Fonction inverse. Fonctions homographiques Année scolaire
Une fonction homographique est définie sur ? sauf en la valeur de x qui annule le Il y a une seule valeur interdite : la solution de x – 4 = 0.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul ET son
homographiques. I. VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION. Quand un nombre n'a pas d'image par une fonction on dit que c'est une valeur interdite de
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Inéquations rationnelles. 1. Fonctions homographiques. 1.1. Exemple 1 f x =?. 2 x. Valeur interdite. 0 est une valeur inerdite. Etude de variations de f.
Résumé du chapitre : fonctions homographiques Fonction inverse
valeur interdite qui annule le dénominateur c'est-à-dire que le domaine de définition est. La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole .
Fonctions affines inverse et carrée
Une fonction homographique est définie surRprivé de la valeur qui annule son dénominateur dite « valeur interdite ». Sa courbe représentative est une
TD n°2 : Fonctions homographiques
I] Fonctions homographique n°1. On se propose d'étudier la fonction f définie par f x =x?1 x?2 . a) Quel est la valeur de x interdite ?
1 Définition et parité de la fonction Inverse
Fonction Inverse et fonctions homographiques. Mai 2014. 1 Définition et parité de la fonction On dit que c'est la valeur interdite de la fonction f.
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
26-Jun-2015 4.2 Représentation graphique d'une fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . 8. 5 Les exercices ... n'a aucune valeur interdite.
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0 ; ?[ par f x =?. 3. 2 x. La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls.
1 Fonctions homographiques 2 Tableau de signe dun quotient
Dire qu'une fonction f est une fonction homographique signifie qu'il existe un réel non nul c et x = 3/4 est donc une valeur interdite dans le calcul.
FONCTION INVERSE FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
valeur interdite de cette fonction homographique est donc 2 3 2°) Représentation graphique : Propriété : La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole Exemple : Ci-dessous la représentation graphique de f (x) = 2x+1 3x?2 définie sur ??{2 3} 3°) Étude du signe d'une fonction homographique :
Fonction homographique — Wikipédia
Résumé : « La fonction inverse retourne les inégalités à condition que les deux membres aient le même signe » B Fonctions homographiques : Cas général Définition 3 Une fonction qui peut s'écrire f(x)= ax+ b cx+ d où a b c et d sont des nombres avec c?0 s’appelle une fonction homographique
2n4 crs - Fonctions homographiques
Les fonctions utilisables sont les fonctions homographiques I VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION Quand un nombre n’a pas d’image par une fonction on dit que c’est une valeur interdite de la fonction L’ensemble de toutes les valeurs non interdites est appelé ensemble de définition Exemple :
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles CORRECTION EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0; ?[ par f x =? 3 2x La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls • Si 0 a b alors 1 a 1 b donc ? 3 2 a ? 3 2 b soit f a f b f est strictement croissante sur ]0; ?
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1 Fonctions homographiques Définition On appelle fonction homographique toute fonction du type fx ax b cx d: où a b c et d sont des constantes réelles vérifiant : ab cd 0 (6 1) Remarques Si c 0 alors a (sinon l'hypothèse (6 1) ne serait pas vérifée) et : () 0 et d0 ab x dd ??xf x= + f est donc une fonction affine non constante
Quels sont les fonctions homographiques avec c = 0 ?
Les fonctions homographiques avec c = 0 sont les fonctions affines non constantes. Une fonction homographique non affine est dite propre . Une fonction homographique f détermine une bijection (de K {– d / c } dans K { a / c } si f est propre, de K dans K si f est affine), dont la réciproque est la fonction homographique :
Quelle est la différence entre une fonction inverse et une fonction homographique ?
La fonction est définie si soit . On en déduit . La fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre x, différent de 0, associe le nombre réel . Pour tout réel x, on note . L'image de 4 par la fonction inverse est . L'image de - 7 par la fonction inverse est .
Quelle est la valeur interdite de X ?
La valeur interdite de "x" est donc celle pour laquelle: La courbe qui représente une fonction homographique est une hyperbole (comme pour la fonction inverse ). C'est une courbe qui possède un centre de symètrie de coordonnée (-d/c ; a/c) autour duquel les variations de la fonction
Quel est le graphe d’une fonction homographique ?
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour asymptotes les deux droites d’équation et ; le point S d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe 2 .
Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
1. Fonctions homographiques p23. Signe d'un quotient p13
2. Équations quotients p114. Inéquations rationnelles p14
Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
1. Fonctions homographiques
1.1. Exemple 1fx=-2
xValeur interdite0 est une valeur inerdite.
Etude de variations de f
a, b sont deux nombres réels non nuls. ✔Si0abalors1
a1 b(-2 < 0) donc -2 a-2 bsoit fafb f est donc strictement croissante sur ]0;∞[ ✔Si ab0alors1 a1 b(-2 < 0) donc -2 a-2 b soitfafb f est donc strictement croissante sur ]-∞;0[Tableau de variations
x-∞0+∞ f(x)Tableau de valeurs
x-8-4-2-1-0,50,51248 f(x)1 4 121244211
214
Remarques
Pour tout nombre réel non nul x
f-x=-2 -x=--2Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
On dit que f est une fonction impaire.
Les points M(x;f(x)) et M'(-x;f(-x)) sont symétriques par rapport à l'origine du repère. Donc l'origine est un centre de symétrie de la courbe représentative de f. La courbe représentative de f se nomme hyperbole. L'origine est le centre de l'hyperbole.Représentation graphique
✔Sur ]0;∞[la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (donc f(x) < 0).
✔Sur ]-∞;0[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses (donc f(x) > 0). x-∞0+∞ f(x)+-1.2.Exemple 2
fx=1 x-2Valeur interdite x-2=0 donc x=2La valeur interdite est 2Etude de variations de f
a, b sont deux nombres réels distincts de 2. ✔SiFonctions homographiques
Inéquations rationnelles
donc 1 a-21b-2soit fafbf est donc strictement décroissante sur ]2;∞[
✔Si a-2b-20donc 1 a-21 b-2soitfafbf est donc strictement décroissante sur ]-∞;2[Tableau de variations
x-∞2+∞ f(x)Tableau de valeurs
x-6-2011,51,752,252,5346 f(x)-0,175-0,25-0,5-1-2-44210,50,25Représentation graphique
✔On trace la droite d d'équation x =2.Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
✔Le centre de l'hyperbole est le point I(2;0)✔Sur ]2;∞[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses (donc f(x) > 0).
✔Sur ]-∞;2[la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (donc f(x) < 0). x-∞2+∞ f(x)-+1.3. Exemple 3
fx= 1 2 x-1=12x-1Valeur interdite
x=0La valeur interdite est 0
Etude de variations de f
a, b sont deux nombres réels non nuls. ✔Si0abalors1
a1 b120donc
1 2 a 1 2 bdonc 1 2 a-1 1 2 b-1soit fafbf est donc strictement décroissante sur ]0;∞[✔Si ab0alors1 a1 bdonc 1 2 a 1 2 bdonc 1 2 a-1 1 2 b-1soit fafbf est donc strictement décroissante sur ]-∞;0[Tableau de variations
x-∞0+∞ f(x)Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
Tableau de valeurs
x-4-2-1-0,5-0,250,250,5124 f(x)-1,125-1,25-1,5-2-330-0,5-0,75-0,875Représentation graphique
✔On trace la droite d d'équation x = - 1 ✔Le centre de l'hyperbole est le point I(0;1)✔L'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses est : 0,5
✔Sur ]-∞;0[et ]0,5;∞[sur la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (donc
f(x) < 0). ✔Sur ]0;0,5[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses (donc f(x) > 0). x-∞00,5+∞ f(x)-+-Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
1.4. Exemple 4fx=-1
x12Valeur interdite x1=0x=-1La valeur interdite est -1Etude de variations de f
a, b sont deux nombres réels distincts de -1 ✔Si -1abalors0a1b1donc 1 a11 b1-10 donc -1 a1-1 b1et -1 a12-1 b12soit fafb f est donc strictement croissante sur ]-1;∞[✔Si ab-1alors a1b10donc 1 a11 b1-10 donc -1 a1-1 b1et -1 a12-1 b12soit fafb ✔f est donc strictement croissante sur ]-∞;-1[Tableau de variations
x-∞-1+∞ f(x)Tableau de valeurs
x-5-3-2-1,5-1,25-0,75-0,5013 f(x)2,252,5346-2011,51,75Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
Représentation graphique
✔On trace la droite d d'équation x = - 1 et la droite D d'équation y = 2 ✔Le centre de l'hyperbole est le point I(-1;2)✔L'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses est : -0,5
✔Sur ]-∞;-1[et ]-0,5;∞[sur la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses (donc
f(x) > 0). ✔Sur ]-1;-0,5[la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (donc f(x) < 0). x-∞-1-0,5+∞ f(x)+-+Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
1.5. Exemple 5fx=1
x-2-1Valeur interdite x-2=0x=2La valeur interdite est 2Etude de variations de f
a, b sont deux nombres réels distincts de 2 ✔Si 2abalors0a-2b-2donc 1 a-21 b-2 donc 1 a-2-11 b-2-1soit fafbf est donc strictement décroissante sur ]2;∞[✔Si ab2alorsa-2b-20donc 1 a-21 b-2 donc 1 a-2-11 b-2-1soit fafbf est donc strictement décroissante sur ]2;∞[Tableau de variations x-∞2+∞ f(x)Tableau de valeurs
x-2011,51,752,252,5346 f(x)-1,25-1,5-2-3-530,50-0,5-0,75Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
Représentation graphique
✔On trace la droite d d'équation x = - 1 et la droite D d'équation y = 2 ✔Le centre de l'hyperbole est le point I(2;-1)✔L'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de f et de l'axe des abscisses est : 3
✔Sur ]-∞;2[et ]3;∞[sur la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses (donc f(x)
< 0). ✔Sur ]2;3[la courbe est strictement au dessus de l'axe des abscisses (donc f(x) > 0). x-∞23+∞ f(x)-+-2. Equations quotients
2. Définition
Une équation quotient est une equation conenant l'inconnue au dénominateur.Fonctions homographiques
Inéquations rationnelles
2.2. Consignes
Pour résoudre une équation quotient,
✔On détermine la ( ou les ) valeur(s) interdite(s) ✔On transpose tous les termes dans un membre pour obtenir zéro dans l'autre membre. ✔On réduit au même dénominateur, on obtient alors Nx Dx=0✔On résout Nx=0 ✔Les solutions de l'équation proposée sont les solutions de l'équation Nx=0distinctes des valeurs interdites.2.3. Exemple 1
Résoudre dans R :
x2-16 5x-1x3=0Valeurs interdites
5x-1=0oux3=0
x=15oux=-3
Les valeurs interdites sont -3et1
5 ✔Nous avons directement l'équation sous la formeNx
Dx=0
Nx=0
x=4ou x=-4✔Les deux solutions de l'équation N(x) = 0 sont distinctes des 2 valeurs interdites. DoncS={-4;4}2.4. Exemple 2
Résoudre dans R :
x2-9 2x-1x3=0Valeurs interditesFonctions homographiques
Inéquations rationnelles
x=12oux=-3Les valeurs interdites sont -3et1
2 ✔Nous avons directement l'équation sous la formeNx
Dx=0
Nx=0
x-3=0oux3=0 x=3oux=-3✔-3 est une valeur interdite donc la solution de l'équation quotient est : 3 DoncS={3}2.5. Exemple 3
Résoudre dans R :
2x2x-3
x2-1=2Valeurs interdites x=1oux=-1Les valeurs interdites sont -1et1✔Mise de l'équation sous la formeNx
Dx=0
2x2x-3
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