Fonction inverse. Fonctions homographiques Année scolaire
Une fonction homographique est définie sur ? sauf en la valeur de x qui annule le Il y a une seule valeur interdite : la solution de x – 4 = 0.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul ET son
homographiques. I. VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION. Quand un nombre n'a pas d'image par une fonction on dit que c'est une valeur interdite de
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Inéquations rationnelles. 1. Fonctions homographiques. 1.1. Exemple 1 f x =?. 2 x. Valeur interdite. 0 est une valeur inerdite. Etude de variations de f.
Résumé du chapitre : fonctions homographiques Fonction inverse
valeur interdite qui annule le dénominateur c'est-à-dire que le domaine de définition est. La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole .
Fonctions affines inverse et carrée
Une fonction homographique est définie surRprivé de la valeur qui annule son dénominateur dite « valeur interdite ». Sa courbe représentative est une
TD n°2 : Fonctions homographiques
I] Fonctions homographique n°1. On se propose d'étudier la fonction f définie par f x =x?1 x?2 . a) Quel est la valeur de x interdite ?
1 Définition et parité de la fonction Inverse
Fonction Inverse et fonctions homographiques. Mai 2014. 1 Définition et parité de la fonction On dit que c'est la valeur interdite de la fonction f.
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
26-Jun-2015 4.2 Représentation graphique d'une fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . 8. 5 Les exercices ... n'a aucune valeur interdite.
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0 ; ?[ par f x =?. 3. 2 x. La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls.
1 Fonctions homographiques 2 Tableau de signe dun quotient
Dire qu'une fonction f est une fonction homographique signifie qu'il existe un réel non nul c et x = 3/4 est donc une valeur interdite dans le calcul.
FONCTION INVERSE FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
valeur interdite de cette fonction homographique est donc 2 3 2°) Représentation graphique : Propriété : La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole Exemple : Ci-dessous la représentation graphique de f (x) = 2x+1 3x?2 définie sur ??{2 3} 3°) Étude du signe d'une fonction homographique :
Fonction homographique — Wikipédia
Résumé : « La fonction inverse retourne les inégalités à condition que les deux membres aient le même signe » B Fonctions homographiques : Cas général Définition 3 Une fonction qui peut s'écrire f(x)= ax+ b cx+ d où a b c et d sont des nombres avec c?0 s’appelle une fonction homographique
2n4 crs - Fonctions homographiques
Les fonctions utilisables sont les fonctions homographiques I VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION Quand un nombre n’a pas d’image par une fonction on dit que c’est une valeur interdite de la fonction L’ensemble de toutes les valeurs non interdites est appelé ensemble de définition Exemple :
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles CORRECTION EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0; ?[ par f x =? 3 2x La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls • Si 0 a b alors 1 a 1 b donc ? 3 2 a ? 3 2 b soit f a f b f est strictement croissante sur ]0; ?
Searches related to valeur interdite fonction homographique PDF
1 Fonctions homographiques Définition On appelle fonction homographique toute fonction du type fx ax b cx d: où a b c et d sont des constantes réelles vérifiant : ab cd 0 (6 1) Remarques Si c 0 alors a (sinon l'hypothèse (6 1) ne serait pas vérifée) et : () 0 et d0 ab x dd ??xf x= + f est donc une fonction affine non constante
Quels sont les fonctions homographiques avec c = 0 ?
Les fonctions homographiques avec c = 0 sont les fonctions affines non constantes. Une fonction homographique non affine est dite propre . Une fonction homographique f détermine une bijection (de K {– d / c } dans K { a / c } si f est propre, de K dans K si f est affine), dont la réciproque est la fonction homographique :
Quelle est la différence entre une fonction inverse et une fonction homographique ?
La fonction est définie si soit . On en déduit . La fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre x, différent de 0, associe le nombre réel . Pour tout réel x, on note . L'image de 4 par la fonction inverse est . L'image de - 7 par la fonction inverse est .
Quelle est la valeur interdite de X ?
La valeur interdite de "x" est donc celle pour laquelle: La courbe qui représente une fonction homographique est une hyperbole (comme pour la fonction inverse ). C'est une courbe qui possède un centre de symètrie de coordonnée (-d/c ; a/c) autour duquel les variations de la fonction
Quel est le graphe d’une fonction homographique ?
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour asymptotes les deux droites d’équation et ; le point S d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe 2 .
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET
HOMOGRAPHIQUES
Ph DEPRESLE
26 juin 2015
Table des matières
1 Fonction carré2
1.1 Fonctionx?→x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Fonctions polynôme de degré 23
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Fonction inverse5
3.1 Fonctionx?→1x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Fonctionx?→ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Fonctions homographiques6
4.1 Exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Représentation graphique d"une fonction homographique. . . . . . . . . . . . . . 8
5 Les exercices9
6 Les exercices corrigés11
1 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde1 Fonction carré
1.1 Fonctionx?→x2
Définition 1.La fonction carré est définie surRpar :f(x) =x2. Sa courbe représentative dans
un repère orthogonal est appelée parabole d"équationy=x2, de sommet le centreOdu repère. x-∞0 +∞ x2????0?? 1231 2-1-2
Propriétés 1.La fonction carré est strictement décroissante sur]- ∞,0]et strictement crois-
sante sur[0,+∞[Démonstration
Soientx1< x2?0
x12-x22= (x1-x2)(x1+x2)
orx1+x2<0carx1etx2sont négatifs. etx1-x2<0carx1< x2 doncx12-x22est positif comme produit de deux négatifs doncx12?x22et la fonction carrée est décroissante sur]- ∞,0]. Même démonstration pour montrer que la fonction carrée est croissante sur[0,+∞[.1.2 Fonctionx?→ax2, a?= 0
Sia >0
x-∞0 +∞ ax2? ???0?? OSia <0
x-∞0 +∞ ax2????0 O Définition 2.La courbe représentative defdans un repère orthogonal est appelée parabole d"équationy=ax2, de sommet le centreOdu repère. Sia >0on dit que la parabole est tournée vers le haut. Sia <0on dit que la parabole est tournée vers le bas.Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 2 sur
14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde2 Fonctions polynôme de degré 2
2.1 Définition
Définition 3.Une fonction polynôme du second degré (ou trinôme) est une fonction définie sur
Rparf:x?→ax2+bx+c,oùa,b,csont trois nombres réels tels quea?= 0.Exemple :
f:x?→2x2+x3+ 2etg:x?→ -x2+ 5 +⎷2sont des fonctions polynôme du second degré.
2.2 Variations
Propriétés 2.
Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparx?→ax2+bx+c,oùa?= 0. ?Sia >0, alors la fonctionfest d"abord décroissante puis croissante. ?Sia <0, alors la fonctionfest d"abord croissante puis décroissante.Démonstration
Soitfune fonction polynôme du second degré définie surRparf:x?→ax2+bx+c,oùa?= 0.Considérons les intervalles]- ∞;-b
2a]et[-b2a;+∞[.
Soientx1etx2deux nombres distincts de[-b
2a;+∞[avecx2> x1
?On ax1?-b2aetx2?-b2adoncx1+x2?-ba
Ce qui prouve quex1+x2+b
a?0(1) ?Calculonsf(x2)-f(x1) f(x2)-f(x1) = (ax22+bx2+c)-(ax12+bx1+c) =a(x22-x12) +b(x2-x1) =a(x2+x1)(x2-x1) +b(x2-x1) = (x2-x1)(a(x2+x1) +b) =a(x2-x1)(x1+x2+b a)On a :
-a >0car on est dans ce cas. -x2-x1>0car on a choisix2> x1 -x1+x2+b a>0d"après (1) Le produit de trois nombres positifs est positif doncf(x2)-f(x1)>0. On a supposéx2> x1et on af(x2)> f(x1)doncfest croissante sur[-b2a;+∞[.
On démontre de la même manière quefest décroissante sur[∞;-b 2a[.Étudions le cas oua <0:
Le raisonnement est le même.
Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 3 sur14
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde2.3 Exemple
Soitf:x?→2x2+ 4x-2. C"est une fonction polynôme du second degré. On peut écriref(x)sous la formef(x) = 2(x+ 1)2-4. fa pour minimum -4, atteint en -1. SoitPsa représentation graphique dans le repère orthogonal (O,#»i ,#»j).M(x,y)?P??y=f(x)
??y= 2x2+ 4x-2 ??y= 2(x+ 1)2-4 ??y+ 4 = 2(x+ 1)2 ??Y= 2X2On a posé
?X=x+ 1 et Y=y+ 4ce qui revient à changer de repère et à prendre pour nouveau repère (Ω,#»i ,#»j)avecΩ(-1,-4). Yy X x ?i i? j j ?O ?MDans(O,#»i ,#»j),Ma pour coordonnées(x,y)et dans(Ω,#»i ,#»j),Ma pour coordonnées(X,Y).
Pa pour équationY= 2X2dans(Ω,#»i ,#»j), c"est donc une parabole de sommetΩ(-1,-4)et tournée vers le haut.Les variations defsont :
x-∞ -1 +∞ f(x)????-4?? et sa courbe est 12 -1 -2 -3 -41-1-2-3Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 4 sur14
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde2.4 Représentation graphique d"une fonction trinôme
Soitf:x?→ax2+bx+c(a?= 0)une fonction trinôme.Théorème 1.(admis)
Il existe deux réelsαetβtels que, pour toutxréel,f(x) =a(x-α)2+β.Cette expression s"appelle forme canonique def.
Soitfune fonction polynôme du second degré dont forme canonique est :f(x) =a(x-α)2+β.
Sia >0f(x)?βpour toutx?R, etβest le minimum defatteint pourx=α. Sia <0f(x)?βpour toutx?R, etβest le maximum defatteint pourx=α. SoitPla représentation graphique defdans(O,#»i ,#»j).M(x,y)?P??y=a(x-α)2+β
??y-β=a(x-α)2 ??Y=aX2 en posant ?X=x-αY=y-β
(X,Y)sont alors les coordonnées deMdans le nouveau repère(Ω,#»i ,#»j)oùΩest le point
de coordonnées(α,β)dans(O,#»i ,#»j).Y=aX2est une équation de parabole, donc :
Pest une parabole de sommetΩ(α,β)et tournée vers le haut sia >0 Pest une parabole de sommetΩ(α,β)et tournée vers le bas sia <0Les variations defsont alors :
Sia >0
x-∞α+∞ ax2+bx+c????β??Sia <0
x-∞α+∞ ax2+bx+c????β Propriétés 3.La représentation graphique d"une fonction trinôme est uneparabole.3 Fonction inverse
3.1 Fonctionx?→1
x Définition 4.La fonction inverse est définie surR\{0}par :f(x) =1 x. Sa courbe représentative dans un repère orthogonal est appelée hyperbole. Elle admetl"origineOdu repère comme centre de symétrie.Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 5 sur
14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde x-∞0 +∞ 1 x O Propriétés 4.La fonction inverse est strictement décroissante sur]- ∞,0[et strictement décroissante sur]0,+∞[.Démonstration
Soientx1< x2<0
1 x1-1x2=x2-x1x1x2>0carx2> x1etx1x2produit de deux négatifs est positif donc1x1>1x2. et la fonction inverse est décroissante sur]- ∞,0[. Même démonstration pour montrer que la fonction inverse estdécroissante sur]0,+∞[.3.2 Fonctionx?→ax
Sia >0
x-∞0 +∞ a x OSia <0
x-∞0 +∞ a x O4 Fonctions homographiques
Définition 5.Une fonction homographique est de la formex?→ax+b cx+d, c?= 0.Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 6 sur
14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde4.1 Exemple
Soitf:x?→2x+ 1
x-1surR\ {1}. C"est une fonction homographique. Sa forme réduite est f(x) = 2 +3 x-1. Ses variations ont été étudiées au chapitre précédent. x-∞ -1 +∞2 +3x+ 1
SoitHsa représentation graphique dans le repère(O,#»i ,#»j).M(x,y)?H??y=f(x)
??y=2x+ 1 x-1 ??y= 2 +3 x-1 ??y-2 =3 x-1 ??Y=3XOn a posé
?X=x-1 et Y=y-2Ce qui est revenu à changer de repère et à prendre pour nouveaurepère(Ω,#»i ,#»j)avecΩ(1,2).
YyX x ?i? i j? j O ?MDans ce dessin les coordonnées deMdans
(O,#»i ,#»j)sont (3,1) et les coordonnées deMdans(Ω,#»i ,#»j)sont (2,-1).
M(x,y)dans(O,#»i ,#»j)
M(X,Y)dans(Ω,#»i ,#»j)
Ha pour équationY=3
Xdans(Ω,#»i ,#»j), c"est donc une hyperbole dont le centre de symétrieestΩ, et dont les asymptotes sont les axes du nouveau repère, c"est à dire les droites d"équation
x= 1ety= 2.Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 7 sur
14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 24-2 -42 4 6-2-4-6Ω?
4.2 Représentation graphique d"une fonction homographique
Propriétés 5.toute fonction homographique se met sous forme réduitex?→A+B x-α, avecB?= 0.
Dans les deux cas la représentation graphique est une hyperbole de centreΩ(α,A)et d"asymptotes
les droites d"équationx=αety=A x?→1 x-αest de la forme1uavecu:x?→x-αcroissante surR.Ses variations sont donc :
SiB >0SiB <0
123456
-1 -2 -31 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4123456 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 8 sur14
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde5 Les exercices
1. Donner le domaine de définition des fonctions suivantes :
a.f:x?→3x+ 1 x+ 2b.f:x?→5-⎷2-x2c.f:x?→3x+ 15x2+ 72. Soitxun nombre réel.
(a) L"affirmation " Six2?9alorsx?3» est-elle vraie? (b) Écrire une proposition équivalente à :x2?9.3. Utiliser le graphique et seulement le graphique pour résoudre les équations et inéquations
suivantes : a.x2= 2x+ 3b.x2+x-2 = 0c.x2?2x+ 3d. x?x2?2x+ 3123456789
-11 2 3-1-2-34. On considère la fonctionfdéfinie sur[-4;2]parf(x) =x2+x-2.
(a) Recopier et compléter, à l"aide de la calculatrice, le tableau de valeurs suivant : x-4-3-2-1012 f(x) (b) Tracer la courbe représentative defdans un repère orthonormé. (c) i. Tracer sur le graphique la représentation graphique de la fonctiongdéfinie par g(x) =x. ii. Résoudre graphiquement l"équationf(x) =g(x). iii. Retrouver les solutions de l"équationf(x) =g(x)par le calcul.Notes de cours: Ph DEPRESLEPage 9 sur
14 Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde 5.QCMQuestionsRéponses
1.la fonctionx2est décroissante sur?]- ∞;0]
?R ?[0;+∞[2.Sif(x) =x2le nombre 2 a?deux antécédents
?un antécédent ?aucun3.Sif(x) =1xle nombre 2 a
?deux antécédents ?un antécédent ?aucun4.Le tableau de variations def(x) =⎷2x2?n"a aucune valeur interdite
?a une valeur interdite ?a deux valeurs interdites5.Sur l"intervalle]0;+∞[les représentations graphiques de
f(x) =-x2etg(x) =1 xont ?un point commun ?deux points communs ?aucun point communNotes de cours: Ph DEPRESLEPage 10 sur14
Chapitre : Fonctions du second degré et homographiques Seconde6 Les exercices corrigés
1. a.f:x?→3x+ 1
x+ 2On doit avoirx+ 2?= 0soitx?=-2et doncDf=R\{-2}. b.f:x?→5-⎷ 2-x2On doit avoir2-x2?0soitDf= [-⎷
2;⎷2].
c.f:x?→3x+ 15x2+ 7
On a5x2+ 7?= 0quelque soitx?RdoncDf=R.
2. Soitxun nombre réel.
(a) L"affirmation " Six2?9alorsx?3» est fausse. En effet six=-10on a100?9et -10?9 (b) Une proposition équivalente à :x2?9estx2-9?0soit après avoir fait un tableau de signex?]- ∞;-3]?[3;+∞[.3. a.x2= 2x+ 3
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] mouvement de rotation autour d'un axe fixe 1 bac
[PDF] comment faire un schéma sur word 2016
[PDF] énergie cinétique de rotation formule
[PDF] faire un schéma sur powerpoint
[PDF] comment faire un schéma sur open office
[PDF] comment faire un schéma géographie
[PDF] énergie cinétique d'un solide en rotation
[PDF] comment faire un schéma en svt
[PDF] théorème de l'énergie cinétique en rotation
[PDF] determiner la vitesse angulaire de la grande aiguille d'une montre
[PDF] créer une affiche cycle 3
[PDF] relativité du mouvement définition simple
[PDF] évaluation affiche publicitaire
[PDF] reglementation nage libre
