Fonction inverse. Fonctions homographiques Année scolaire
Une fonction homographique est définie sur ? sauf en la valeur de x qui annule le Il y a une seule valeur interdite : la solution de x – 4 = 0.
Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul ET son
homographiques. I. VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION. Quand un nombre n'a pas d'image par une fonction on dit que c'est une valeur interdite de
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Inéquations rationnelles. 1. Fonctions homographiques. 1.1. Exemple 1 f x =?. 2 x. Valeur interdite. 0 est une valeur inerdite. Etude de variations de f.
Résumé du chapitre : fonctions homographiques Fonction inverse
valeur interdite qui annule le dénominateur c'est-à-dire que le domaine de définition est. La courbe d'une fonction homographique est une hyperbole .
Fonctions affines inverse et carrée
Une fonction homographique est définie surRprivé de la valeur qui annule son dénominateur dite « valeur interdite ». Sa courbe représentative est une
TD n°2 : Fonctions homographiques
I] Fonctions homographique n°1. On se propose d'étudier la fonction f définie par f x =x?1 x?2 . a) Quel est la valeur de x interdite ?
1 Définition et parité de la fonction Inverse
Fonction Inverse et fonctions homographiques. Mai 2014. 1 Définition et parité de la fonction On dit que c'est la valeur interdite de la fonction f.
FONCTIONS DU SECOND DEGRÉ ET HOMOGRAPHIQUES
26-Jun-2015 4.2 Représentation graphique d'une fonction homographique . . . . . . . . . . . . . . 8. 5 Les exercices ... n'a aucune valeur interdite.
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0 ; ?[ par f x =?. 3. 2 x. La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls.
1 Fonctions homographiques 2 Tableau de signe dun quotient
Dire qu'une fonction f est une fonction homographique signifie qu'il existe un réel non nul c et x = 3/4 est donc une valeur interdite dans le calcul.
FONCTION INVERSE FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
valeur interdite de cette fonction homographique est donc 2 3 2°) Représentation graphique : Propriété : La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole Exemple : Ci-dessous la représentation graphique de f (x) = 2x+1 3x?2 définie sur ??{2 3} 3°) Étude du signe d'une fonction homographique :
Fonction homographique — Wikipédia
Résumé : « La fonction inverse retourne les inégalités à condition que les deux membres aient le même signe » B Fonctions homographiques : Cas général Définition 3 Une fonction qui peut s'écrire f(x)= ax+ b cx+ d où a b c et d sont des nombres avec c?0 s’appelle une fonction homographique
2n4 crs - Fonctions homographiques
Les fonctions utilisables sont les fonctions homographiques I VALEURS INTERDITES - ENSEMBLE DE DEFINITION Quand un nombre n’a pas d’image par une fonction on dit que c’est une valeur interdite de la fonction L’ensemble de toutes les valeurs non interdites est appelé ensemble de définition Exemple :
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques Inéquations rationnelles CORRECTION EXERCICE 1 Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0; ?[ par f x =? 3 2x La valeur interdite est : 0 a et b sont deux réels non nuls • Si 0 a b alors 1 a 1 b donc ? 3 2 a ? 3 2 b soit f a f b f est strictement croissante sur ]0; ?
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1 Fonctions homographiques Définition On appelle fonction homographique toute fonction du type fx ax b cx d: où a b c et d sont des constantes réelles vérifiant : ab cd 0 (6 1) Remarques Si c 0 alors a (sinon l'hypothèse (6 1) ne serait pas vérifée) et : () 0 et d0 ab x dd ??xf x= + f est donc une fonction affine non constante
Quels sont les fonctions homographiques avec c = 0 ?
Les fonctions homographiques avec c = 0 sont les fonctions affines non constantes. Une fonction homographique non affine est dite propre . Une fonction homographique f détermine une bijection (de K {– d / c } dans K { a / c } si f est propre, de K dans K si f est affine), dont la réciproque est la fonction homographique :
Quelle est la différence entre une fonction inverse et une fonction homographique ?
La fonction est définie si soit . On en déduit . La fonction inverse est un cas particulier des fonctions homographiques : c'est la fonction qui à tout nombre x, différent de 0, associe le nombre réel . Pour tout réel x, on note . L'image de 4 par la fonction inverse est . L'image de - 7 par la fonction inverse est .
Quelle est la valeur interdite de X ?
La valeur interdite de "x" est donc celle pour laquelle: La courbe qui représente une fonction homographique est une hyperbole (comme pour la fonction inverse ). C'est une courbe qui possède un centre de symètrie de coordonnée (-d/c ; a/c) autour duquel les variations de la fonction
Quel est le graphe d’une fonction homographique ?
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour asymptotes les deux droites d’équation et ; le point S d’intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe 2 .
Fonctions affines, inverse et carrée
I Fonctions affines
Propriété :Variationsdes fonctions affines
Unefonction affineest définie parf:R-→R
x?-→mx+p. oùmetpsont des réels. ?mest appelécoefficient directeur. ?pest appeléordonnée à l"origine. ?Sim>0, elle eststrictementcroissantesurR. ?Sim<0, elle eststrictementdécroissantesurR. ?Sim=0, elle estconstantesur surR x mx+p m>0 -∞+∞x mx+p m<0-∞+∞ ?Sa courbe représentativeest unedroite. -4-3-2-1123 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 y=-2x+2y=1,5x+3Remarques :
?Sim=0, la fonction est constante. ?Sip=0, la fonction est ditelinéaire.Définition :Taux devariation
On appelletaux de variationd"une fonctionfentre deux nombresx1etx2le quotientf(x2)-f(x1)x2-x1.Pour une fonction affine, il est contant quels que soientx1etx2. Il s"agit du coefficient directeurm.
Remarque :
affine donnée graphiquement ou passant par des points particuliers.Exemple 1 :Étude d"une fonction affine
Soitfla fonction affine dont la courbe représentativepasse par les pointsA(5;10) etB(9;-2). Donner l"expression algébriquede cette fonction puis étudier ses variations et son signe.Correction :
La fonctionfest affine donc son expression algébriqueest de la forme :f(x)=mx+p.Il faut trouvermetp.
Pour trouver rapidement le coefficient directeurmon utilisela formule du taux de variation : m=f(x2)-f(x1) x2-x1oùx1=5 etf(x1)=10 et de mêmex2=9 etf(x2)=-2.Ainsi,m=-2-10
9-5=-124=-3.(Voir ce calcul sur le graphique suivant.)
1Fonctions affines, inverse et carrée
Il reste à trouverp:
L"expression algébrique defestf(x)=-3x+p.
On sait que la courbe représentative defpasse par le pointA(5;10). Cela signifie quef(5)=10.On obtient donc une équation : 10=-3×5+p.
10=-15+p
10+15=p
25=pAinsi, l"expression algébriquedefest :f(x)=-3x+25. Pour les variations, lecoefficient directeur est négatif doncfest décroissantesurR: x -3x+25 Pour le signe, il faut calculer l"antécédent de 0 : f(x)=0 -3x+25=0 -3x=-25 x=-25 -3=253. -1.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. -5. 5. 10. 15. 20. 25.
30.
0 4 -12A B Puisquefest décroissante, on obtient le tableau de signe suivant : x signe def(x)-∞253+∞ +0-
II Fonction inverse
Propriété :Variationsde la fonction inverse
Lafonction inverseest définie parf:R?-→R
x?-→1 x. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement décroissantesur ]0;+∞[. x 1 x -∞0+∞ ?Elle est symétrique par rapport à l"origine du repère. ?Sa courbe représentatives"appelle unehyperbole. -5-4-3-2-11234 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 02Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction inverse possède une valeur dite"interdite». La division par 0 étant impossible, 0 ne fait
pas partie de l"ensemble de définitionde la fonction inverse.2) Autre formulationde la variation de la fonction inverse :
Deux nombres négatifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire.Six1 x1>1x2 Deux nombres positifs et leurs inverses sont rangés dans l"ordre contraire. Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
Si 0 x1>1x2 Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d. Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7? Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite. Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+4 3x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carrée Lafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 0 3Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire. Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR. Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 0 1. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoù Cette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations. 4Fonctions affines, inverse et carrée
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Définition :Fonction homographique
On appellefonction homographiquetoute fonctionhqui peut s"écrire comme quotient de fonctions affines. Soita,b,c,dquatre réels tels quead-bc?=0 etc?=0 :h(x)=ax+b cx+d.Propriété :
qui annule son dénominateur dite "valeur interdite». Sa courbe représentativeest unehyperbolequi comporte deux branches disjointes. +2 +20 Exemple 2 :Donner le domaine de définition d"une fonction homographique Quel est le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7?Correction :
Pour identifier ce domaine de définition, il suffit de trouver lavaleurinterdite.Recherche de la valeur interdite : 3x-7=0?x=7
3 Le domaine de définitionde la fonctionfdéfinie parf(x)=5x+43x-7estR\?73?
III La fonction carrée
Propriété :Variationsde la fonction carréeLafonction carréeest définie parf:R-→R
x?-→x2. ?Elle eststrictement décroissantesur ]-∞;0[. ?Elle eststrictement croissantesur ]0;+∞[. ?Elle admet, surR, un minimum en 0. x x 2 -∞0+∞ 00 ?Elle est symétriquepar rapportà l"axe des ordonnées. ?Sa courbe représentatives"appelle uneparabole. -5-4-3-2-11234 -1 1 2 3 4 5 6 7 03Fonctions affines, inverse et carrée
Remarques :
1) La fonction carrée est toujourspositivesurR.
2) Autre formulationde la variation de la fonction carrée :
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l"ordre contraire.Six1x22
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si 0x22
Définitions :Fonction du second degré et parabole aveca?=0 est appeléefonction polynôme du second degréou, simplement, fonction du second degré. La courbe représentatived"une fonction du second degré estappelée une parabole. -1.1.2.3.4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 0 Exemple 3 :Étude graphique
On veut résoudre l"inéquation-2x2+2x+4?0 dansR.Soitfla fonction définie par :f(x)=-2x2+2x+4.
Lorsque l"on dispose de la courbe représentative de la fonction fci-dessous, on peut en déduire letableau de signes. x signe def(x)-∞-1 2+∞ -0+0- L"ensemble des solutionsde l"inéquation estS=[-1 ; 2].-2-112 -2 -1 1 2 3 4 5 01. Quel est le maximum de cette fonction? En quelle valeur est-il atteint?
2. Dresser le tableau de variation de cette fonction.
Remarques :
1) Toute fonctionfdu second degré définie surRparf(x)=ax2+bx+cpeut s"écrire de façon unique
sous la forme :f(x)=a(x-α)2+βoùCette forme est appelée laforme canonique.
2) Certainesfonctions du second degré peuvent s"écrire sous une forme appeléeforme factorisée.
Il existe deux types deformes factorisées:f(x)=a(x-x1)(x-x2) ouf(x)=a(x-x0)2. Soientf(x)=x2-2x-3,g(x)=(x-3)(x+1) eth(x)=(x-1)2-4. Montrer que ces trois fonctions sont identiques puis dresser le tableau de signes et de variations.4Fonctions affines, inverse et carrée
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