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SECOND DEGRÉ (Partie 2)

I. Lecture graphique du signe d'une fonction On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : ... Signe d'un polynôme du second degré.

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : 2

Le discriminant est strictement positif donc le trinôme admet deux racines réelles qui sont en fait les solutions de l'équa- tion : Calcul des solutions : x1 =

SECOND DEGRE (Partie 2)

Une solution de cette équation s'appelle une racine du trinôme ax2 + bx + c . Exemple : pouvoir étudier le signe du trinôme.

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3. Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg. Étudier le signe de

Première S - Signe du trinôme

Signe du trinôme. Soit le trinôme = ² avec a 0

Étude du signe dun polynôme du second degré. Aspect graphique

représentation graphique des fonctions polynômes du second degré ». d'introduire le théorème concernant le signe du polynôme du second degré ;.

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2. Exemple : Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degré.

Trinômes du second degré

Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a. Si a > 0. Si a < 0. Démonstration. Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique

Sur les zéros réels des polynômes

Si v.k est le coefficient de plus faible indice susceptible de ne pas s'annuler le polynôme f(x) a au moins k racines réelles (chan- gements de signe). Pour le

Les Polynômes

Proposition 2 : Si un trinôme a deux racines x1 et x2 on peut le factoriser en a(x ?x1)(x ?x2). 3) Signe du trinôme. Dans chacun des trois cas pour ? on

BULLETIN DE LAS. M. F.J.FAVARD

Surleszérosréelsdespolynômes

Bulletin de la S. M. F., tome 59 (1931), p. 229-255 © Bulletin de la S. M. F., 1931, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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ZÉROS

RÉELS

DES

POLYNOMES

PA R M. J

FAVARD

Le présen t travai l apport e un e contributio n

Fétud

e des zéros réels des polynômes et au théorème de la moyenne L e problème qu e j e me sui s proposé est intimemen t lié a ucélèbre théorème de Grace-Heawood ({) et les résultats que j^i obtenu s le complètent dan s un e direction. Soit f (J?) u n polynôme de degré n f( X OQ dt X h 0. 2 X 1 h On .-F »dont les coefficients satisfont à la relation (i roao-t-Ciai-fr-Cias-t-...-4-Cna»= o où les Ci son t de s constantes donnée s réelles ou complexes; l erésultat obtenu par Grâce peut s'énoncer de la façon suivante : Tous les polynômes y (.r) dont les coefficients satisfont la rela- tion (i ont un zéro au moin s dans tout domaine circulaire conte- nant tous les zéros du polynôm e CO-P" - Ci.r»- 1 C i •r' 1 1 o .Par domaine circulaire on entend toute portion de plan fermée limité e par u n cercle ou un e droite, c^est-à-dire soit

Fintérieu

r ou F extérieu r d^u n cercle, soit u n demi-plan.D^aîlleurs il existe des polynômes qui satisfont à la relation (i) et don t aucu n zéro n'est

Fintérieu

r d'u n domain e circulair e n e contenan t pa s tou s le s zéros d u polynôme précédent. l J H

GRACE,

Thé

seras of a polynomial {Proceedings ofthe Cambridgephilosophical Society, t. 11, 1900-1903, p. 35a-357). - P. J. H"jfrW(W, Geome- trical relations between thé roots of o /*'(-r^=s<» {Quarterly

Journal

of mathematics, t. 38
1907,
p

84-107)

Voir aa» c l a remarqu a bl exposition deG. SZEOO, Bemerkungen zu einem Sais von J. ff. Grâce ùber die Wurzein algebraischer

Gleichungen

Mathematische

Zeitschrift,

t 13,

IQ^'Î,

p a8-55). - 230 - Mais si le polynôm e f(x) es t coefficient s réels et si le s con- stante s G} sont réelles, le théorèm e d e

Grâce

ne nou s appren d rie n su r les zéro s réels possibles d u polynôm e f (^)étan t réels, s i f{x}dx= o.nou s savons ,^a pa r le théorèm e de Rolle que/(.a? a un e racin e réell e compris e entr e x e t 3 tandi s qu e l e théorèm e d e

Grâce

ne peu t nou s fourni r qu'u n résulta t moin s précis On avai t déj tent de fair e le raccord d e ces deu x résultat s mai s j e croi s qu e les première s recherches générales su r ce suje t son t due s M P. Monte l qu i appliqu e s a méthod e des suite s nor male s de fonction s analytiques Plus récemmen t encor e M. L. Tcha kaloir pou r traite r le problème précédent a donn un e méthod e qu i n'utilis e pas les variable s complexe s et fourni t tout e la précisio n désirable Quan t a u théorèm e de

Grâce

on est amen s e poserquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Surleszérosréelsdespolynômes

ZÉROS

RÉELS

POLYNOMES

FAVARD

Fétud

Fintérieu

Fintérieu

GRACE,

Thé

Journal

84-107)

Gleichungen

Mathematische

Zeitschrift,

IQ^'Î,

Grâce

Grâce

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