[PDF] Calcul intégral 2.2 Calcul d'inté

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Calcul intégral

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Intégrale d"une fonction continue positive

2

2 Intégrale et primitive4

2.1 Dérivabilité de la fonction aire

4

2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

5

3 Cas général5

3.1 Existence de primitives d"une fonction continue

5

3.2 Extension de la définition

6

3.3 Intégration par parties

6

4 Propriétés de l"intégrale7

4.1 Linéarité de l"intégrale

7

4.2 Relation deChasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

4.3 Positivité, inégalité de la moyenne

9

4.4 Valeur moyenne

10

5 Un exemple d"étude d"une suite d"intégrales

11

Table des figures

1 Unité d"aire

2

2 Intégrale d"une fonction continue positive

2

3 Intégrale d"une fonction constante positive

3

4 Intégrale d"une fonction affine positive

3

5 Dérivabilité d"une fonction aire

4

6 Intégrale d"une fonction continue négative

8

7 Intégrale d"une fonction continue de signe quelconque

9

8 Valeur moyenne

10 ?

Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SAhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

En préliminaire au cours :

Activité :Activité 1 page 2401[Magnard]

Dans tout ce chapitre,(O;?ı;??)désigne un repèreorthogonal . C fdésigne la courbe représentative d"une fonctionfdans le repère(O;?ı;??).

1 Intégrale d"une fonction continue positiveDéfinition 1 :On appelleunité d"aire d urep ère(O;?ı;??)la mesure des aires, notéeu.a. , telle que :

1u.a.=??ı? × ????

Il s"agit de l"

aire du rectangle unitéOIKJ(voir figure1 ).Figure1 - Unité d"aireDéfinition 2 :Intégrale d"une fonction continue positive

Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur l"in tervalle[a;b].

On appelle

in tégralede fsur[a;b]l"aire, exprimée en u.a., du domaine compris entrel"axe des abscisses , la courbeCfet les droites d"équationx=aetx=b(voir figure3 ).

On la note :

?b a

f(x)dxFigure2 - Intégrale d"une fonction continue positive1. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive

2

1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE POSITIVE

Remarques :1.Ceci se lit : " in tégralede aàbdef(x)dx» ou bien " somme2deaàbdef(x)dx».

2. On dit qu ela v ariablexest muette. On peut ainsi noter indifféremment : b a f(x)dx=? b a f(t)dt=? b a f(u)du Exemples :1.F onctionconstan tef(x) = 5(voir figure3 ) 5 -25dx= 5(5-(-2)) = 5×7 = 35Figure3 - Intégrale d"une fonction constante positive 2. F onctionaffine f(x) =x+ 1, positive sur[2; 4](voir figure4 ) 4 2 (t+ 1)dt=AABCD+ACDE= 3×2 +2×22 = 6 + 2 = 8Figure4 - Intégrale d"une fonction affine positive 3. En utilisan tla mé thodesdes rectangles (v oiractivité 1 page 240

3et programme Pythonaire-rect.py),

on montre que :?1 0 x2dx=13

Remarque :On peut utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée d"une intégrale.

Exercices :1, 2 page 243 et 35, 36, 38, 39 page 2544- 3, 4 page 243 et 40, 41 page 2555[Magnard]2. Pour comprendre l"utilisation du mot " somme », voir l"activité de la feuille polycopiée.

3. Évaluer l"intégrale d"une fonction continue positive

4. Utiliser les aires pour calculer une intégrale.

5. Méthode des rectangles.

3

2 INTÉGRALE ET PRIMITIVE

2 Intégrale et primitive

2.1 Dérivabilité de la fonction aireThéorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b].

Alors, la fonctionΦdéfinie par :

Φ(x) =?

x a f(t)dt est dériv able

sur [a;b]etΦ?=f.Remarque :La fonctionΦreprésente, en unités d"aire, l"aire sous la courbe représentant la fonctionf, sur

l"intervalle[a;x](voir figure5 ).Figure5 - Dérivabilité d"une fonction aire

Démonstration partielle

On se place dans le cas oùfest croissante sur[a;b]. Soitx0etx0+hdeux nombres de l"intervalle[a;b](voir figure5 ). - Sih >0:

Commefest croissante sur[a;b], on a :

et, par suite : - Sih <0, on montre de même que : Commefest continue enx0, on alimh→0f(x0+h) =f(x0)et, donc, par encadrement : lim h→0Φ(x0+h)-Φ(x0)h =f(x0) On en déduit donc que la fonctionΦest dérivable enx0et queΦ?(x0) =f(x0).

Remarque :On a donc montré que la fonctionΦ, aire sous la courbe de la fonctionf, est une fonction

dont la dérivée estf.DoncΦest uneprimitiv ede f. Exercices :97, 99 page 2586[Magnard]6. Fonction définie par une intégrale 4

3 CAS GÉNÉRAL 2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

2.2 Calcul d"intégrale d"une fonction continue et positive

Théorème :Soitfune fonctioncon tinueet p ositivesur un in tervalle[a;b]. SoitFuneprimitiv e quelconquedefsurI.

Alors :?b

a f(t)dt=F(b)-F(a)Démonstration :

SoitΦ(x) =?x

af(t)dt. On a vu queΦest une primitive defsurI. Par suite, commeFest aussi une primitive def, il existe une constanteCtelle queG(x) =F(x) +C. De plus,Φ(a) = 0 =F(a) +CdoncC=-F(a)etΦ(x) =F(x)-F(a).

On aboutit donc àF(x)-F(a) =?x

af(t)dt, ce qui, appliqué enx=b, donne le résultat voulu. Remarque :on écrira ce résultat sous la forme suivante : b a f(t)dt= [F(t)]b a=F(b)-F(a)

Exemple :On veut calculer?3

1?t3+ 2t+ 1?dt.

On posef(t) =t3+ 2t+ 1.

fest continue et positive sur[1; 3]. Une primitive defsur[1; 3]est la fonctionFdéfinie par :

F(t) =t44

+t2+t

On a donc :

3

1?t3+ 2t+ 1?dt=?t44

+t2+t? 3 1 =?814 + 9 + 3? -?14 + 1 + 1? =814 +12-14 -2 =804 +10 = 30

3 Intégrale d"une fonction continue - Cas général

3.1 Existence de primitives d"une fonction continueThéorème :Toute fonctioncon tinuesu run in tervalleIadmet des primitivessur I.Remarques :1.On a dé jàmon tréce résultat p ourde sfonctions con tinueset p ositivesau 2.1 .

2.

P ourla démonstration, on admettra le résultat s uivant: " Toute fonction continue sur un intervalle

[a;b]admet un minimum et un maximum sur[a;b]».

Démonstration partielle

On se limitera au cas oùIest un intervalle fermé de la forme[a;b]. On note alorsmle minimum defsur[a;b]et on noteg(x) =f(x)-m. gest une fonction continue et positive sur[a;b], elle admet donc une primitiveGsur[a;b].

On a doncG?(x) =g(x) =f(x)-m.

On noteFla fonction définie sur[a;b]parF(x) =G(x) +mx. Fest dérivable sur[a;b]etF?(x) =G?(x) +m=f(x) +m-m=f(x).

Fest donc une primitive defsur[a;b].

5

3.2 Extension de la définition 3 CAS GÉNÉRAL

3.2 Extension de la définition

On peut remarquer que la formule :

?b a f(t)dt=F(b)-F(a)

donnée pour des fonctions continues et positives, a encore du sens lorsque la fonction n"est plus nécessairement

positive.Définition :Soitfune fonctioncon tinuesur un in tervalleI,Funeprimitiv ed efsurIeta,b?I.

On appelle

in tégraled ela fonction fentreaetble nombre défini par : b a

f(t)dt=F(b)-F(a)Remarque :Ce nombre ne représente plus une aire sous la courbe, et n"est pas nécessairement positif.Propriété :Soit fune fonctioncon tinuesur Ieta,b?I.

a a f(t)dt= 0 a b f(t)dt=-? b a f(t)dtDémonstration :

On noteFune primitive defsurI.?

a a f(t)dt=F(a)-F(a) = 0 a b f(t)dt=F(a)-F(b) =-(F(b)-F(a)) =-? b a f(t)dt

Exemples :

3 -1(-3x)dx=? -3x22 3 -1=-3×322

3×(-1)22

=-272 +32
=-242 =-12 1 21u
2du=? -1u 1 2 =-11 -12 =-1 +12 =-12 1 0 -e-t+1dt=?e-t+1?1 0=e-1

Exercices :5, 6 page 245 et 44, 45, 46, 47, 49, 52 page 255 et 83, 85, 89 page 2587- 87 page 2588- 90

page 258

9[Magnard]

3.3 Intégration par partiesThéorème :Intégration par parties

Soientuetvdeux fonctionsdériv ablessur un in tervalleIdont lesd érivéesu?etv?sontcon tinuessur

I.

Sia,b?I:?b

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