CALCUL INTEGRAL 1. Aire sous une courbe
Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs. 1. CALCUL INTEGRAL. 1. Aire sous une courbe. 1.1. Unité d'aire dans un repère orthogonal.
La notion dintégrale permet de calculer laire sous la courbe dune
valeurs moyennes et des études sur la répartition des richesses. I. INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE SUR UN INTERVALLE. a) Aire sous la courbe.
CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)
utilisé au XIVe siècle pour désigner le calcul intégral. A cette époque
MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
14 oct. 2015 et intégral I. Intégration. L'aire sous la courbe. L'intégrale de. Riemann. Propriétés de l'intégrale de. Riemann.
Calcul intégral
2.2 Calcul d'intégrale d'une fonction continue et positive . Remarque : On a donc montré que la fonction ? aire sous la courbe de la fonction f
8. Intégrales
diminue et l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. (si la limite existe) est appelée intégrale définie de la fonction f (x) de a ...
Calcul dintégrale : méthode des trapèzes Algorithme
13 sept. 2020 1.1 La méthode. Nous avons vu l'approche d'une aire sous une courbe à l'aide de la méthode des rectangles. On peut améliorer la vitesse de ...
Chapitre 1
xF est la fonction qui donne la valeur de l'aire sous la courbe de la fonction ( ) définition intégrale de la position et de la vitesse :.
INTEGRATION (Partie 1)
utilisé au XIVe siècle pour désigner le calcul intégral. A cette époque
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La notion d'intégrale permet de calculer l'aire sous la courbe d'une fonction On utilise les méthodes liées à ce thème en physique pour concevoir des
[PDF] Calcul intégral 1 Intégrale et aire
1 1 Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b] Sn est alors l'aire sous la courbe de sn : c'est la somme des aires des
[PDF] fonctions continues 1 Intégrale et calcul daire
Définition 2 Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a b] (a
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Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H Kerneïs 1 CALCUL INTEGRAL 1 Aire sous une courbe 1 1 Unité d'aire dans un repère orthogonal
[PDF] CALCUL INTÉGRAL – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Sur un sous-intervalle [ ; + ] l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire de deux rectangles : - l'un de dimension et ( ) qui a pour aire :
[PDF] CALCULS DAIRES INTEGRALES PRIMITIVES ??a f (x) dx
On appelle intégrale de a à b de la fonction f l'aire en unités d'aire l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire
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L'intégrale est égale à l'aire sous la courbe On travaille sur un intervalle I = [a ; b] a < b f est une fonction continue croissante et positive
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17 avr 2023 · On appelle • Unité d'aire (u a ) : l'aire du rectangle construit à partir des points O I et J • Domaine sous la courbe : domaine délimité par
[PDF] Chapitre 3 Intégrales sur les courbes et les surfaces dans R n = 23
l'aire pour une surface f g sont des champs scalaires continu sur l'objet et Si on renverse l'orientation d'une courbe l'intégrale curviligne change
Comment calculer l'aire sous la courbe ?
L'aire �� sous la courbe et entre �� = �� et �� = �� est donnée par �� = �� ( �� ) ? �� ( �� ) .Comment calculer l'aire d'une intégrale ?
f(x)dx = k(b ? a). On a simplement appliqué la formule pour calculer l'aire du rectangle). f(x)dx est l'aire du trapèze.Pourquoi l'intégrale est l'aire sous la courbe ?
Aire sous la courbe dans le cas des fonctions non positives
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.- Comment interpréter son AUC ? L'aire sous la courbe ROC (ou Area Under the Curve, AUC) peut être interprétée comme la probabilité que, parmi deux sujets choisis au hasard, un malade et un non-malade, la valeur du marqueur soit plus élevée pour le malade que pour le non-malade.
CALCUL INTEGRAL
1. Aire sous une courbe
1.1. Unité d'aire dans un repère orthogonal
On considère
O;OI,OJ
un repère orthogonal. K est le point de coordonnées 1;1 dans ce repère. L'unité d'aire est l'aire du rectangle OIKJ.Exemples :
i. L'aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d'aires.OI = 2 cm et OJ = 3 cm, donc l'aire de ABCD est
2 2 3 = 12 cm
2 ii. Dans une entreprise de fabrication d'objets, le coût marginal varie par paliers. Le graphique ci-dessous représente ces variations en fonction du nombre d'unités déjà produites. Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 2 On admet que le coût total (en Euros) pour la fabrication de 1200 unités correspond à l'aire sous la courbe sur l'intervalle [0 ; 1200]. La fonction coût marginal est positive sur [0 ; 1200]. L'aire du domaine cherché (en gris) est, en unités d'aire :4 2000
+3 500200 +2 1000500 +5 12001000 =3700. Donc le coût total de fabrication de 1200 unités est de 3700 .1.2. Notion d'intégrale
Définition 1 : f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I, a et b sont deux réels de I. De plus F est l'une des primitives de f. On appelle intégrale de f entre a et b le nombre Fb FaOn note ce réel
fx dx abRemarques :
i. Ce nombre se lit " somme de a à b de fx dx » ou " intégrale de a à b de fx dx ». ii. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, avec les notations précédentes, les autres primitives de f sont de la forme Gx =Fx +k avec k un nombre réel. Et l'on remarque que Gb Ga =Fb Fa iii. Dans la pratique, pour calculer fx dx ab , on détermine une primitive F de f sur un intervalle contenant a et b, puis on écrit : fx dx ab =Fx ab =Fb FaExemple :
x 2 dx 12 =x 3 3 12 =2 3 3 1 3 3 =7 3.Propriété 1 :
i. fx dx aa =0. ii. fx dx ba =fx dx abPreuve : avec les notations précédentes...
i. fx dx aa =Fa Fa =0. ii. fx dx ba =Fa Fb =Fb Fa =fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 31.3. Intégrale et aire sous une courbe
Propriété 2 : admise...
f est une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a b. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. fx dx ab est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.Remarques :
i. On dit aussi de manière moins rigoureuse que c'est l'aire sous la courbe C entre a et b. ii. On pourrait approcher l'aire sous la courbe en ajoutant les aire fx dx de tous les rectangles de dimensions dx (aussi petit que l'on veut) et fx Exemple : C est la courbe représentative de la fonction x1 x sur l'intervalle0;+. On désigne par
st l'aire, en unités d'aire, sous cette courbe entre 1 et t. On a :Si t 1,
st =dx x 1t =lnx 1t =lnt.Si 0 < t 1,
st =dx x t1 =lnx t1 =lnt.2. Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Définition 2 :
f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que a < b. La valeur moyenne de f sur l'intervalle [a ; b] est le réel : 1 ba fx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 4 Interprétation géométrique : cas où f est positive sur [a ; b]. C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. En unités d'aire : fx dx ab est l'aire sous cette courbe entre a et b ; et mba est l'aire du rectangle ABCD (en gris sur le dessin). Donc m, valeur moyenne de f sur [a ; b], est la " hauteur » du rectangle de base ba ayant la même aire que le domaine sous la courbe C entre a et b. Remarque : m a la même unité que la fonction f.Exemples :
i. Le débit en m 3 /h d'une pompe à arrosage qui fonctionne en été de 6 heures à 20 heures, est modélisé par fx =5e0,002x
où x est l'heure considérée (6 x 20). Une primitive F de f est : Fx =510,002e
0,002x
=2500e0,002x
Le volume d'eau débité par cette pompe entre 6 heures et 20 heures est fx dx 620=F20 F6
71,85 m
3 Le débit moyen de cette pompe entre 6 et 20 heures est égal à : 1 206fx dx 620
5,13 m
3 /h. Ce nombre est la valeur moyenne de la fonction f, il est donc exprimé dans la même unité. ii. Dans une région où une épidémie commence à se propager, on constate que le nombre de malades contaminés t jours après le début de l'épidémie est M(t). Le nombre total de malades sur une période de 30 jours est Mt dt 030Le nombre moyen de personnes contaminées par jour est 1 30
Mt dt 030
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3. Propriétés de l'intégrale
f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a et b sont deux réels quelconques.3.1. Linéarité
Théorème 1 :
i. fx +gx dx ab =fx dx ab +gx dx ab ii. kf x dx ab =kfx dx ab pour tout réel k.Preuve :
i. Soient F et G des primitives respectives de f et g sur I. Alors F + G est une primitive de f + g sur I. (Voir chapitre sur les primitives.) Ainsi : fx +gx dx ab =Fx +Gx ab =Fb +Gb Fa +Ga =Fb Fa +Gb Ga =fx dx ab +gx dx ab ii. De manière analogue car kF est une primitive de kf sur I.Exemple : Calculer
4t 2 +3e t dt 013.2. Positivité et ordre
Théorème 2 : a et b sont deux réels de I tels que a b.Si pour tout x de [a ; b],
fx0, alors
fx dx ab 0. Preuve : F est une primitive de f sur I, alors pour tout x de I, F'x =fx . Or fx0 sur [a ; b], donc F est une
fonction croissante sur [a ; b]. Ce qui implique que Fa Fb c'est à dire Fb Fa0 et donc
fx dx ab 0. Théorème 3 : a et b sont deux réels de I tels que a b.Si pour tout x de I,
fx gx , alors fx dx ab gx dx ab Tle ES Calcul intégral - Collège de Juilly - H. Kerneïs 6Preuve : Pour tout x de I,
gx fx0, donc
gx fx dx ab0 c'est à dire
gx dx ab fx dx ab 0 et donc fx dx ab gx dx ab Exemple : La courbe représentative de la fonction xlnx est située en dessous de sa tagente au point d'abscisse 1 d'équation y = x - 1 ; cela signifie que pour tout x de 0;+, lnxx1. On a alors : lnxdx 12 x1 dx 12 avec x1 dx 12 =x 2 2 x 12 =...=1 2. On obtient doncquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] aire sous la courbe statistique
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