[PDF] Composantes dun vecteur - Exercices

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Exercice 1 :

Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , placer les points : A( - 2 ; 2 ) ; B( 3 ; 5 ) ; C( - 3 ; - 1 ) ; D( 4 ; - 2 ) et E( 3 ; 2 )

Calculer les coordonnées des vecteurs

CD et EC , EA , BE , DA , AC , AB . Vérifier sur le dessin.

Exercice 2 :

Soient A( - 5 ; 1 ) ; B( - 3 ; 2 ) et C( 1 ; 4 )

a)Calculer les coordonnées du vecteur AB b)Calculer les coordonnées du point D tel que :

CD AB=

Exercice 3 :

Soient A( - 1 ; - 2 ) , B( 4 ; 0 ) , C( 4 ; 4 ) et D( - 1 ; 2 ) . Montrer que le quadrilatère ABCD est un

parallélogramme.

Exercice 4 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points A( - 2 ; 1 ) , B( 2 ; 2 ) et C( 1 ; 4 ) .

a)Calculer les coordonnées du point D tel que

BD AC=

b) Calculer les coordonnées du point E tel que

BC AE=

c) Calculer les coordonnées du point F tel que

AC FB=

Exercice 5 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .

Soient les points A( 1 ; 2 ) , B( 2 , 0 ) et C( 1 ; 4 ) a)Calculer les coordonnées du point D afin que ABCD soit un parallélogramme. b) Calculer les coordonnées du point E afin que ABEC soit un parallélogramme . c) Calculer les coordonnées du point F afin que BCAF soit un parallélogramme .

d)Calculer les coordonnées des milieux des segments [ED] , [DF] et [FE] . Que constate-t-on ? Pourquoi ?

Exercice 6 :

Dans un repère ( O , I , J ) , on donne les points A( - 2 ; 4 ) , B( 3 ; 5 ) , C( - 4 , 0 ) et D( 4 ; - 3 ) .

Calculer les coordonnées du point M vérifiant

CD MB MA=+

Exercice 7 :

Dans le plan muni d"un repère ( O , I , J ) , on considère les points A( 3 ; 2 ) , B( - 1 ; - 2 ) , C( 3 ; 0 ) et le

vecteur

u ( 3 ; - 1 ) . Calculer les coordonnées des points A", B" et C", images respectives des points A ,

B et C dans la translation de vecteur

u .

THEME :

CALCUL VECTORIEL

COMPOSANTES D"UN VECTEUR - EXERCICES

Exercice 8 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) . Soient les points: A( - 1 ; 3 ) , B( 4 ; 2 ) , C( 5 , 0 ) et D( 3 ; - 1 )

a)Calculer les coordonnées du vecteur BA

Calculer les coordonnées du point E tel que

BA DE= . Quelle est la nature du quadrilatère ABDE ?

b)Calculer les coordonnées du milieu M du segment [EB] et les coordonnées du point F , symétrique de C

par rapport à M . Quelle est la nature du quadrilatère ECBF ? c)Montrer que

AC FD=

Exercice 9 :

Le plan est muni d"un repère ( O , I , J ) .

Placer les points M( 3 ; 5 ) , E( - 4 ; 6 ) et R( 2 ; - 2 ). a)Calculer les coordonnées des vecteurs

RE et MR , ME puis les distances ME , MR et RE .

b)Quelle est la nature du triangle MER ? Pourquoi ? Donner la mesure de ses angles. c)Calculer les coordonnées des points T et S tels que :

SR ME et RT ME==

Quelles sont les natures respectives des quadrilatères METR et MERS ?

Exercice 10 :

Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les points

A( - 4 ; 3 ) , B( 0 ; 5 ) et C( 2 ; - 1 ) .

a)Calculer les coordonnées du vecteur AB

b)Calculer les coordonnées des points D et E sachant que les quadrilatères ABCD et ABEC sont des

parallélogrammes . c)Calculer les coordonnées des points R et S, milieux respectifs des segments [BD] et [AE] . d)Montrer que les droites (RS) et (AB) sont parallèles. Exercice 11 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Le plan est muni un repère orthonormal ( O , I , J ) . a)Placer les points A( 2 ; 5 ) , B( 8 ; 2 ) et C( - 2 ; - 3 ) b)Calculer les valeurs exactes des distances AB, AC et BC. En déduire la nature du triangle ABC. c)Quelles sont les coordonnées de D image de C dans la translation de vecteur

AB? En déduire que le

quadrilatère ABDC est un rectangle. d)Déterminer les coordonnées du point M centre du cercle circonscrit à ce rectangle . Exercice 12 : d"après Brevet des Collèges - 1991 Soient A , B et D trois points du plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J )

A( 1 ; 4 ) , B( - 1 ; 8 ) et D( 9 ; 8 )

a)Quelles sont les coordonnées des vecteurs ? BD et AD , AB b)Calculer les longueurs des segments [AB] , [AD] et [BD] . c)Démontrer que le triangle ABD est rectangle en A . d)Construire le point C tel que

AD AB AC+=

e)Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle . f)Déterminer les coordonnées du point C . Exercice 13 : Brevet des Collèges - Dijon - 1992 Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ), on considère les points A( 5 ; 0 ) , B( 7 ; 6 ) , C( 1 ; 4 ) et D( - 1 ; - 2 ) . a)Faire une figure. b)Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et AB

c)Calculer les distances AB et AD . d)Démontrer que ABCD est un losange . Exercice 14 : Brevet des Collèges - Rouen - 1992 ( O , I , J ) est un repère orthonormal du plan. a)Placer les points A( 4 . 2 ) , B( 6 ; - 4 ) , C( 0 ; - 2 ) , E( - 2 ; 4 ) b)Démontrer que le quadrilatère ABCE est un parallélogramme . c)Calculer les longueurs AB et BC. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère ABCE ?

Exercice 15 :

. ) 1 ; 1 - (u et ) 2 ; 3 M( Soient a)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la translation de vecteur u. b)Déterminer les coordonnées du point M" image de M dans la symétrie de centre A( 1 ; 2 ).

Exercice 16 :

Dans un repère orthonormal, on donne les points

A( 1 ; 6 ) , B( 2 ; 1 ) et I( - 1 ; 4 )

a)Calculer les coordonnées des vecteurs

AB et IB , IA .

b)Calculer IA, IB et AB. c)En déduire que le triangle IAB est rectangle en I .

d)Soit C le point de coordonnées ( - 3 ; 2 ). Démontrer que le point I est milieu du segment [AC].

e)Soit D le point symétrique de B par rapport au point I .

Déterminer les coordonnées du point D.

Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

Exercice 17 :

Dans un repère orthonormal, placer les points : A( - 1 ; 2 ) , B( 2 ; 3 ) et C( 1 ; 0 ) a)Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du triangle ABC. b)Calculer les coordonnées du point D tel que

DC AB=.

Démontrer alors que le quadrilatère ABCD est un losange. c)Soit I le milieu du segment [BC] .

Déterminer les coordonnées du point I.

d)Soit E le symétrique de A par rapport au point I . Calculer les coordonnées du point E.

Exercice 18 :

Dans le plan muni d"un repère orthonormal ( O , I , J ) , placer les points : A( 3 ; 0 ) , B( 0 ; 2 ) , C( 4 ; 3 ) et D( 5 ; 1 )

a)Déterminer les coordonnées des points M, N, P et Q milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD]

et [DA]. b)Démontrer que

QP MN=. Que peut-on en conclure ?

Exercice 19 : Brevet - Clermont-Ferrand - 1989

Construire un triangle BCD rectangle en B tel que BD = 2 et BC = 6 , l"unité étant le cm. a)Calculer DC ( on donnera une valeur exacte du résultat ).

b)Placer sur la figure le point A symétrique du point D par rapport au point B, puis le point E symétrique

de C par rapport à B . Quelle est la nature du quadrilatère ACDE? Justifier. c)Construire le point F tel que

DC AF= ( on expliquera la construction )

Quelle est la nature du quadrilatère AFCD ?

Démontrer que :

AF EA=

Que représente le point A pour le segment [EF] ?

d)Soit I le point d"intersection des droites (CF) et (DE) . Montrer que C est milieu de [IF]. Calculer IF

et IE. e)Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ECF .

Exercice 20 : Brevet - Amérique du Nord - 1991

Dans un repère ( O , I , J ) , représenter les points suivants ( unité : le cm ) A( 1 ; - 1 ) , B( 2 ; 3 ) , C( - 2 ; 2 ) et D( 4 ; 2 ) a)Placer le point E tel que

AB CE=.

b)Placer le point F tel que AD AB AF+= c)Quelle est la nature du quadrilatère CDFE? Justifier votre réponse . d)Le quadrilatère ABFD est-il un losange ? Justifier votre réponse.

Exercice 21 : d"après Brevet - Nice - 1981

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O , U , V ) . On considère les points A( - 5 ; 1 ) , B( 1 ; 5 ) , C( 3 ; 2 ) , D( - 3 ; - 2 ) et M( 6 ; 4 ) a)Placer ces points. b)Calculer les coordonnées des vecteurs

DC et BC AB, .

c)Calculer les distances AB, BC et AC.

En déduire que le quadrilatère ABCD est un rectangle. Quelles sont les coordonnées de son centre I ?

Quelles sont les longueurs de ses côtés ?

d)On désigne par M" le symétrique de M par rapport au point B . Calculer les coordonnées du point M".

e)Soit u ( - 1 ; - 5 ). On désigne par M" l"image de C dans la translation de vecteur u .

Déterminer les coordonnées du point M".

f)Montrer que I est le milieu de [M"M"].

Exercice 22 :

Dans un repère orthonormé (O, I, J) avec OI = OJ = 1 cm placer les points A(4 ; 5) B (-3 ; 4) et C (1, 1).

1) Faire la figure

2) Calculez CA, CB, AB . En déduire la nature du triangle ABC

3) Trouver les coordonnées du points D tel que CBDA soit un parallélogramme. Quelle est la nature de

CBDA ? Pourquoi ?

4) Calculer les coordonnées de S image de B par la translation de vecteur

AC

5) Calculer les coordonnées de R image de A par la symétrie de centre C

6) Quelle est la nature de ABSR ? Pourquoi ?

7) Calculer l"aire de ABSR

Exercice 23 :

Dans un repère orthonormé (O,I,J) OI=OJ=1cm on considère les points A(-2;-3) ; B(-4;4); C(3 ; 6).

1) Faire un figure que l"on complétera tout au long du problème.

2) Calculer les coordonnées des vecteurs

AC et BC , AB

3) Calculer AB ; BC ; AC

Quelle est la nature du triangle ABC ? Pourquoi ?

4)Soit D le point tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer les coordonnées de D.

Quelle est la nature de ABCD ? Pourquoi ?

5) Montrez que le triangle est inscrit dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6) Montrez que D appartient au cercle.

7) Soit E l"image de C par la translation de vecteur

AB. Calculer les coordonnées de E.

8) Quelle est la nature du quadrilatère ABEC ? Pourquoi ?

9) Calculez l"aire de ABEC ?

Exercice 24 : Brevet des Collèges - Besançon-Lyon-Metz-Nancy - 1997 Dans un repère orthonormal ( O , I , J ) tel que OI = OJ = 1 ( cm ) , on considère les points A( 2 ; 6 ) ; B (-3 ; 3 ) ; C( 2 ; 0 ) et D( 7 ; 3 )

1.Calculer les coordonnées des vecteurs

.DC et AB Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

2. Calculer les distances AB et AD ( on donnera

les valeurs exactes . )

Que peut-on dire du parallélogramme ABCD ?

Justifier.

3. Construire le point M centre du

parallélogramme ABCD.

Calculer les coordonnées du point M .

4. a)Quelle est l"image du triangle AMD par la

symétrie centrale de centre M ? b)Citer une transformation qui permet de passer du triangle ACD au triangle ABC . Exercice 25 : d"après Brevet des Collèges - Orléans - 1995 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J).

L"unité est le centimètre.

1) Placer les points A( 3 ; 2,5) , B( 0 ; - 1 ) et C( - 1 ; 3,5 ).

2) Calculer les distances AB et BC. On gardera les valeurs exactes. En déduire une propriété du triangle

ABC.

3) Placer le point M défini par :

CB CA CM+=.

Exercice 26 : d"après Brevet des Collèges - Clermont-Ferrand - 1996

Dans le plan muni d"un repère orthonormal (O, I, J), l"unité étant le centimètre, on considère les points :

A( 2 ; 3 ) ; B( 5 ; 6 ) ; C( 7 ; 4 ) ; D( 4 ; 1 ).

1) Faire la figure sur papier millimétré.

2) Calculer les coordonnées du vecteur

ABet celles du vecteur DC; en déduire la nature du quadrilatère ABCD.

3) Calculer AC et BD.

4) Démontrer que ABCD est un rectangle.

(On pourra utiliser les résultats obtenus à la question précédente ) Exercice 27 : d"après Brevet des Collèges - Amérique - 1997 Le plan est muni d"un repère orthonormal (O, I, J) (unité : 1 cm).

1) Placer les points E ( 6 ; 3 ) ; F( 2 ; 5 ) et G( - 2 ; - 3 ) et tracer le cercle (

C) de diamètre [EG].

2) a) Calculer les coordonnées du centre H de (

C). b) Calculer le rayon du cercle ( C).

3) a) Déterminer la longueur HF.

b) En déduire la nature du triangle EFG.

4) a) Construire le point K image de G par la translation de vecteur

FE. b) Quelle est la nature du quadrilatère EFGK ? Justifier. Exercice 27 : d"après Brevet des Collèges - Grenoble - 1998 Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, I, J). L"unité est le centimètre. On considère les points : A( 4 ; 4 ) , B( 7 ; 5 ) et C( 8 ; 2 )

1. Placer les points A, B, C sur une figure.

2. Calculer les longueurs AB, AC et BC

(on donnera les valeurs exactes).

3. Démontrer que le triangle ABC est isocèle et rectangle.

4. Placer, sur la figure, le point D tel que

DC AB=.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

Exercice 28 : d"après Brevet des Collèges - Etrangers - 1997 (O, I, J) est un repère othonormal du plan.

1. Placer les points A ( 4 ; 2 ) , B ( 6 ; - 4 ) et C ( 0 ; - 2 ).

2. Déterminer les coordonnées du vecteur

AB ; en déduire les coordonnées du point D pour que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

3. Calculer les longueurs AB et BC. En déduire la nature du parallélogramme ABCD.

Exercice 29 : d"après Brevet des Collèges - Lille - 1998 Soit un repère orthonormal (O, I, J). On donne les points :

A(1 ; 3) B(3 ; 4) C(4 ; 1)

1. a) Placer les points A, B et C.

b) Calculer les coordonnées du vecteur AB.

2. On considère le point D tel que :

AB CD=. Calculer les coordonnées du point D.

3. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ? Justifier la réponse.

Exercice 30 : d"après Brevet des Collèges - Orléans - 1999

1. Construire sur la copie un repère orthonormal (O, I, J) tel que OI = OJ = 1 cm et placer les points :

A( 0 ; 4 ) , B( 3 ; 8 ) , C( 6 ; 4 ) et D( 3 ; 0 )

2. Calculer les coordonnées du vecteur

AB.

3. Calculer la distance AB.

4. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange.

Exercice 31 : d"après Brevet des Collèges - Asie - 1999

1. Tracer un repère orthogonal (O, I, J) du plan et placer les points :

A( 2 ; 3 ) , B( - 4 ; 6 ) et E( 6 ; 5 )

2. Construire le point F image du point E par la translation de vecteur

AB.

3. Calculer les coordonnées du point F.

Exercice 32 : d"après Brevet des Collèges - Réunion - 1999

1. Dans un plan muni d"un repère orthonormé (O, I, J) (unité graphique : 1 cm), placer les points suivants :

A( 5 ; 0 ) , B( 7 ; 6 ) , C( 1 ; 4 ) et D( - 1 ; - 2 )

2. Calculer les coordonnées des vecteurs

AB et DC.

3. Calculer les distances AB et AD.

4. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

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