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ANNALES SCIENTIFIQUES DE L"É.N.S.PAULMONTEL

rationnellesàtermesentrelacés

Annales scientifiques de l"É.N.S. 3

esérie, tome 50 (1933), p. 171-196

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1933, tous droits réservés.

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Rappelon

s l a définitio n de s fraction s rationnelle s terme s entre lacé s su r un e courb e e t (jnelques-une s d e leur s propriété s r .On dit qu'une fraction rationnelle a ses termes entrelacés sur une courb e fermé e lorsqu e ses zéro s et ses pôle s son t simples situé s su r cett e courb e e t placé s d e manièr e qu e l'o n rencontr e alternativemen tun. zéro et un pôle lorsqu'on parcourt la courbe dans un sens déter- miné Nou s nou s borneron s dan s ce travai l a u cas où la courb e est un edroite que l'on peut toujours supposer être l'axe des quantités réelles, o u l e demi-ax e de s quantité s réelle s e t positive s dan s l e pla n d e l a variabl e complex e z x iy.Soit donc R (_ b^^^r- /^^-' -4-. . .4- h,^z -+- bn a^" 4 a.^^ an-i^ 4 a,,une fraction rationnelle à termes entrelacés sur l'axe réel. Nous dési- gneron s pa r a, a.j a/, [3 p/ ses pôle s e t ses zéro s qu isont distincts, réels et alternent sur l'axe des .r; on peut supposer que le s coefficient s e t son t réel s e t l'o n peu t

écrire

si ûo -=f=. o,

R(^=A-. - - -

A 2 1 A •• a., .5 - a^ z - an' i Cf. Paul

MONTEL,

Sur les fractions rationnelles termes entrelacés ^Mathematica, vol. V, igSi p

110-129)

PAUL MONTE!..

le s nombre s A son t tou s de mêm e signe réciproquement tout e frac tio n de cett e form e a ses terme s entrelacés Cett e fractio n constitu e un e extensio n d e l a fonctio n homogra phique ell e es t toujour s croissant e ou toujour s décroissante suivan t qu e les A, son t négatif s o u positifs ell e transform e e n eux-même s o u permut e entr e eu x le s demi-plan s y^>o etj'<^o sa dérivé e n e s'annul e pou r aucun e valeu r réell e d e l a variable Pou r qu'un e fractio n rationnell e ai t se s terme s entrelacés i l fau t e t i l suffi t qu e l a frac tio n R(^" h ai l ses zéro s réel s que l qu e soi t l e nombr e rée l h,

Lorsqu

e a^ es t nul l a fractio n se me t sou s l a form e A ,A...R(z): le s nombre s A e t B

étan

t de mêm e signe Le s substitution s.,:=H(,s) formen t u n groupe e n d'autre s termes si K(^ e l S(.s) son t de s frac tion s rationnelle s terme s entrelacés la fractio n

RI'SC^')

es t terme s entrelacés O n peu t exprime r qu e l aquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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