[PDF] PCSI DEVOIR de MATHÉMATIQUES n 5 pour le 28/01/2003

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PCSI DEVOIR de MATH´EMATIQUES n◦5pour le 28/01/2003EXERCICE :

Soitnun entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2. On d´ecomposenen produit de facteurs premiers :

n=pα11pα22···pαkk. On noted(n) le nombre de diviseurs dendans IN, et on noteP(n) le produit de tous ces diviseurs.

1.D´emontrer qued(n) =k?

i=1(1 +αi).

2.Calculerd(360),d(2000),d(17500).

3.Quel est le plus petit entier naturel ayant exactement 16 diviseurs positifs ?

4.D´emontrer quenest un carr´e parfait si et seulement sid(n) est impair.

5.Prouver la relationnd(n)=P(n)2.PROBL`EME 1 : M´ethode de Newton

Soitf:I= [a,b]→IR une fonction de classeC2, telle que f(a)<0< f(b) ;f?>0 surI;f??>0 surI . On posem1= minx?[a,b]f?(x) etM2= maxx?[a,b]f??(x) (on am1>0 etM2>0).

Soit Γ la courbe repr´esentative def.

1.Montrer que l"´equationf(x) = 0 admet une unique solutionωdans l"intervalle ]a,b[ .

On d´efinit une suite (xn) par :x0=bet, pour toutn?IN,xn+1est l"abscisse du point d"intersection avec l"axeOxde la tangente `a Γ au point d"abscissexn.

2.Faire un sch´ema. Montrer que l"on peut ´ecrirexn+1=?(xn), o`u?est une fonction que l"on

explicitera `a l"aide def.

3.Montrer que l"intervalle ]ω,b] est stable par?. En d´eduire queω < xn+1< xnpour tout

n?IN, puis que limn→+∞xn=ω.

4.Montrer la relationxn+1-ω=-f(xn) + (ω-xn)f?(xn)f?(xn)pour toutn?IN. En d´eduire que

5.Montrer qu"il existe un entierNtel queM22m1(xN-ω)<1. En d´eduire l"existence de deux

constantesc >0 etk?]0,1[ telles que l"on ait

6.Montrer que la suite (xn-ω) est n´egligeable devant toute suite g´eom´etrique (la convergence

de la m´ethode est donc tr`es rapide).

7.Exemple d"estimation du temps de calcul. Supposons que l"on ait obtenu la majoration

2n

Combien d"it´erations sont n´ecessaires pour calculerω`a 10-10pr`es ? `a 10-100pr`es ? `a 10-1000

pr`es ?

PROBL`EME 2 :

Question pr´eliminaire :SoientIetJdeux intervalles de IR, soientuetvdeux fonctions de classeC1deJversI, etfune fonction continue deIvers IR. Montrer que la fonction

H:x?→?

v(x) u(x)f(t) dtest de classeC1surJet exprimer sa d´eriv´ee `a l"aide des fonctions f,uetv.

On poseF(x) =?

x2 xdtlntetG(x) =? x2 xdttlnt.

1.Montrer que les int´egrales ci-dessus ont un sens lorsquexest un r´eel strictement positif

diff´erent de 1.

2.Calculer explicitementG(x) pourx?IR?+\ {1}.

3.Montrer queFest d´erivable sur IR?+\ {1}et d´eterminer sa d´eriv´ee. Que vaut limx→1F?(x) ?

4.a.D´emontrer, pour toutx?IR?+\ {1}, l"encadrement

x2? ???x-1lnx? b.En d´eduire les limites de la fonctionFen 0 et en +∞.

c.Pr´eciser limx→+∞F(x)xet limx→0F(x)x. Interpr´eter graphiquement les r´esultats.

5.Montrer que limx→1?F(x)-G(x)?= 0. En d´eduire limx→1F(x).On prolonge alors par continuit´e

la fonctionFau point1.

6.Montrer que la fonctionFest d´erivable au point 1.

7.Donner l"allure de la courbe repr´esentative de la fonctionF.

CORRIG

´E

EXERCICE :

1.Les diviseurs de l"entiernsont les nombres de la formed=pβ11pβ22···pβkk, o`u lesβisont des

peut avoir de diviseur premierpautre quep1,···,pk, sinon ce facteur premierpfigurerait dans la d´ecomposition den). Si, par ailleurs,d=pβ11pβ22···pβkketd?=pβ?

11pβ?

22···pβ?

kk, ces deux nombres sont ´egaux si et seulement siβ?i=βipour touti(c"est une cons´equence de l"unicit´e de la d´ecomposition d"un entier naturel en produit de facteurs premiers).

Le nombre de diviseurs distincts denest donc exactement le nombre dek-uplets (β1,···,βk)

appartenant `a [[0,α1]]× ··· ×[[0,αk]], soit d(n) = (α1+ 1)(α2+ 1)···(αk+ 1).

2.On a 360 = 23×32×51, doncd(360) = 4×3×2 = 24.

De mˆeme, 2000 = 2

4×53, doncd(2000) = 5×4 = 20.

Enfin, 17500 = 2

2×54×71, doncd(17500) = 3×5×2 = 30.

3.Si un entierna 16 diviseurs, le produit des exposants (auxquels on ajoute 1) de ses facteurs

premiers vaut 16. Examinons les diff´erentes possibilit´es, en appliquant chaque fois les susdits

exposants aux plus petits nombres premiers possibles : - le nombrenpeut avoir un seul facteur premier avec un exposant ´egal `a 15 : le plus petit nombrenainsi construit est 215= 32768 ; - il peut avoir deux facteurs premiers distincts, avec des exposants 7 et 1 : la plus petite possibilit´e est 2

7×3 = 384, c"est d´ej`a mieux...

- il peut avoir deux facteurs premiers distincts, avec des exposants 3 et 3 : la plus petite possibilit´e est 2

3×33= 216, continuons...

- il peut avoir trois facteurs premiers distincts, avec des exposants 3, 1 et 1 : la plus petite possibilit´e est 2

3×3×5 = 120 ;

- il peut enfin avoir quatre facteurs premiers distincts, avec des exposants 1, 1, 1, 1 : la plus petite possibilit´e est 2×3×5×7 = 210.

En conclusion, le nombre recherch´e est 120.

4.Un produit de nombres entiers est impair si et seulement si tous les facteurs sont impairs

(c"est-`a-dire si le nombre premier 2 ne figure dans aucun des facteurs). En appliquant ce raisonnement au nombred(n) =k? i=1(αi+ 1), on voit que le nombre de diviseurs denest impair si et seulement si tous lesαisont pairs, ce qui signifie exactement quenest un carr´e.

5.Question difficile. Formons la d´ecomposition en facteurs premiers du nombreP(n) : il est

indicei?[[1,k]] ; pour tout entierr?[[0,αi]], le nombre de diviseurs dendans lesquels le facteurpiapparaˆıt avec l"exposantrest? j?=i(αj+ 1) : en effet, les autres exposantsβj (j?=i) prennent des valeurs arbitraires dans l"intervalle [[0,αj]] correspondant. L"exposant depidans le produitP(n) est donc ?αi? r=0r? j?=i(αj+ 1)) =αi(αi+ 1)2? j?=i(αj+ 1) =αi2d(n) (remarquons que ce nombre est toujours entier). L"exposant depidansP(n)2est donc le double, soitαid(n), doncP(n)2=k? i=1pαid(n) i=? k? i=1p

αii?

d(n) =nd(n).

PROBL`EME 1 : M´ethode de Newton

1.fest continue et strictement croissante sur ]a,b[, donc r´ealise une bijection de cet intervalle

sur son image. Or, 0?f?]a,b[?=?f(a),f(b)?, donc?!ω?]a,b[f(ω) = 0.

2.La tangente `a Γ au point d"abscissexnadmet pour ´equationy=f?(xn)(x-xn)+f(xn). Elle

rencontreOxau point d"abscissexn+1=xn-f(xn)f?(xn). On posera donc?(x) =x-f(x)f?(x).

3.Pour toutx?]ω,b],?(x)< xcarf(x)f?(x)>0.

La fonction?est de classeC1sur [ω,b] avec??=ff??f?2. On a??>0 sur ]ω,b], donc?est l"intervalle ]ω,b] est stable par?.

La suite (xn) est donc d´ecroissante strictement et `a valeurs dans l"intervalle ]ω,b] (cf. ´etudes

de suites r´ecurrentesxn+1=?(xn)). On en d´eduitω < xn+1< xnpour toutn.

La suite (xn) est d´ecroissante et minor´ee (parω), donc elle converge. Sa limite est un r´eel

l?[ω,b] tel que?(l) =l, c"est-`a-diref(l) = 0 : c"est doncω.

4.On a

x n+1-ω=xn-f(xn)f?(xn)-ω=(xn-ω)f?(xn)-f(xn)f?(xn)=-f(xn) + (ω-xn)f?(xn)f?(xn).

On sait quexn+1-ω >0 (question3.). Par ailleurs, l"in´egalit´e de Taylor-Lagrange donne???f(ω)-?

f(xn) + (xn-ω)f?(xn)? Tenant compte def(ω) = 0 et de la minoration du d´enominateur positiff?(xn) parm1, on obtient l"encadrement voulu.

5.PosonsM=M22m1. Comme limn→+∞(xn-ω) = 0, il existeN?IN tel queM(xN-ω)<1. Pour

toutn > N, nous pouvons ´ecrire

Par substitutions successives, nous obtenons

c"est-`a-dire etk=?M(xN-ω)?2-N(le choix deNgarantit bien quek?]0,1[).

6.Soitq?]0,1[ ; on a ln?c·k2nqn?

= lnc+2nlnk-nlnq≂n→+∞2nlnk-→n→+∞-∞, donc lim n→+∞c·k2nqn= 0 etxn-ω=o(qn). 7. ?12? 2n suffisent pour une pr´ecision de 10 -10. Des calculs analogues conduisent `a 9 et 12 it´erations respectivement pour des pr´ecisions de 10 -100et 10-1000.PROBL`EME 2 : Question pr´eliminaire :En notantFune primitive defsur l"intervalleI, on a, pourx?J, H(x) =F?v(x)?-F?u(x)?, soitH=F◦v-F◦u, les fonctionsF,uetv´etant de classeC1 (surI,JetJrespectivement). La fonctionHest donc de classeC1surJet, par d´erivation d"une fonction compos´ee, on obtient ?x?J H?(x) =v?(x)·F??v(x)?-u?(x)·F??u(x)?=v?(x)·f?v(x)?-u?(x)·f?u(x)?, soitH?=v?·f◦v-u?·f◦u.

1.Les int´egrandes1lntet1tlntne sont pas d´efinis pourt= 1, il convient donc de v´erifier que le

nombre 1 n"est pas interm´ediaire entre les bornesxetx2de l"int´egrale. Or, - six?]0,1[ , on a 0< x2< x <1, donc [x2,x]?]0,1[ et l"int´egrale est bien d´efinie ; - six?]1,+∞[ , on a 1< x < x2, donc [x,x2]?]1,+∞[ et l"int´egrale est encore bien d´efinie.

On a doncDF=DG= IR?+\ {1}=]0,1[?]1,+∞[.

2.L"int´egrande1tlntest de la formeu?uavecu= lnt, donc?dttlnt= ln|lnt|et

G(x) = ln|ln(x2)| -ln|lnx|= ln(2|lnx|)-ln(|lnx|) = ln?2|lnx||lnx|? = ln2.

La fonctionGest donc constante sur IR?+\ {1}.

3.En appliquant les r´esultats de la "question pr´eliminaire", on voit que la fonctionFest d´erivable

sur son ensemble de d´efinition, avec F ?(x) = 2x·1ln(x2)-1·1lnx=2x2lnx-1lnx=x-1lnx.

De lim

h→0ln(1 +h)h= 1, on d´eduit limx→1F?(x) = limx→1x-1lnx= 1. en int´egrant cette in´egalit´e sur l"intervalle [x,x2], cela donne x ce qui co¨ıncide avec l"encadrement demand´e puisqu"alors les quantit´esx-1 et lnxsont positives.

(car la fonctionu?→1uest d´ecroissante sur IR?-) ; en int´egrant alors sur [x2,x], on obtient

x x

Remarque.La valeur absolue figurant dans l"´enonc´e est en fait inutile puisque la quantit´ex-1lnxest positive pour tout r´eelxstrictement positif et diff´erent de 1.

b.On a limx→0+xx-1lnx= 0 donc, par le th´eor`eme d"encadrement, on d´eduit que limx→0F(x) = 0.

La fonctionFest donc prolongeable par continuit´e en z´ero en posantF(0) = 0.

De mˆeme, lim

x→+∞x-1lnx= +∞et on en d´eduit que limx→+∞F(x) = +∞.

x?IR?+\ {1}d"o`u, par les mˆemes m´ethodes, limx→0F(x)x= 0 et limx→+∞F(x)x= +∞.

La premi`ere limite peut s"´ecrire lim

x→0F(x)-F(0)x-0= 0 d"o`u le d´erivabilit´e de la fonctionF en 0 avecF?(0) = 0 (graphiquement, il y a une demi-tangente horizontale `a l"origine), la deuxi`eme limite montre que la courbe repr´esentantFadmet une branche parabolique de directionOylorsquextend vers +∞.

5.Pour toutx?IR?+\ {1}, on a

F(x)-G(x) =?

x2 x?

1lnt-1tlnt?

dt=? x2 xt-1tlntdt . La fonctionh:t?→t-1tlntest prolongeable par continuit´e au point 1 en posanth(1) = 1.

Ainsi prolong´ee, elle est continue sur IR

?+donc admet des primitives sur cet intervalle ; si on noteHl"une d"entre elles, on a ?x?IR?+\ {1}F(x)-G(x) =? x2 x h(t) dt=H(x2)-H(x) et la continuit´e au point 1 de la fonctionHdonne limx→1?F(x)-G(x)?= 0, d"o`u lim x→1F(x) = ln2 d"apr`es la question2.On posera donc d´esormaisF(1) = ln2.

6.La fonctionF(ainsi prolong´ee) est continue sur IR?+, d´erivable sur IR?+\{1}et on a vu que sa

d´eriv´ee admet une limite finie au point 1 (question3.). Du th´eor`eme "limite de la d´eriv´ee",

on d´eduit la d´erivabilit´e de la fonctionFau point 1 etF?(1) = limx→1F?(x) = 1.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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