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II.6 Etude du mouvement elliptique

Jusqu"`a maintenant la r´esolution des ´equations du probl`eme des deux corps nous a permis de d´eterminer la nature des trajectoires, selon lavaleur deh, sans tenir compte du mouvement deMsur cette trajectoire. Dans ce nouveau chapitre, on consid`ere le mouvement elliptique (h <0) et on s"attache `a d´eterminer le mouvement du pointMautour deA, ce dernier occupant un des deux foyers de l"ellipse. Relations entre anomalie vraie et anomalie excentrique On se r´ef`ere `a la figure 1. On appelleOle centre de l"ellipse,Ple p´eriastre, Γ lecercle principal de l"ellipse, autrement dit le cercle de centreOet de rayon le demi-grand axea. La droite (A,x) port´ee par les points O et P est appel´ee la ligne des apsides(autrement dit la droite joignant le p´eriastre `a l"apoastre). On dispose en outre de la relation :c=OA=ae. D´efinissons maintenant le pointM? du cercle principal tel que la projection deM?sur (A,x) soit la mˆeme que celle de M, et tel queMetM?soient situ´es du mˆeme cˆot´e par rapport `a (A,x). L"angle ud´efini paru= (OP,OM?) est appel´eanomalie excentrique. AppelonsHla projection commune deMet deM?sur l"axe (A,x). On sait que la distanceHM? est proportionnelle `aHM, le rapport de proportionnalit´e ´etant⎷ 1-e2:

HM=HM?⎷

1-e2(II.62)

Les projections deAMsur (A,x) et (A,y), respectivementAHetAI, peuvent alors s"´ecrire `a l"aide de deux jeux de param`etres, `a savoir (r,v) d"une part, et (a,e,E) d"autre part : x=AH=rcosv=OH-OA=acosu-ae=a(cosu-e) (II.63) y=AI=rsinv=HM=a⎷

1-e2sinu(II.64)

En prenant le carr´e des expressions ci-dessus, on trouve ais´ement : r=a(1-ecosu) (II.65)

2Et en substituant cette expression dans (II.63) on trouve une relation liant cosvet

cosu: cosv=cosu-e

1-ecosu(II.66)

Puis en utilisant la relation des angles moiti´es : tan 2v

2=1-cosv1 + cosv(II.67)

On trouve, apr`es substitution de cosvdonn´ee par (II.66) : tan 2(v

2) =?1 +e1-e??

1-cosu1 + cosu?

=?1 +e1-e? tan

2(u2) (II.68)

Or,vetusont toujours situ´es dans le mˆeme demi-plan, donc leurs moiti´es sont toujours situ´ees dans lemˆeme quadrant, et leur signe est le mˆeme. Donc on peut transformer l"´equation ci-dessus en : tan( v 2) =? 1 +e

1-etan(u2) (II.69)

En plus de l"anomalie vraie et de l"anomalie excentrique, introduisons une troisi`eme anomalie appel´eeanomalie moyenneM, d´efinie de la mani`ere suivante `a l"aide du moyen mouvement :n= 2π/T: M = 2π

T(t-t0) =n(t-t0) (II.70)

Ici on fait coincider le temps initialt0avec l"instant du passage au p´eriastreP. Le moyen mouvement repr´esente la vitesse angulaire moyenne deM, tandis que l"anomalie moyenne serait l"angle parcouru pendant l"intervalle de tempst-t0en supposant que le mouvement soit circulaire uniforme, de p´eriodeT. De plus, on sait que par d´efinition :p=a(1-e2) et, en transformant l"´equation (II.49),

2h=K(e2-1)

p(II.71) 3 La substitution depdans cette derni`ere ´equation donne donc : h=-K

2a(II.69)

En utilisant la d´efinition den, (II.58) et (II.60) deviennent :

C=2π

Ta2⎷1-e2=na2⎷1-e2(II.73)

Et : n

2a3=K(II.74)

De plus,(II.54) nous donne :

V

2= 2h+2K

r=K?2r-1a? (II.75)

Lois du mouvement : l"´equation de K´epler.

Connaˆıtre le mouvement deMrevient `a connaˆıtre `a tout instant la valeur deu (ou dev) en fonction du tempst, ou l"inverse. Utilisons la d´efinition deCconstante des aires. L"aire balay´ee par le rayon vecteurAMentre les instantst0(passage au p´eriastre) ett, autrement dit l"aire de la surface limit´ee par l"arc d"ellipsePM, les segments rectilignesAMetAP, est ´egale `a : A PMA=1 2? t t

0Cdt=12na2⎷1-e2(t-t0) =12Ma2⎷1-e2(II.76)

Or l"aire de la surface limit´ee par l"arc de cerclePM?, les segments rectilignesAM? etAPse d´eduit de la pr´ec´edente d"un facteur 1/⎷ 1-e2. A

PM?A=1

2a2M(II.77)

De plus, on peut d´ecomposer cette derni`ere comme l"aire dela surface (OPM?) limit´ee par le segment circulairePM?, et les segmentsOPetOM?, ˆot´ee de l"aire du

4triangle (OM?A). Ce dernier a une hauteur deHM?=asinu, et une baseOA=ae.

Donc :

A

PM?A=AOPM?- AOM?A=1

2a2u-12a2esinu(II.78)

En identifiant (II.77) avec (II.78), on trouve alors : 1

2a2M =12a2u-12a2esinu(II.79)

Soit :

u-esinu= M =n(t-t0) (II.80) Cette ´equation liant le temps `a l"anomalie excentrique est appel´ee l"´equation de

K´epler.

Il est possible de retrouver cette ´equation de mani`ere purement calculatoire, sans avoir recours `a un quelconque raisonnement de g´eom´etrie. On commence par d´eriver les deux membres de l"´equation (II.69), ce qui permet d"exprimer dven fonction de du: dv=? 1 +e

1-e1 + cosv1 + cosudu(II.81)

L"´equation (II.73) donne alors :

C=r2dv

dt=r2?? 1 +e 1-e??

1 + cosv1 + cosu??

dudt? =na2⎷1-e2(II.82) Puis on peut exprimerr2etr2cosven fonction deugrˆace aux ´equations (II.63) et (II.65). On obtient alors : a

2?(1-ecosu)(1-ecosu+ cosu-e)

1 + cosu?

1 +e 1-e? dudt? =na2⎷1-e2(II.83)

Soit, apr`es simplification :

(1-ecosu)du dt=n(II.84) 5 (C.Q.F.D.). Ainsi, pour un instant donn´et, on peut connaˆıtre la position deM. En effet l"´equation de K´epler (II.80) une fois r´esolue on en d´eduit l"anomalie excentriqueu, et on peut tout de suite en d´eduirexetypar les ´equations (II.63) et (II.64).quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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