CALCUL INTEGRAL 1. Aire sous une courbe
Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs. 1. CALCUL INTEGRAL. 1. Aire sous une courbe. 1.1. Unité d'aire dans un repère orthogonal.
La notion dintégrale permet de calculer laire sous la courbe dune
valeurs moyennes et des études sur la répartition des richesses. I. INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE SUR UN INTERVALLE. a) Aire sous la courbe.
CALCUL INTÉGRAL (Partie 1)
utilisé au XIVe siècle pour désigner le calcul intégral. A cette époque
MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I
14 oct. 2015 et intégral I. Intégration. L'aire sous la courbe. L'intégrale de. Riemann. Propriétés de l'intégrale de. Riemann.
Calcul intégral
2.2 Calcul d'intégrale d'une fonction continue et positive . Remarque : On a donc montré que la fonction ? aire sous la courbe de la fonction f
8. Intégrales
diminue et l'approximation de l'aire sous la courbe devient plus précise. (si la limite existe) est appelée intégrale définie de la fonction f (x) de a ...
Calcul dintégrale : méthode des trapèzes Algorithme
13 sept. 2020 1.1 La méthode. Nous avons vu l'approche d'une aire sous une courbe à l'aide de la méthode des rectangles. On peut améliorer la vitesse de ...
Chapitre 1
xF est la fonction qui donne la valeur de l'aire sous la courbe de la fonction ( ) définition intégrale de la position et de la vitesse :.
INTEGRATION (Partie 1)
utilisé au XIVe siècle pour désigner le calcul intégral. A cette époque
[PDF] La notion dintégrale permet de calculer laire sous la courbe dune
La notion d'intégrale permet de calculer l'aire sous la courbe d'une fonction On utilise les méthodes liées à ce thème en physique pour concevoir des
[PDF] Calcul intégral 1 Intégrale et aire
1 1 Intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b] Sn est alors l'aire sous la courbe de sn : c'est la somme des aires des
[PDF] fonctions continues 1 Intégrale et calcul daire
Définition 2 Soit f une fonction continue positive sur un intervalle [a b] (a
[PDF] CALCUL INTEGRAL 1 Aire sous une courbe
Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H Kerneïs 1 CALCUL INTEGRAL 1 Aire sous une courbe 1 1 Unité d'aire dans un repère orthogonal
[PDF] CALCUL INTÉGRAL – Chapitre 1/2 - maths et tiques
Sur un sous-intervalle [ ; + ] l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire de deux rectangles : - l'un de dimension et ( ) qui a pour aire :
[PDF] CALCULS DAIRES INTEGRALES PRIMITIVES ??a f (x) dx
On appelle intégrale de a à b de la fonction f l'aire en unités d'aire l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire
[PDF] Lintégrale est égale à laire sous la courbe
L'intégrale est égale à l'aire sous la courbe On travaille sur un intervalle I = [a ; b] a < b f est une fonction continue croissante et positive
[PDF] Calcul intégral - Lycée dAdultes
17 avr 2023 · On appelle • Unité d'aire (u a ) : l'aire du rectangle construit à partir des points O I et J • Domaine sous la courbe : domaine délimité par
[PDF] Chapitre 3 Intégrales sur les courbes et les surfaces dans R n = 23
l'aire pour une surface f g sont des champs scalaires continu sur l'objet et Si on renverse l'orientation d'une courbe l'intégrale curviligne change
Comment calculer l'aire sous la courbe ?
L'aire �� sous la courbe et entre �� = �� et �� = �� est donnée par �� = �� ( �� ) ? �� ( �� ) .Comment calculer l'aire d'une intégrale ?
f(x)dx = k(b ? a). On a simplement appliqué la formule pour calculer l'aire du rectangle). f(x)dx est l'aire du trapèze.Pourquoi l'intégrale est l'aire sous la courbe ?
Aire sous la courbe dans le cas des fonctions non positives
Dans le cas des fonctions négatives, l'intégrale vaut bien l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, mais avec un signe négatif devant. Une aire reste toujours positive alors qu'une intégrale d'une fonction négative est négative.- Comment interpréter son AUC ? L'aire sous la courbe ROC (ou Area Under the Curve, AUC) peut être interprétée comme la probabilité que, parmi deux sujets choisis au hasard, un malade et un non-malade, la valeur du marqueur soit plus élevée pour le malade que pour le non-malade.
MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannMAT 1720 A : Calcul différentiel et
intégral IPaul-Eugène Parent
Département de mathématiques et de statistiqueUniversité d"Ottawa
le 14 octobre 2015MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannAu menu aujourd"hui1Intégration
2L"aire sous la courbe
3L"intégrale de Riemann
4Propriétés de l"intégrale de Riemann
MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannLe théorème de Stokes
Voici le contenu d"un peu plus de deux cours de
mathématiques (beaucoup plus si vous comptez vos cours de physique et de génie) résumé en une ligne ...Théorème Z @Of=Z O df:La prochaine année sera consacrée à la compréhension de la notation et de la signification de cette ligne.MAT 1720 A :
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Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannMAT 1720 : notre cas particulier
Dans notre cas on étudiera le cas particulier suivant : f:DR!Rdifferentiable; df=f0;O= [a;b]D;
@O=fag [ fbg;et Z @Of=fjba=f(b)f(a).MAT 1720 A :
Calcul différentiel
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale de RiemannThe théorème fundamental du calcul intégralDonc nous tenterons de comprendreThéorème
f(b)f(a) =Z [a;b]f0:L"objet d"étude devient donc Z [a;b]f0;qui devrait être un nombre! si l"on croit le théorème...MAT 1720 A :
Calcul différentiel
et intégral IIntégration
L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale de RiemannDans la littérature, ce nombre est noté classiquement Z b a f0(x)dx;Peut-on donner une interprétation à ce nombre?!? Réécrivons celui-ci d"une façon plus classique ...MAT 1720 A :
Calcul différentiel
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannPrimitives
Supposons qu"ils existent deux fonctionsF;f: [a;b]!R telles que1Fsoit continue sur[a;b]et différentiable sur]a;b[;et 2F0(x) =f(x)sur]a;b[.Définition
On dit alors queFest une primitivedef.On peut donc réécrire le théorème fondamental de la façon
suivanteMAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannThéorème
SoientF;f: [a;b]!Rdeux fonctions telles queFsoit une primitive def.AlorsF(b)F(a) =Z
b aF0(x)dx=
Z b a f(x)dx:Deux questions naturelles surgissent à ce moment-ci : la première, qu"est-ce que signifie le nombre Z b a f(x)dx?MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannExemples élémentaires
... et la deuxième, sous quelles conditions une fonctionf admet-elle une primitive?Voici quelques exemples de primitives :1) Siy=xn,n=0;1;2;:::alors une primitive nous est donnée par F(x) =1n+1xn+1:2) Siy=sin(x)alors une primitive estG(x) =cos(x).3) Siy=1x2alors une primitive estH(x) =1x
.On reviendra au calcul de primitive un peu plus tard.MAT 1720 A :
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L"aire sous la
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Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannZ
b a f(x)dx Ce nombre est lié intimement à un très vieux problème :comment estimer l"aire d"une surface?Pour de simples objets géométriques tels les rectangles ou les
trapèzes, il est aisé de définir l"aire de leur surface.Par exempleA rec=bh:MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
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Propriétés de
l"intégrale deRiemannA
Trap=(L+l)b2
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
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Propriétés de
l"intégrale deRiemannL"aire sous la courbe
Mais que faire dans la situation suivante?
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannL"idée
Tentons d"approximer la surface à l"aide de rectangles de la façon suivante :On considère la fonctiony=x2sur l"intervalle[0;1].Puis on subdivise l"intervalle en quatre sous-intervalles de longueur x=1=4et on trace les rectangles suivants tel qu"indiqué sur la figure ci-dessousMAT 1720 A :
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Propriétés de
l"intégrale deRiemannUne sous-estimation
SoitAl"aire de la surface sous la courbe du graphe de la fonctiony=x2lorsquex2[0;1].Nous avons alors AR1+AR2+AR3A;où
AR1= x(14
)2;AR2= x(24
)2;AR3= x(34
)2.Alors x14 2 (12+22+32)A;c"est-à-dire 14 3 (12+22+32)est une sous-estimation deA.MAT 1720 A :
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courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannUne surestimation
On peut maintenant procéder de la-même façon à l"aide d"une surestimationAAR1+AR2+AR3+AR4,oùAR1= x(14
)2;AR2= x(24
)2;AR3= x(34
)2;AR4= x(44
)2.MAT 1720 A :
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courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannNous avons donc
Ax14 2 (12+22+32+42);c"est-à-dire, 14 3 (12+22+32)A14 3 (12+22+32+42):Intuitivement si l"on augmente le nombre de rectangles les deux approximations s"approchent de plus en plus deA.Donc au lieu de diviser[0;1]en quatre sous-intervalles, on divise [0;1]ennsous-intervalles de longueurx=1n . Alors ...MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannOn obtient la sous-estimationx1n
2 (12+22+32:::+ (n1)2)A;et la surestimation Ax1n 2 (12+22+32:::+n2):MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannEn prenant la limiten! 1
On se rappelle de la formule
12+22+:::+n2=n(n+1)(2n+1)6
:Alors 1n 3 (n1)n(2n1)6 A1n 3 n(n+1)(2n+1)6 :En prenant la limiten! 1nous obtenons d"une partlim n!113n+2n26n2=limn!11312n+16n2=1
3MAT 1720 A :
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L"aire sous la
courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemann...et d"autre partlim
n!11+3n+2n26n2=limn!113 +12n+16n2=1 3 :Conclusion: On a réussit à mettre en "sandwich" la valeur A,c"est-à-dire, les deux approximations tendant vers la-même valeur, forcentAvers cette valeur : A=13 :Le nombreAest notre candidat pour représenterZ 1 0 x2dx!MAT 1720 A :
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courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannTFCI
Si ce nombre est la bonne interprétation alors the ThéorèmeFondamental du Calcul Intégral devrait prédire ce nombre.Vérifions :Une primitive de la fonctionsy=x2estF(x) =x33
.Selon le TFCI nous avons Z 1 0 x2dx=F(1)F(0) =1 33033
=13 :Nous sommes sur la bonne voie!!
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courbeL"intégrale de
Riemann
Propriétés de
l"intégrale deRiemannL"intégrale de Riemann
SoitI= [a;b]un intervalle fermé etf: [a;b]!Rune fonction.Posonsx=ban pour unn=1;2;3;:::Alors considérons les points de l"intervalle[a;b]suivants x0=a; x1=a+1x; x2=a+2x; x3=a+3x; xn=a+nx=b.MAT 1720 A :
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Riemann
Propriétés de
l"intégrale de RiemannDans chacun des sous-intervalles[xi1;xi],i=1;2;:::;n, on choisit un pointci,et on forme la somme f(c1)x+f(c2)x+:::+f(cn)x;que l"on écrira sous la forme plus compacte n X i=1f(ci)x:DéfinitionOn appelle une telle somme, une somme de Riemann.
MAT 1720 A :
Calcul différentiel
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