[PDF] Exercices sur les nombres premiers EXERCICE 1 : Démontrer que

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TS spécialitéExercices sur les nombres premiers2013-2014

EXERCICE 1:

Démontrer que pour tout entiern(n?1), 30n+ 7 n"est jamais la somme de deux nombres premiers.

Si l"on excepte 2, tous les nombres premiers sont impairs. Onsuppose que 30n+ 7 peut s"écrire comme la somme

de deux nombres premiers tous les deux différents de 2. La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair et

visiblement 30n+ 7 est impair pour toutn: une telle décomposition n"est donc pas possible. Si pour toutn?1, il existeppremier (p?35), tel que 30n+ 7 = 2 +palorsp= 30n+ 5 qui est clairement divisible par 5. On aboutit à une contradiction puisquepest premier.

EXERCICE 2:

pest un nombre premier etp?5.

1. Démontrer quep2-1 est divisible par 3.

2. Démontrer quep2-1 est divisible par 8.

3. En déduire quep2-1 est divisible par 24.

1. 3 est premier et 3 est premier avecp(p?5), par application du petit théorème de Fermat, on obtient

p

3-1≡1 (3)?p2≡1 (3) d"oùp2-1 est divisible par 3.

2.p?5 doncpest impair et il existek?Ntel quep= 2k+ 1 d"oùp2-1 = 4k(k+ 1). Or (déjà vu),k(k+ 1)

est un nombre pair car le produit de deux nombres entiers consécutifs comporte obligatoirement un facteur pair.

Ainsip2-1 est divisible par 8.

3. On utilise ici une conséquence du théorème de Gauss : sia|betb|cavecaetbpremiers entre eux alorsab|c. 3 et

8 sont premiers entre eux et divisentp2-1 doncp2-1 est divisible par 24.

EXERCICE 3:

p >3 est un nombre premier.

1. Quels sont les restes possibles dans la division deppar 12?

2. Prouver quep2+ 11 est divisible par 12.

1. Les restes de la division d"un entier par 12 sont tous les entiers compris entre 0 et 11. Compte-tenu de la primalité

dep, certaines valeurs de restes sont impossibles : •Aucun reste pair n"est possible, sinonpserait pair (il s"écrirait 12q+ 2k);

•Aucun reste ayant un diviseur commun supérieur ou égal à 2 avec 12 n"est possible : soitrun tel reste, on

auraitp= 12q+ravec 12 etrdivisible pard,ddiviserait alorsp, impossible puisquepest premier; •Les seuls restes possibles sont donc 1,5,7 et 11.

2. Dans ces quatre cas, on vérifie aisément quep2+ 11≡0 (12).

EXERCICE 4:

Les deux questions sont indépendantes.

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1. Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un carré parfait divsible par 56.

2. Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre dansN, l"équation :x(x+ 1)(2x+ 1) = 84

1. On utilise la décomposition d"un nombre en produit de facteurs premiers, 56 = 7×23. Un nombre répondant à

la question comportera trois chiffres et aura une écriture dela forme 72x×22y= (2y×7x)2. On est tenté par

x= 1 ety= 2 et l"on obtient 72×24= 784 = 282est un carré parfait divisible par 56.

2. 84 = 2

2×3×7 donc 84 possède 3×2×2 = 12 diviseurs.D12={1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84}.

S"il existexsolution dansNde l"équationx(x+ 1)(2x+ 1) = 84 alorsx,x+ 1 et 2x+ 1 sont des diviseurs de

84. Il ne reste plus qu"à " chercher » parmi les diviseurs de 84, le triplet d"entiers qui convient.xetx+ 1 sont

deux entiers consécutifs :x= 3 est la seule solution de l"équation.

EXERCICE 5:

Le produit de deux entiers naturelsaetb(a < b) est 11340. on notedleur PGCD.

1. (a) Pourquoid2divise-t-il 11340?

(b) Pourquoid= 2α×3βavec 0?α?1 et 0?β?2?

2. On sait de plus queaetbont six diviseurs communs etaest un multiple de 5.

(a) Démonter qued= 18. (b) En déduireaetb.

1. (a)d|aetd|bdoncd2|ab, c"est à dired2|11340.

(b) la décomposition de facteurs premiers de 11340 est 2

2×34×5×7. Ainsi tous les diviseurs de 11340 admettent

une décomposition en facteurs premiers de la forme 2 α×3β×5c×7davec (α,β,c,d)?N4et 0?α?2 ,

0?β?4, 0?c?1 et 0?d?1.

dest l"un de ces diviseurs doncd2= 22α×32β×52c×72det compte-tenu des " contraintes » qui doivent

être vérifiées parα,β,cetd,αne peut être que 0 ou 1 etβne paut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2.

d"oùd= 2α×3βavec 0?α?1 et 0?β?2.

2. (a) Les diviseurs communs deaet debsont les diviseurs de leur PGCD (cela se démontre avec l"algorithme

d"Euclide et les propriétés de divisibilité). Ainsiddoit avoir six diviseurs. Au regard de la question 1.b,

d? {1,2,3,6,9,18}et seul 18 admet 6 diviseurs doncd= 18.

(b) 18 = 2×32,d|aetd|bconduisent à écrirea= 2×32×5s×7tetb= 2×32×5x×7yavec (s,t,x,y)?({0,1})2

(au regard de la décomposition en produit de facteurs premiers de 11340).

5 est un diviseur deaimpliques= 1 (et doncx= 0) puisa < bimpliquey= 1 (et donct= 0).

les nombres cherchés sonta= 90 etb= 126.

EXERCICE 6:

αetβsont deux entiers naturels etn= 2α3β. Le nombre de diviseurs den2est le triple du nombre de diviseurs den.

1. Prouver que (α-1)(β-1) = 3.

2. En déduiren.

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1.npossède (α+ 1)(β+ 1) diviseurs etn2= 22α32βadmet (2α+ 1)(2β+ 1) diviseurs.

On a donc

(2α+ 1)(2β+ 1) = 3(α+ 1)(β+ 1) ?4αβ+ 2α+ 2β+ 1 = 3αβ+ 3α+ 3β+ 3 ?αβ-α-β+ 1 = 3 ?(α-1)(β-1) = 3

2. Les deux seuls couples (α,β) possibles sont (2,4) et (4,2) donnant deux possibilités pourn.n? {144,324}.

EXERCICE 7:

Un entierna 5 diviseurs etn-16 est le produit de deux nombres premiers.

1. Prouver quen=p4avecppremier.

2. Écriren-16 sous forme d"un produit de trois facteurs dépendant dep.

3. En déduire la valeur den.

1. De la décomposition denen produit de facteurs premiers :n=pα11×...×pαkk, αi?N?,?i? {1,2,...,k}, on

peut écrire que le nombre de diviseurs den,k? i=1(αi+1), vaut 5 = 1×5. Compte-tenu des conditions sur lesαiet

de la décomposition de 5, il existe un seul nombre premierpet un seulαtel quen=pαavecα+1 = 5 d"oùα= 4.

2.n-16 =p4-24= (p2-22)(p2+ 22) = (p-2)(p+ 2)(p2+ 4).

3.n-16 est le produit de deux nombres premiers,n=p1p2avec (p1< p2), doncn-16 n"admet que 4 diviseurs

1,p1,p2,p1p2. D"après la question précédente,p-2,p+2,p2+4 sont des diviseurs den-16, aucun d"eux ne peut

être égal àp1p2car cela remettrait en cause la décomposition den-16 en produit de deux facteurs premiers.

On a donc???p-2 = 1

p+ 2 =p1 p2+ 4 =p2?p= 3,p1= 5 etp2= 13 , ainsin= 34= 81 etn-16 = 65 = 5×13.

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