SECOND DEGRÉ (Partie 2) PDF I. Lecture graphique du signe

SECOND DEGRÉ (Partie 2)

I. Lecture graphique du signe d'une fonction On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : ... Signe d'un polynôme du second degré.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 =

SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : pouvoir étudier le signe du trinôme.

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3. Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg. Étudier le signe de

Première S - Signe du trinôme

Signe du trinôme. Soit le trinôme = ² avec a 0

Étude du signe dun polynôme du second degré. Aspect graphique

représentation graphique des fonctions polynômes du second degré ». d'introduire le théorème concernant le signe du polynôme du second degré ;.

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2. Exemple : Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degré.

Trinômes du second degré

Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a. Si a > 0. Si a < 0. Démonstration. Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique

Sur les zéros réels des polynômes

Si v.k est le coefficient de plus faible indice susceptible de ne pas s'annuler le polynôme f(x) a au moins k racines réelles (chan- gements de signe). Pour le

Les Polynômes

Proposition 2 : Si un trinôme a deux racines x1 et x2 on peut le factoriser en a(x ?x1)(x ?x2). 3) Signe du trinôme. Dans chacun des trois cas pour ? on

1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 2) I. Lecture graphique du signe d'une fonction 1) Tableau de signes On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f. On lit graphiquement que la courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles -∞;-3

et 2;+∞

. Ainsi, sur ces intervalles, la fonction f est positive. On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle -3;2

. On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : x -∞ -3 2 +∞

f (x) + 0 - 0 + 2) Résolution graphique d'une inéquation On déduit de l'étude précédente que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0

est : S=-∞;-3 ∪2;+∞ . On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0 est : S=-3;2

2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frII. Signe d'un polynôme du second degré Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q 1) Exemples a) Soit la fonction f, telle que :f(x)=x

2 +3x+5

. - On a = 1 > 0, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». - Le discriminant de

x 2 +3x+5 est : Δ = 32 - 4 x 1 x 5 = 9 - 20 = -11 < 0 L'équation x 2 +3x+5=0

n'a pas de solution. La parabole ne traverse donc pas l'axe des abscisses. Elle est donc située au dessus de l'axe des abscisses. On en déduit que

x 2 +3x+5 est toujours positif. b) Soit la fonction f, telle que : f(x)=-x 2 +4

. - On a = -1 < 0, donc la parabole est tournée dans le sens " colline ». - Le discriminant de -x

2 +4 est : Δ = 02 - 4 x (-1) x 4 = 16 > 0 L'équation -x 2 +4=0

admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. La parabole est donc située au dessus de l'axe des abscisses entre ces deux points. On en déduit que -x

2 +4

est positif pour x compris entre les abscisses de ces deux points et négatif ailleurs. 2) Cas général Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que :

f(x)=ax 2 +bx+c . a) Cas où Δ < 0 Dans ce cas, l'équation ax 2 +bx+c=0

n'a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses.

3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Sia > 0 Si a < 0 b) Cas où Δ = 0 Dans ce cas, l'équation ax

2 +bx+c=0

admet une unique solution donc la parabole admet son extremum sur l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses. Sia > 0 Si a < 0 c) Cas où Δ > 0 Dans ce cas, l'équation ax

2 +bx+c=0

admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. Selon le signe de a, on a : Sia > 0 Si a < 0 x -∞

f(x) + x -∞ f(x) - x -∞ x 0 f(x) - 0 - x -∞ x 0 f(x) + 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) + 0 - 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) - 0 + 0 - x0 x0 x1 x2 x1 x2

4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frIII. Résolution d'une inéquation du second degré Méthode : Résoudre une inéquation Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8 Résoudre l'inéquation suivante :

3x 2 +6x-9>0 - On commence par résoudre l'équation 3x 2 +6x-9=0 . Le discriminant de 3x 2 +6x-9 est Δ = 62 - 4 x 3 x (-9) = 36 + 108 = 144. Les solutions de l'équation 3x 2 +6x-9=0 sont : x 1 -6-144

2×3

-6-12 6 =-3 et x 2 -6+144

2×3

-6+12 6 =1 - On dresse ensuite le tableau de signes : x -∞ -3 1 +∞ 3x 2 +6x-9 + 0 - 0 + 3x 2 +6x-9 est strictement positif sur les intervalles -∞;-3 et 1;+∞ . L'ensemble des solutions de l'inéquation 3x 2 +6x-9>0 est donc -∞;-3 ∪1;+∞

. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. -3 1 Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Sia > 0 Si a < 0 b) Cas où Δ = 0 Dans ce cas, l'équation ax

4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frIII. Résolution d'une inéquation du second degré Méthode : Résoudre une inéquation Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8 Résoudre l'inéquation suivante :

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