[PDF] BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR SOUS ÉPREUVE

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A. P. M. E. P.BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR

SOUS ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES

Le GROUPEMENT F de 2004 à 2010

Design d"espace 2004....................................3 Design d"espace 2005....................................5 Design d"espace 2006....................................7 Design d"espace 2007....................................8 Design d"espace 2008...................................10 Art céramique,Design d"espace 2009.................. 12 Design de communication, d"espace, de produits 201015

Brevet de technicien supérieur

Groupement F2

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Design d"espacesession 2004

Exercice110points

A. Étude des variations d"une fonction

Soilfla fonction définie sur [0,5; 2] par

f(x)x22 x

1.On désigne parfla fonction dérivée def.

a.Déterminerf(x) pour toutxde [0,5; 2]. b.Vérifier que, pour toutxde [0,5; 2] f (x)2(x1)x2x1 x2

2.On admet que, pour toutxde [0,5; 2],2(x1)x2x1

x20. En déduire, dans un tableau, le signe def(x) lorsquexvarie dans [0,5; 2].

3.Établir le tableau de variations def.

4.Indiquer pour quelle valeur dex,fadmet un minimum.

B. Application à un problème d"optimisation

Un fabriquant doit réaliser un réservoir en plastique sans couvercle ayant la forme d"un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont exprimées en mètres. Lahauteur esthetlabaseestuncarrédecôtéx,commelemontrelafiguresuivante.

On admet que 0,5?x?2.

xxh

1. a.Exprimer le volumeVen m3, du réservoir en fonction dexeth.

b.On se propose de construire un réservoir dont le volume est 0,5 m3. À l"aide du a., donner l"expression dehen fonction dexlorsqueV0,5.

2.On noteS(x) l"aire totale du réservoir sans couvercle.

Démontrer queS(x)x22

x.

Brevet de technicien supérieur

3. a.Déduire de la partie A la valeur dexpour laquelle l"aire totale du réser-

voir est minimale, c"est-à-dire pour laquelle le coût de fabrication de ce réservoir est minimal. b.Déterminer les valeurs correspondantes deSet deh.

Exercice210points

Exemple de courbe de Bézier définie par points de définition etpolynômes de Bern- stein.

Dans un repère orthonornal

O,ı,

d"unité graphique 2 centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées : A(1 ; 1) , B(3; 2) et C(4; 1). Le but del"exercice est dedéterminer et de tracer une courbepossédant les proprié- tés suivantes : - elle passe par les points A, B et C; - elle admet le vecteurAB pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point A; - elle admet le vecteurBC pour vecteur directeur de la tangente à la courbe au point C. Pour tout nombretde l"intervalle [0; 1], soitMle point défini par :

OM(1t)2OA2t(1t)OBt2OC .

1.Calculer en fonction detles coordonnéesxetydu pointM.

2.On considère les fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle [0; 1] par

f(t)t24t1 etg(t)2t22t1. Étudier les variations des fonctionsfetgsur [0; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

3.On noteΓla courbe, dans le repère orthonormal

O,ı,

, dont un système d"équations paramétriques estxf(t) yg(t)oùtappartient à l"intervalle [0; 1]. a.Montrer que le vecteurAB est un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point A et que le vecteurBC est un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point C. b.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point S obtenu pourt1 2. c.Tracer avec précision les vecteursAB etBC , la tangente au point S, puis la courbeΓ. (On rappelle que l"unité graphique est 2 cm.) La courbeΓainsi obtenue est la courbe de Bézier dont A, E, C sont les points de définition.

Design d"espace4juin 2004

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Design d"espacesession 2005

Exercice17 points

Étude d"un tétraèdre régulier obtenu à partir d"un cube On dispose d"un cube ABCDEFGH dont une arête mesure 10 cm. On coupe le cube suivant les plans BDG, BDE, BEG et DEG. On obtient le tétraèdre DEGB. A B C D E F GH DB E G

1.Montrer que ce tétraèdre est régulier, c"est à dite montrer que les six arêtes du

tétraèdre ont même longueur.

2. a.Calculer la valeur exacte de l"aire en cm2d"une face de ce tétraèdre.

b.Soit I le centre de gravité du triangle DEG. On admet que la droite (BI) est perpendiculaire au plan du triangle DEG.

Montrer que BI20

3cm. c.En déduire la valeur exacte du volumeV, en cm3, du tétraèdre. On rappelle que le volume V d"une pyramide est donné par : V1 3Bh, où B est l"aire de la base et h la hauteur de la pyramide. d.Donner une valeur approchée arrondie à 101deV.

Exercice213points

Exemple de courbe de Bézier définie par points de definition etpolynômes de Bern- stein.

Dans un repère orthonormal

O,ı,

d"unité graphique 2 centimètres, on donne les points suivants par leurs coordonnées :

A(1 ; 0), B(0 ; 1), C(1 ; 1) et D(1 ; 0).

Pour tout nombre réeltde l"intervalle [0; 1], soitMle point défini par :

OM(1t)3OA3t(1t)2OB3t2(1t)OCt3OD .

1.Calculer en fonction detles coordonnéesxetydu pointM.

2.On considère les fonctionsfetgdéfinies sur l"intervalle [0; 1] par :

f(t)t33t1 etg(t)3t23t. Étudier les variations des fonctionsfetgsur [0; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.

Brevet de technicien supérieur

3.On noteΓla courbe, dans le repère orthonormal

O,ı,

, dont un système d"équations paramétriques est :xf(t) yg(t)oùtappartient à l"intervalle [0; 1]. a.Montrer que le vecteurAB est un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point A et que le vecteurDC est un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point D. b.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeΓau point S obtenu pourt1 2. c.Placerlespoints A,B,CetD.Traceravecprécision lesvecteursAB etDC , la tangente au point S, puis la courbeΓ. (On rappelle que l"unité graphique est 2 cm.)

4. a.TracerlacourbeΓimagedelacourbeΓparlasymétriecentraledecentre

A(1 ; 0).

b.On noteΓ1la réunion des courbesΓetΓ. Tracer la courbeΓ2image de la courbeΓ1par la symétrie orthogonale d"axe, l"axe des abscisses.

Design d"espace6juin 2005

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Design d"espacesession 2006

Exercice112points

Dans un repère orthonormal

O,ı,

d"unité graphique 5 cm, on considère la courbeCdont un système d"équations paramétriques est : xf(t) t33t yg(t) 2t33

2t23toùtappartient à l"intervalle [0; 1]

1.Calculerf(t) etg(t) oùfetgsont les fonctions dérivées respectives des

fonctionsfetg.

2.Étudier les signes respectifs def(t) etg(t) lorsquetvarie dans l"intervalle

[0; 1].

3.Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.

4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeCen chacun des

trois points O, A, B obtenus respectivement pourt0,t0,5 ett1.

5.Placer les points O, A, B, tracer avec précision, sur une feuille de papier milli-

métré, la tangente en chacun des points, puis la courbeC.

Exercice28 points

Dansunrepèreorthonormal

O,ı,,k

del"espace,ondonnelespointssuivants par leurs coordonnées : A(1 ; 3 ;1) ; B(2 ; 1 ; 4) ; C(5 ; 0 ; 3) et D(4 ; 2 ;2).

1. a.Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

b.Calculer le produit scalaireABBC . Que peut-on en déduire sur la nature du parallélogramme ABCD?

2.Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].

3.On considère la pyramide SABCD de sommet S(6,5; 9,5; 3,5).

a.Montrer que le vecteurIS est orthogonal à chacun des deux vecteursAB etBC . b.Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABCD dont[IS] est une hauteur.

4.On se propose de déterminer une mesure en degrés de l"angleSAB.

a.Calculer le produit scalaireASAB .

b.Donner les valeurs exactes des distances AS et AB.Endéduirela valeur exacte decosSAB puis une valeur approchée, arron-

die à 10

1de la mesure en degrés de l"angleSAB.

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Design d"espacesession 2007

Exercice17 points

Onconsidèrele repèreorthonormaldirect

O ;OA ,OB ,OC

sur la figuresuivante : A MB ON P Q C

1. a.Donner les coordonnées des points O, A, B, M, C, N, P, Q.

b.Déterminer les coordonnées des vecteursAB ,AC etAP.

2. a.Calculer les coordonnées du produit vectorieluABAC .

b.Calculer le produit scalairesAPu. c.On admet que le volumeVdu tétraèdre ABCP estV1 6s.

Calculer le volumeV.

3.Soit I(x;y;z) le pied de la hauteur [IPI du tétraèdre ABCP.

a.On admet que les vecteursIP etAD sont orthogonaux. En déduire que xy. b.On admet que les vecteursIP etAC sont orthogonaux. En déduire que xz. c.On admet que, le point I étant dans le plan (ABC), ses coordonnées véri- fient : xyz1. Déduire des questions précédentes les coordonnées du pointI. d.Montrer queIAIBIC0 . Que représente le point I pour le triangle ABC?

Exercice213points

Dans un repère orthonormal

O,ı,

d"unité graphique 2 cm, on considère la courbeCdont un système d"équations paramétriques est :

Brevet de technicien supérieur

xf(t)5 1t2 yg(t)t23toùtappartient à l"intervalle [2 ; 3].

1.Calculerf(t) etg(t) oùfetgsont les fonctions dérivées respectives des

fonctionsfetg.

2.Étudier les signes respectifs def(t) etg(t) lorsquetvarie dans l"intervalle

[2 ; 3].

3.Rassembler les résultats dans un tableau de variation unique.

4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeCen chacun des

quatrepoints E,F,GetHobtenusrespectivement pourt2,pourt0,pour t1,5 et pourt3.

5.Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier

millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbeC.

Design d"espace9juin 2007

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Design d"espaceDesign de produits session 2008

Exercice18 points

On considère le triangle ABC tel que AC = 24 cm, BC = 28 cm et AB = 40 cm.

1.Faire un dessin à l"échelle1

4.

2.Calculer la mesure en degrés de l"angleACB du triangle ABC.

Arrondir à 10

1.

3.On admet pour la suite que l"angleACB a une mesure de 100,3 °.

Calculer l"aireSdu triangle ABC. Arrondir à 101.

4.Pour la suite, on admet queS330,6 cm2.

Calculer l"aireSdu triangle dessiné à la première question.

5.On appelle H le pied de la hauteur issue du point C. Placer H surle dessin.

Donner l"expression de l"aire du triangle ABC en fonction deCH. En déduire CH.

6.Calculer la mesure en degrés de l"angleBAC. Arrondir à 101.

7.En utilisant un résultat admis au3.et le résultat obtenu au6., calculer une

valeur approchée de la mesure de l"angle CBA.

8.On appelle J le point situé sur la droite (CH) à l"extérieur dutriangle ABC et tel

que IH = 8 cm (sur le dessin, compte tenu de l"échelle, IH = 2 cm).

Placer le point J et dessiner le triangle A

BC, image du triangle ABC par la

rotation de centre J et d"angle90°.

Exercice212points

L"objectif de cet exercice est de tracer deux courbes de Bézier qui permettent de définir, avec l"axe des abscisses, une forme utilisée pour un logo.

Dans le plan muni d"un repère orthononnal

O,ı,

d"unité graphique 2 cm, on considère les points : P

0(2 ; 0) ; P1(1 ; 3) ; P2(2 ; 0).

La courbe de BézierC1définie par ces points de contrôle est l"ensemble des points M

1(t) tels que pour touttde l"intervalle [0; 1] :

OM1(t)(1t)2OP02t(1t)OP1t2OP2.

1.Démontrer que les coordonnéesx1ety1des pointsM1de cette courbe ont

pour expression : x

1f1(t)2t22t2 ety1g1(t)6t26t.

2.Étudier les variations def1etg1, sur [0; 1] et rassembler les résultats dans un

tableau unique.

3. a.Donner unvecteur directeur delatangente àlacourbeC1en chacundes

points P

0et P2et tracer ces tangentes. Placer le point P1.

b.Tracer la courbeC1.

Brevet de technicien supérieur

4.On considère maintenant les points de contrôle :

P

2(2 ; 0) ; P3(0 ; 2) et P4(l; 0).

On admet que la courbeC2définie par ces trois points est l"ensemble des pointsM2de coordonnées : x

2f2(t)t24t2 ety2g2(t)4t24t

oùtappartient à l"intervalle [0; 1]. Le tableau des variations conjointes def2etg2est le suivant : t00,51 f 2(t)+ f 2(t) 21
g 2(t)0 g 2(t) 01 0 Montrer que les courbesC1etC2ont la même tangente au point P2.

5.Dans cette question, tous les tracés sont à effectuer sur la figure du3. b..

a.Placer les points P3et P4puis tracer la tangente a la courbeC2au point P 4. b.Tracer la courbeC2.

Design d"espace, de produits11juin 2008

A. P. M. E. P.

Brevet de technicien supérieur

Groupement E et Design d"espace session 2009

Exercice110points

Le plan est muni d"un repère orthonormal

O,ı,

d"unité graphique 1 cm. On considère la courbeCdont un système d"équations paramétriques est : xf(t)t24t1 yg(t)1 toùtappartient à l"intervalle [0,2; 5].

1.Calculerf(t) etg(t) oùfetgsont les fonctions dérivées respectives des

fonctionsfetg.

2.Étudier les signes respectifs def(t) etg(t) lorsquetvarie dans l"intervalle

[0,2; 5].

3.Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique pour les fonc-

tionsfetg.

4.Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeCen chacun des

points A et B obtenus respectivement pourt0,5 ett2.

5.Dans le repère défini ci-dessus, placer les points A et B, tracer avec précision

la tangente en chacun de ces points, puis la courbeC. LacourbeC,définie àl"aide d"un paramètredans cetexercice,peutaussi être obtenue comme courbe représentative de la fonction associant x à y, ce qui n"est pas demandé ici.

Exercice210points

Le solide représenté en annexe est un solide formé de deux pyramides de base car- rée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux de côté 9 cm.

1.On rappelle que la projection orthogonale H de E sur le plan ABCD est le mi-

lieu du segment [AC]. a.Calculer la valeur exacte de EH. b.Calculer le volume V de ce solide. Arrondir au mm3. Le volumevd"une pyramide de hauteurh, dont l"aire de la base esta, est :v1 3ah.

2. a.Sur la figure donnée en annexe, placer les quatre points suivants :

le pointMdu segment [EA] tel que EM1

3EA, 3

le pointNdu segment [EB] tel que EN= EM, le pointPdu segment [EC] tel que EP= EM, le pointQdu segment [ED] tel que EQ= EM. b.Donner sans justification la nature du quadrilatèreMNPQ. c.Calculer le volumeVde la pyramide EMNPQ. Arrondir au mm3.

Brevet de technicien supérieur

3.On enlève du solide la pyramide EMNPQet on fait de même en chacun des

cinq autres sommets A, B, C, D, F. a.Représenter sur la figure donnée en annexe chacune des faces du solide ainsi obtenu. b.Donner sans justification le nombre de faces et la nature des deux types de faces de ce solide. c.Calculer le volumeV1de ce solide. Arrondir au mm3.

Groupement E

quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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[PDF] Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,I,J) on considère les points A(1;1), B(2;5) et C(3;1)

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