1. Résoudre dansRl"équation 2x2-3x-2=0.

2. En déduire les solutions de l"équation : 2cos

2x-3cosx-2=0.

EXERCICE 14

Dans le plan muni d"un repère orthonormé?O;?ı,???, soitCle cercle trigonométrique,Ale point du cercle

trigonométrique image du réelπ

4etIle point de coordonnées (1;0).

0xy IA

1. a) Donner les coordonnées du pointA.

b) Calculer distanceI A. c) Montrer queI A=2×sin?π 8? . (On pourra utiliserle point M milieu du segment[I A].) d) En déduire la valeur exacte de sin 8? e) Déterminer alors cos 8? , cos?7π8? et sin?7π8?

2. a) En reproduisant la méthode précédente pour calculer sin?π

8? , calculer sin?π12? b) En déduire cos 12? , cos?11π12? , cos?13π12? , sin?11π12? et sin?13π12?

EXERCICE 15

Dansleplanmunid"unrepèreorthonormé?O;?ı,???,Mestunpointducercle trigonométriqueCetIlepoint

de coordonnées (1;0). 0xy INM H

1. Montrer que

?IOM=2?INM

2. Soitxle réel dontMest l"image par enroulement de la droite réelle sur le cercleC.

a) Montrer queMN2=2cosx+2. b) En considérant le triangle rectangleMHN, montrer que cos2?x 2? =1+cosx2.

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TRIGONOMÉTRIE2nde10

3. Application :

a) Déterminer la valeur de cos?π 8? puis en déduire la valeur de sin?π8? b) Déterminer la valeur de cos 12? puis en déduire la valeur de sin?π12?

EXERCICE 16

Dans la figure ci-dessous, on considère le demi-cercle de rayon 5 cm. AOBC D 30
◦30◦

Comparer l"aire située sousla cordeDCet l"aire dela partiedudemi-cercle située audessus de la cordeDC.

EXERCICE 17

Pour tout entiernnon nul on considère le réelan=nsin?πn? cos?πn?

1. Calculera1=sin(π)cos(π),a2=2sin?π

2? cos?π2? ,a3=3sin?π3? cos?π3? ,a4=4sin?π4? cos?π4? et a

6=6sin?π

6? cos?π6?

2. À l"aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée des réels suivants :

a

100=100sin?π

100?
cos?π100? ,a500=500sin?π500? cos?π500? eta1000=1000sin?π1000? cos?π1000?

3. a) Emettre une conjecture sur la valeur deanquandndevient de plus en plus grand.

b) On considère l"algorithme ci-dessous :

N←1

A←sin(π)×cos(π)

Tant queπ-A?10-4

N←N+1

A←N×sin?π

N?

×cos?πN?

Fin Tant que

Donner une interprétation de la valeur de la variableNcalculée par cet algorithme.

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