Mouvement elliptique dun satellite
Mouvement elliptique d'un satellite. Notations : Les vecteurs sont notés en gras ? = d?/dt ?' = d?/dt r' = dr/dt r'' = d²r/dt² i' = di/dt = ? j.
Cours de mécanique 2 - M22-Forces centrales
3.3 Mouvements possibles . 4.3 Trajectoire elliptique et lois de Kepler . ... 3 Mouvement général d'un point M soumis à une force centrale conservative.
II.6 Etude du mouvement elliptique
compte du mouvement de M sur cette trajectoire. Dans ce nouveau chapitre on consid`ere le mouvement elliptique (h < 0) et on s'attache `a déterminer le
Comparaison entre le mouvement de Képler et le mouvement
matiques et dynamiques du mouvement elliptique de Képler et du Figure 1 : Orbite elliptique des mouvements képlérien (? = angle AFM) et harmonique.
Mémoire sur le mouvement vibratoire dune membrane de forme
Mémoire sur le mouvement vibratoire d'une membrane de forme elliptique. Journal de mathématiques pures et appliquées 2e série tome 13 (1868)
Chapitre 12 : Mouvement des planètes et des satellites
Enoncer les lois de Kepler et les appliquer à une trajectoire circulaire ou elliptique. (2). Définir un mouvement circulaire uniforme et donner les
M05 Mouvements dans un champ de force centrale conservatif
cas les constantes du mouvement (moment cinétique et énergie mécanique) pour exprimer l'énergie de la trajectoire elliptique en fonction du demi-grand.
Chapitre 8 :M ouvement dans un champ newtonien
Le mouvement circulaire est un cas particulier du mouvement elliptique. On a alors. 0. > k . v ? ?.
M7.1. Mouvement elliptique dun satellite artificiel. Enoncé. Un
M7.1. Mouvement elliptique d'un satellite artificiel. Enoncé. Un satellite artificiel de la Terre a une trajectoire elliptique son apogée est à l'altitude
Exercices de Mécanique
2) Le vecteur accélération d'un point M en mouvement rectiligne accéléré est : Ex-M1.7 Mouvement elliptique (§ Cf Cours M7).
[PDF] Mouvement elliptique dun satellite
Mouvement elliptique d'un satellite Notations : Les vecteurs sont notés en gras ? = d?/dt ?' = d?/dt r' = dr/dt r'' = d²r/dt² i' = di/dt = ? j
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Dans ce nouveau chapitre on consid`ere le mouvement elliptique (h < 0) et on s'attache `a déterminer le mouvement du point M autour de A ce dernier occupant
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Un satellite artificiel de la Terre a une trajectoire elliptique son apogée est à l'altitude hA = 350 km et son périgée à l'altitude hP = 200 km On note RT le
Formules pour mouvement elliptique - De Gruyter
Au premier exercice nous établissons un ensemble de formules permet- tant de caractériser un mouvement elliptique en fonction des rayons au péricentre et à l'
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À titre d'exemple revenons aux mouvements des centres des planètes décrits dans le référentiel héliocentrique L'excentricité de l'orbite terrestre est e = 0
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4 3 Trajectoire elliptique et lois de Kepler 3 Mouvement général d'un point M soumis à une force centrale conservative
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Chapitre 4 – Mouvements elliptiques et circulaires Exercices 1/5 Exercice 1 : Connaître la loi des orbites Pour représenter sur un schéma l'orbite de
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Le rayon vecteur du mouvement est donné par l'équation (1) mouvement elliptique s'écrit pour le rayon vecteur et la vitesse: r =a(1 ? e2) 1 + e cos?
[PDF] Comparaison entre le mouvement de Képler et le mouvement
Figure 1 : Orbite elliptique des mouvements képlérien (? = angle AFM) et harmonique (? = angle AOM) Dans le mouvement képlérien l'un des foyers F par
C'est quoi un mouvement elliptique ?
? elliptique
Se dit d'un mouvement à accélération centrale , de centre O, dont la norme est proportionnelle à la distance à O, dans le cas où et ne sont pas colinéaires. (M0 est la position initiale du point mobile et V0 est sa vitesse initiale.)Pourquoi la rotation de la Terre est elliptique ?
Cela veut dire qu'il y a un mécanisme de régulation tendant à "circulariser" les orbites elliptiques. En fait, les planètes n'ont pas été lancées au hasard mais se sont formées à partir d'un disque dont on peut montrer qu'il tend naturellement par frottements internes à adopter un mouvement quasi-circulaire.Comment trouver l'équation d'une ellipse ?
Si (X, Y ) est sur le cercle unité on a X2 +Y 2 = 1, et u(?) est donné par l'équation (?x+?y)2 +(?x+?y)2 = 1. Comme le premier membre est une forme quadratique définie positive, il s'agit bien d'une ellipse.- Le demi grand axe de l'orbite est a = (R + r) / 2 = (150 + 58) / 2 = 104 106 km. L'excentricité est e = (R - r) / (R + r) = (150 - 58) / (150 + 58) = 92 / 208 = 0,442.
M05Mouvements dans un champ de force centrale
conservatif PCSI22013 - 2014
Introduction :Le bloc 5 est motivé par ses nombreuses applications. On se limite à discuter lanature de la trajectoire sur un graphe donnant l"énergie potentielle effective et on ne poursuit l"étude
dans le cas d"un champ newtonien (lois de Kepler) que dans le cas d"une trajectoire circulaire. Le ca-
ractère elliptique des trajectoires associées à un état liéest affirmé sans qu"aucune étude géométrique
des ellipses ne soit prévue; on utilise dans ce cas les constantes du mouvement (moment cinétique
et énergie mécanique) pour exprimer l"énergie de la trajectoire elliptique en fonction du demi-grand
axe. Enfin l"approche de l"expérience de Rutherford est exclusivement documentaire : tout calcul de
la déviation est exclu, il s"agit en revanche d"utiliser le graphe de l"énergie potentielle effective pour
relier la distance minimale d"approche à l"énergie mise en jeu.Notions et contenu :
• Point matériel soumis à un seul champ de force centrale. • Énergie potentielle effective. État lié et état de diffusion. • Champ newtonien. Lois de Kepler. • Cas particulier du mouvement circulaire : satellite, planète. • Satellite géostationnaire.• Énergie mécanique dans le cas du mouvement circulaire puisdans le cas du mouvement ellip-
tique. • Vitesses cosmiques : vitesse en orbite basse et vitesse de libération. I Force centrales conservatives, généralitésSoit un système ramené à un point matérielMsoumis à une force?F. On étudie son mouvement
dans un référentielRggaliléen.1. Définition et exemples
a. Définitions • La force appliquée àMest centrale si il existe un pointOfixe deRgtel que?Fest toujours colinéaire à--→OMlors du mouvement deM. • La force ?Fest conservative si elle dérive d"une énergie potentielle notéeEp(r), fonction de r=OM. 1M05Force centrale conservative
y z x? O ?F=F(r)?e r M ?eθ ?er ?e? rFigure1 - Force centrale
On peut alors l"écrire sous la forme :
F=F(r).?eravec?er=--→OM
retF(r) =-dEp(r)dr ?erest le vecteur radial du système de coordonnées sphériques etF(r)la composante radiale de?F
Remarque :la force est
• attractive siFr<0??dEp dr>0, c"est à direEp(r)croissante. • répulsive siFr>0??dEp dr<0, c"est à direEp(r)décroissante. b. Oscillateur harmonique plan Un point matériel soumis uniquement à la force de rappel d"unressort?F=-k(r-l0).?erest soumisà une force centrale qui dérive deEp,ela=1
2k(r-l0)2.
OMr < l
0 ?er ?FMr > l0?er
?F l00E p(r) r+l0Figure2 - Oscillateur harmonique plan
Remarques :
• Cette force est tantôt attractive (r > l0), tantôt répulsive (r < l0). •r=OMest forcément positive.2. Lois générales de conservation
Le mouvement deMsoumis à?Fcentrale et conservative est à priori à 3 degrés de liberté(x,y,z)ou
(r,θ,?). On va montrer qu"on peut se ramener à deux degrés de liberté puis effectuer des discutions
graphiques comme pour un mouvement à un seul degré de liberté. PCSI22013 - 2014Page 2/18
M05Force centrale conservative
a. Conservation du moment cinétique et conséquences Démonstration :Oest fixe dansRggaliléen, on peut donc appliquer le théorème du moment cinétique àM R g C ?O M ?F?v ?LO ?r0 ?v 0 Figure3 - Moment cinétique d"un point soumis à une force centrale d?LO dt? R g=?MO(?F) =--→OM??F=?0??LOreste constant lors du mouvementEn posant
?C=?r0??v0, la constante des aires où?r0et?v0sont respectivement la position et la vitesse initiale deM, on peut écrire la conservation de?LOsous la formeLO=m.?Cconstant au cours du mouvement
Planéité :comme?LO=m.?Cgarde une direction fixe, celle de?r0??v0, le plan (--→OM,?v) reste
orthogonal à cette direction fixe et le mouvement est plan.Respect de la loi des aires :le mouvement étant plan, on peut utiliser le système de coordonnées
polaires ?v= r?er+rθ?eθet?r=r?er??r??v=r2θ?ez C=?L0 R g C ?O Mr ?F ?v ?LO ?v.dt dA C? O M r ?F ?v ??LO ?v.dt dAFigure4 - AiredAbalayée pendantdt
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M05Force centrale conservative
SoitdAla surface balayée par le rayon vecteur--→OMpendant le tempsdt.C"est la moitié de l"aire du parallélogramme construit à partir des vecteurs--→OMetd--→OM=?vdt
dA=12||--→OM??vdt|| ?Vitesse aréolairedAdt=|?LO|2m=C2=r2θ2constante
Loi des aires : l"aire balayée par le rayon vecteur est proportionnelle au temps mis pour la balayer :
A=C2test l"aire balayée depuist= 0.
A1 A2 Figure5 - Loi des aires : les airesA1etA2sont identiques si balayées pendant la même duréeConclusion :on retiendra que la conservation du moment cinétique?L0=mr2θ.?ezimplique la planéité
du mouvement et la loi des aires, r2θ= 2dA
dt=C Remarque :dans le cas particulier oùsin(?r0,?v0) = 0, le mouvement est rectiligne et non plan. b. Conservation de l"énergie mécanique, énergie potentielle effective F, la seule force appliquée àMdansRggaliléen est une force conservative, par application duthéorème de l"énergie mécanique,ΔEm=Wnc= 0?Emest égale à une constanteE0qui ne dépend
que des CI. : E m=Ec+Ep(r) =E0=Cte(CI) En exprimantEcen coordonnées polaires dans le plan du mouvement, E c=12mv2=12m(r2+ (rθ)2)?Em=12mr2+12mr2θ2+Ep(r) =E0
Or,r2θ=C??θ=C
r2et on peut se ramener ainsi à l"étude d"un système à une seule variable :r. E m=12mr2+mC22r2+Ep(r) =E0intégrale première du mouvement.
Définition :on définit alors l"énergie potentielle effective,Epeff(r)telle que E m=12mr2+Epeff(r)en posantEpeff(r) =mC22r2+Ep(r)
La connaissance deEpeff(r)permet de préciser graphiquement le domaine du mouvement radial et si Mest dans un état lié au un état de diffusion deMpuisque E peff(r) =Em-1 PCSI22013 - 2014Page 4/18
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Exemple :Potentiel de Yukawa. Dans la théorie de Yukawa sur les forcesnucléaires, l"interaction est
caractérisée par une force attractive centrale qui dérive de l"énergie potentielleEp(r) =-K
re-raoùKest une constante positive. On en déduit
E peff= mC22r2-Kre-r
a 0E peff r E m1état de diffusion, noyau instable
E m2état lié
E m3 Figure6 - Energie potentielle effective d"un proton dans la théoriede YukawaEn fonction de l"énergie mécanique, on rencontre différentes situations, certaines zones sont non
permises. La particule est forcément dans une zone non grisée. ?O? ME m=Em1Etat de diffusion?O?
ME m=Em2Etat lié?O?
ME m=Em3 ?r=CteEtat lié, mvt circulaireFigure7 - Différents états possibles
II Cas des champs newtoniens
1. Loi de force
a. DéfinitionLes interactions newtoniennes (de gravitation ou électrostatique) sont caractérisées par une force?F
centrale de centre de forceOde la forme :PCSI22013 - 2014Page 5/18
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?F=-k--→OM ||--→OM||3=-kr2?er Remarque :certains ouvrages définissent plutôt?F= +k r2.?er, il faut donc adapter les notations. b. Exemple de l"interaction gravitationnelle : force de gravitation Si on place enOune massemOfixe (point source), elle crée autour d"elle un champ de gravitation ?GO(r,θ,?). En un pointM(point champ) distant der=OM, le champ créé parOseraGO(M) =-GmO.--→OM
||--→OM||3=-GmOr2.?er Ce champ est permanent mais pas uniforme : il dépend de la position deM. Un point matériel de massemMplacé enMsubira alors la forceFO/M=mM?GO(M) =-GmOmM
r2.?er=-kr2.?eraveck=GmOmM>0Remarques :
•G= 6,67.10-11SI est la constante de gravitation. •k >0ce qui impose?Ftoujours attractive.• Un corps sphérique de rayonRet de centre de masseOcrée enr≥Rle même champ que si
toute sa masse était concentrée enO.Exemple :cas du système Terre - Lune.
TM T LM L dTL ?FT/L ?MT T ?ML L dTL ?FT/L Figure8 - Interaction Terre - Lune, pas à l"échelleFT/L=mL?GT(L) =-GmTmL
d2TL.?e r c. Exemple de l"interaction électrostatique : force coulombienne L"interaction électrostatique entre deux particules de chargesqOplacée enO(point source) etqM placée enM(point champ) estFO/M=qOqM
Par analogie avec le champ de gravitation
?G, on définit le champ électrostatique (non uniforme) créé parOenM. ?EO(M) =qO4πε0r2.?er
L"interaction est
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• attractive sik >0??qOqM<0 • répulsive sik <0??qOqM>02. Énergie potentielle
Pour vérifier si
?Fest conservative, on calcule son travail élémentaire et on vérifie si c"est une forme intégrable. Si c"est le cas,δW(?F) =-dEp. Comme ?Fest centrale, le mouvement du mobile est forcément plan est on utilise l"expression ded?r dans la base polaire(?er,?eθ).δW(?F) =?F.d?r=-k
r2?er.(dr?er+rdθ?eθ) =-kr2dr=-dEpavecEp=-kr On prendEp(r→ ∞) = 0puisque il n"y a plus d"interaction siMtrop loin deO.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] récit de voyage cm2
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