Identités remarquables équation produit nul
o Exercice : vu au brevet. On considère l'expression E = 16 ² – 25 + ( + 2)(4 + 5). Factoriser 16 ² – 25 puis en déduire la factorisation de E. III.
Chapitre 10 – Identités remarquables et les équations sous la forme
équations sous la forme d'un produit nul. I – Les identités remarquables pour développer plus vite. Développer et réduire les expressions suivantes :.
Équation produit nul Cycle 4 - Exercices Corrigés en vidéo avec le
Équation produit nul. Cycle 4 - Exercices Résoudre une équation produit nul ... Résoudre une équation `a l'aide des identités remarquables.
3e Equations produit-nul Equations du type x2 = a
Une équation produit-nul est une équation qui peut s'écrire sous la On vérifie que l'expression est bien une identité remarquable et on factorise :.
Chapitre 9 – Calcul littéral – Identités Remarquables
Soit deux expressions A(x) et B(x) de la variable x. Toute équation de la forme A(x) × B(x) = 0 est appelée équation « produit nul ». b)
Chapitre 9 – Calcul littéral – Identités Remarquables – Équations
a) Propriété. Pour qu'un produit soit nul il faut et il suffit qu'un de ses facteurs soit nul. Autrement dit. Soit a et b deux nombres. * Si a = 0 ou b = 0
Exercices de 3ème – Chapitre 2 – Calcul littéral Énoncés Exercice 1
D'où. (x + y)² = 64. (x + y)² ? 64 = 0. On reconnaît une autre identité remarquable. (x + y ? 8)( x + y + 8) = 0. On reconnaît une équation-produit. On a
FICHES METHODES
Développer un produit. 3. Utiliser les identités remarquables. 4. Résoudre une équation du 1er degré. 5. Résoudre une équation produit nulle.
EXERCICE NO 28 : Résoudre une équation carré EXERCICE NO
Résoudre chacune des équations suivantes : Le principe consiste à se ramener à une équation produit en utilisant l'identité remarquable a2.
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Factorisation avec identités remarquables et équation produit nul. Nous allons revoir rapidement les résultats obtenus en factorisant les identités
1- Propriétés
a) Distributivité simple Pour tout nombre a, b, k : k ( a + b ) = k a + k b b) Distributivité double Pour tout nombre a, b, c, d : ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b c + b d c) Identités Remarquables * Carré d'une somme Pour tout nombre a, b : ( a + b )² = a² + 2 a b + b²Autrement dit : le carré de la somme de deux nombres égale la somme de leurs carrés augmentée du double
produit de ces deux nombres.Démonstration
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) = a² + a b + b a + b² = a² + 2 a b + b² CQFD !
* Carré d'une différence Pour tout nombre a, b : ( a - b )² = a² - 2 a b + b²Autrement dit : le carré de la différence de deux nombres égale la somme de leurs carrés diminuée du double
produit de ces deux nombres.Démonstration
( a - b )² = ( a - b ) ( a - b ) = a² - a b - b a + b² = a² - 2 a b + b² CQFD !
* Produit des expressions " conjuguées » Pour tout nombre a, b : ( a + b ) ( a - b ) = a² - b²Autrement dit : le produit de la somme de deux nombres et de leur différence égale la différence de leurs
carrés.Démonstration
( a + b ) ( a - b ) = a² - a b + b a - b² = a² - b² CQFD !2- Factorisation d'une expression
Factoriser une expression, c'est l'écrire sous la forme d'un produit. a) On connaît un facteur commun Dans ce cas, on utilise la propriété : k a + k b = k ( a + b ).Exemples
* A(x) = 4x - 8 * B(x) = 3x - 3 A(x) = 4 x - 4 ´ 2 B(x) = 3 x - 3 ´ 1A ( x ) = 4 ( x - 2 ) B ( x ) = 3 ( x - 1 )
* C(x) = ( 5x - 4 )² - ( 3x + 2 )( 5x - 4 ) C(x) = ( 5x - 4 )( 5x - 4 ) - ( 3x + 2 )( 5x - 4 )C(x) = ( 5x - 4 ) ( ( 5x - 4 ) - ( 3x + 2 ) )
C(x) = ( 5x - 4 ) ( 5x - 4 - 3x - 2 )
C ( x ) = ( 5 x - 4 ) ( 2 x - 6 )
b) On reconnaît une identité remarquable On utilise alors une des propriétés : a² + 2 a b + b² = ( a + b )² a² - 2 a b + b² = ( a - b )² a² - b² = ( a + b ) ( a - b )Exemples
* A(x) = 25x² + 40x + 16 * B(x) = 9x² - 4A(x) = (5x)² + 2 (5x) (4) + (4)² B(x) = (3x)² - 2²
A ( x ) = ( 5 x + 4 )² B ( x ) = ( 3 x + 2 )( 3 x - 2 )
* C(x) = ( 3x + 6 )² - 81C(x) = ( 3x + 6 )² - 9²
C(x) = ( 3x + 6 + 9 )( 3x + 6 - 9 )
C ( x ) = ( 3 x + 15 )( 3 x - 3 )
3- Équations " produit nul »
L'objectif de ce paragraphe est de résoudre certaines équations à une inconnue du second degré.
a) Vocabulaire Soit deux expressions A(x) et B(x) de la variable x. Toute équation de la forme A(x) ´ B(x) = 0 est appelée équation " produit nul ». b) Propriété Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit qu'un de ses facteurs soit nul.Autrement dit
Soit a et b deux nombres.
* Si a = 0 ou b = 0, alors a ´ b = 0 . * Réciproquement, si a ´ b = 0 alors a = 0 ou b = 0 .Démonstration
* La première partie de la propriété est évidente. * Si a ´ b = 0 , on envisage deux cas. Premier cas : supposons que a est nul. La propriété est alors démontrée.Second cas : supposons que a est non nul. On peut alors multiplier chacun des membres de l'égalité par
l'inverse de a : a×b a=0 a. En simplifiant, on obtient : b = 0. CQFD ! c) Principe et méthode générale On considère une équation du second degré. * Si ce n'est pas le cas, on transpose pour que le second membre de cette équation soit nul.* On factorise alors, si possible, le premier membre : on obtient ainsi une équation " produit nul ».
* On utilise la précédente propriété : on doit alors résoudre deux équations du premier degré.
d) ApplicationRésoudre l'équation : ( 3x - 5 )( 2x + 4 ) = 0 . On reconnaît ici une équation " produit nul ».
Or, si un produit est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul (et réciproquement). Donc : 3x - 5 = 0 ou 2x + 4 = 0Soit : x=5
3 ou x=-2
Par conséquent, l'équation admet deux solutions : -2 et 5 3.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] leçon mètre centimètre ce1
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