SECOND DEGRÉ (Partie 2)
I. Lecture graphique du signe d'une fonction On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : ... Signe d'un polynôme du second degré.
Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2
Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 =
SECOND DEGRE (Partie 2)
Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : pouvoir étudier le signe du trinôme.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3
appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3. Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg. Étudier le signe de
Première S - Signe du trinôme
Signe du trinôme. Soit le trinôme = ² avec a 0
Étude du signe dun polynôme du second degré. Aspect graphique
représentation graphique des fonctions polynômes du second degré ». d'introduire le théorème concernant le signe du polynôme du second degré ;.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2. Exemple : Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degré.
Trinômes du second degré
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a. Si a > 0. Si a < 0. Démonstration. Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique
Sur les zéros réels des polynômes
Si v.k est le coefficient de plus faible indice susceptible de ne pas s'annuler le polynôme f(x) a au moins k racines réelles (chan- gements de signe). Pour le
Les Polynômes
Proposition 2 : Si un trinôme a deux racines x1 et x2 on peut le factoriser en a(x ?x1)(x ?x2). 3) Signe du trinôme. Dans chacun des trois cas pour ? on
Année 2007-20081èreTIE1
Chap 2 :?
???Les PolynômesI. Trinôme du second degré
Définition 1 :Un trinômedu second degré est une expression de la formeax2+bx+c, aveca?=0.Exemple :x2,-2x2+x-1, 10000x2-30000x...
Nous allons déterminer une technique pour résoudretoutesles équations du typeax2+bx+c=0, aveca?=0 , appeléeséquations du second degré.1) Forme canonique du trinôme
Proposition-DéfinitionPour tout trinôme on a :ax2+bx+c=a?? x+b2a? 2 -b2-4ac4a2? Une telle écriture (où lesxn"apparaissent qu"une seule fois) s"appelle la forme canoniquedu trinôme. A quoi ça sert?: Cette écriture permet dans tous les cas de résoudre l"équationax2+bx+c=0, il fautla factoriser à l"aide de l"identité remarquablea2-b2puis, si cette factorisation est possible, dire qu"un
??produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul??et enfin conclure. Exemple :la forme canonique de 2x2-4x-6 est 2?(x-1)2-4?donc l"équation 2x2-4x-6=0 peut se réécrire 2?(x-1)2-4?=02?(x-1)2-22?=0
2(x-1-2)(x-1+2)=0
2(x-3)(x+1)=0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l"un des facteurs est nul donc : soitx-3=0 soitx+1=0 et les solutions sont doncx=3 etx=-1.2) Résolution de l"équationax2+bx+c=0, avecanon nul
Définition 2 :On appelleracine(ouzéro) du trinômeax2+bx+ctoute solutiondeax2+bx+c=0.Page 1/5
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Proposition 1 :αest une racine deax2+bx+csi et seulement si on peut factoriserax2+bx+cpar (x-α) c"est-à-dire si et seulement siax2+bx+c=(x-α)(...). Définition 3 :SoitP(x)=ax2+bx+c, on appellediscriminantdeP, le nombreΔ=b2-4ac.
Théorème 1 :SoitSl"ensemble des solutionsdeax2+bx+c=0. SiΔ<0 :S=?, c"est-à-dire que l"équation n"a pas de solution surR.SiΔ=0 :S=?
-b 2a?SiΔ>0 :S=?
-b-?2a;-b+?
2a? Exemple :Résoudre les équations suivantes :x2-3x+2=0,2x2+4x+2=0,
-3x2+2x-2=0.
Proposition 2 :Si un trinôme a deux racinesx1etx2on peut le factoriser ena(x-x1)(x-x2).3) Signedu trinôme
Dans chacun des trois cas pourΔon peut déterminer le signe du trinôme en fonction dex. Théorème 2 :De la forme canonique du trinôme, on déduit :SiΔ<0 :ax2+bx+cest toujoursdu signe dea.
SiΔ=0 :ax2+bx+cest toujoursdu signedeasauf pourx=-b2a(il est alorsnul).
SiΔ>0 :ax2+bx+cest :
du signe deaà l"extérieur des racines.
du signe de-aà l"intérieur des racines.
Ce qui donne sous forme de tableau
x-∞x1x2+∞ ax2+bx+csigne dea0signe de-a0signe deaPage 2/5
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Remarque :Dans la pratique on peut retrouverces résultats en factorisant le trinôme. Par exemplepourlesignedex2-3x+2 :onconnaîtsesracinesquisont1 et 2 doncgrâceà la proposition2 on sait qu"on peut factoriser ce trinômeenx2-3x+2=(x-1)(x-2) puis un tableau de signes nous donne : x-∞1 2+∞ (x-1) -0++ (x-2) --0+ x2-3x+2
+0-0+4) Interprétation géométrique
On considère la fonctionf:?R-→R
x?-→ax2+bx+c. On appelleCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé. On peut retrouver les résultatsdes théorèmes précédents surCf: Oy xx1x2C f a>0Δ>0Oy xx0C f a>0Δ=0Oy x a>0Δ<0C f Oy x x1x2 C fa<0Δ>0 Oy x x0 C fa<0Δ=0 Oy x a<0Δ<0 C fPage 3/5
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II. Polynômes
1) Définition
Définition 4 :Unpolynômeest une fonction de la formeP:x?-→anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0.
oùa0,a1, ...,ansont des nombres réels et oùnest un entier naturel.Exemple :f(x)=x2-2x+1,g(x)=-2+5x-3x5,h(x)=21...
Vocabulaire:Les nombres réelsa0,a1, ...,ans"appellent lescoefficientsdu polynômeP. On lita??indice??0,a??indice??1, ...,a??indice??n. Le nombreapxps"appelle leterme de degré pdu polynômeP.Le nombrea0x0=a0s"appelle le
terme constantdu polynômeP.2) Egalitéde polynômes
Définition 5 :LedegrédePest la plus grande puissance dexdansP. Théorème 3 :On a l"équivalence suivante entre deux polynômesPetQ:P=Q???degP=degQ
les coefficients dePetQsont identiques. A quoiça sert?: Ce théorème est fondamental pour factoriser un polynôme. Proposition 3 :Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.Plus précisément, pour toutxréel on a :
P(x)=anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0=0??a0=0,a1=0, ...,an=0.3) Factorisation
Définition 6 :SoitPun polynôme de degrén?1.On appelle
racine(ouzéro) dePtout nombreatel queP(a)=0.Page 4/5
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Théorème 4 :aest racine deP??P(x)=(x-a)(......). on dit quePest factorisablepar (x-a). Remarque :Pour le degré 2 on retrouve la proposition 1. On peut en déduire une technique pourcomplètementfactoriser un polynôme :La méthode par
identification des coefficients Remarque :c"est la méthode utilisée par la proposition2. Exemple :Pour factoriser le polynômeP(x)=x3+x2-4x-4 il faut connaître au moins une racine. Pour cela on calcule quelques valeurs, par exempleP(0),P(1) etP(-1). Une fois qu"on a une racine, ici-1, on peut écrireP(x)=(x+1)(......) et (......) est forcément un polynôme de degré 2. On peut l"écrireax2+bx+c.En développant (x+1)(ax2+bx+c) ondoit
retrouver les coefficients deP. On ax3+x2-4x-4=(x+1)(ax2+bx+c)=ax3+(a+b)x2+(b+c)x+cet ainsi???????1=a 1=a+b -4=b+c b=0 -4=0+c c=-4et donca=1,b=0 etc=-4 puis x3+x2-4x-4=(x+1)(x2-4).
On refait la même chose pourx2-4 en utilisant la proposition 2 :Δ=0+4×4=16 et les racines dex2-4 sont donc0-42=-2 et0+42=2, puisx2-4=(x-2)(x+2).
(on aurait pu le voir tout de suite avec l"identité remarquablea2-b2.)On a ainsi la factorisationcomplète deP(x) :
x3+x2-4x-4=(x+1)(x+2)(x-2).
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