[PDF] CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES 1. Fractions continues

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CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES

1.Fractions continues finies

Unefraction continue finieest une fraction itérée du genre 1 + 12 + 11 + 12 + 11 + 12 ;1 +11 + 13 + 15 + 17 + 19

La forme générale est

a 0+1a 1+1a 2+1. a N1+1a N(1) Lesaisont lesquotients partielsou parfois tout simplement lesquotientsde la fraction conti- nue. Nous nous intéressons aux fractions continues ditessimplesoù tous les numérateurs sont des1, les quotients partielsaisont entiers, et en plusai1pouri1. (Maisa0est un entier de signe quelconque.) Mais il est convenable parfois de permettre lesaià être des réels ou des variables ou des fonctions ou autre chose. La notation ci-dessus n"est pas très compacte, et parfois elle est remplacée par a 0+1a 1+1a 2+1a N1+1a

Nou[a0;a1;a2;:::;aN1;aN]

ou des variations. Dans le dernier système de notations, les deux fractions continues tout en haut sont[1;2;1;2;1;2]et[1;1;3;5;7;9].

2.Evaluation d"une fraction continue finie

On évaluera la fraction continue[a0;a1;a2;:::;aN]de (1) en trouvant une formule récursive

évaluant ses troncations

a

0; a0+1a

1; a0+1a

1+1a

2;etc.

10

CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES 11

Théorème 2.1.Définissons

p

2= 0; p1= 1; pn=anpn1+pn2pourn0;

q

2= 1; q1= 0; qn=anqn1+qn2pourn0;

Alors pour toutn0on a

p nq n= [a0;a1;:::;an] =a0+1a 1+1. a n1+1a n:

Définition 2.2.Les fractionsp0q

0;p1q 1;p2q

2;:::s"appellent lesréduitesde la fraction continue

[a0;a1;a2;:::]. En anglais on dit "convergents". Exemple 2.3.Pour évaluer les fractions continues[1;2;1;2;1;2]et[1;1;3;5;7;9]ci-dessus, on utilise les tableaux suivants, qui ressemblent à ceux de l"algorithme d"Euclide étendu.a i121212 p i01134111541 q i1012381130a i113579 p i01101536329q i10114211511380

Donc on a[1;2;1;2;1;2] =4130

et ses réduites sont1;32 ;43 ;118 ;1511 ;4130 , c"est à dire

1 = 1;1 +12

=32 ;1 +12 + 11 43
;1 +12 + 11 + 12 118
1 + 12 + 11 + 12 + 11 1511
;1 +12 + 11 + 12 + 11 + 12 4130

On a[1;1;3;5;7;9] =3291380

, et ses réduites sont1;0;14 ;521 ;36151 ;3291380 Preuve du théorème 2.1.On fait une récurrence d"ordre2surn.

Pourn= 0on ap0q

0=a01 =a0.

Pourn= 1on ap1q

1=a1a0+1a

1=a0+1a

1.

Donc les deux cas initiaux sont vérifiés.

12 CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES

Maintenant supposonsn2, et qu"on apn2q

n2= [a0;:::;an2]etpn1q n1= [a0;:::;an2;an1] quelquesoit les valeurs dea0;:::;an1. Or la fraction continue [a0;:::;an2;an1;an] =a0+1a 1+1. a n1+1a n s"obtient en prenant [a0;:::;an2;an1] =a0+1a 1+1. ..an1 et en remplaçantan1paran1+1a n. C"est à dire on a [a0;:::;an2;an1;an] = [a0;:::;an2;an1+1a n] pn1(a0;:::;an2;an1+1a n)q n1(a0;:::;an2;an1+1a n) (an1+1a n)pn2+pn3(an1+1a n)qn2+qn3 an1pn2+pn3+1a npn2a n1qn2+qn3+1a nqn2 pn1+1a npn2q n1+1a nqn2 anpn1+pn2a nqn1+qn2=pnq n: Théorème 2.4.(a)On apnqn1pn1qn= (1)n1pourn0. (b)On apnqn2pn2qn= (1)nanpourn1. Preuve.(a) Pourn= 0c"estp0q1q0p1=a0011 =1. Pourn1, on suppose par récurrence qu"on apn1qn2pn2qn1= (1)n2, et on trouve p nqn1pn1qn= (anpn1+pn2)qn1pn1(anqn1+qn2) =pn2qn1pn1qn2=(1)n2= (1)n1: (b) En utilisant le (a), on a p nqn2pn2qn= (anpn1+pn2)qn2pn2(anqn1+qn2) =an(pn1qn2pn2qn1) = (1)nan: Théorème 2.5.Supposons qu"on a une fraction continue[a0;a1;a2;:::]simple, c"est à dire quea0est entier, etai1est entier et strictement positif pouri1. Alors dans chaque fraction pnq n= [a0;:::;an], le numérateurpnet le dénominateurqnsont des entiers premiers

CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES 13

entre eux. De plus la suite des dénominateurs1 =q0q1< q2< q3 qn1pour toutn2. Les valeurs depnq npn1q n1et depnq npn2q n2se calculent en utilisant le théorème 2.4.

3.La fraction continue d"un rationnel

Pourun réel, on définit une suite de réelsnet une suite d"entiersanpar récurrence

0=, et pourn0

n=8 :a nsinest entier, a n+1 n+1avecanentier etn+1>1, sinon:(2) C"est à dire, on aan= [n], la partie entière den, et1 n+1=n[n], la partie fractionnelle den, tant que ceci est non nulle. On a =a0+1

1=a0+1a

1+1

2=a0+1a

1+1a 2+1 3= et en général = [a0;a1;:::;an1;n]:(3) Si unnest entier, on s"arrête avecn=an. Sinon, on continue. Lesréduitesdesont les réduites de la fraction continue finie ou infinie[a0;a1;a2;:::]. Exemple 3.1.Les fractions continues des rationnels3122 et415 se calculent comme suit :

0=3122

= 1 +922 1=229 = 2 +49 2=94 = 2 +14 3=41 = 4: 0=415 =1 +1115

1=1511

= 1 +411 2=114 = 2 +34 3=43 = 1 +13 4=31 = 3:

14 CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES

Donc on a

3122
= 1 +12 + 12 + 14 ;415 =1 +11 + 12 + 11 + 13

Quandest rationnel, on peut écrire=uv

avecuetv >0entiers. L"algorithme (2) donne 0=uv =a0+u0v avec0u0< v, 1=vu

0=a1+u1u

0avec0u1< u0,

N1=uN3u

N2=aN1+uN1u

N2avec0uN1< uN2;

N=uN2u

N1=aN:

Si on multiplie chaque équation par le dénominateur des fractions, on retrouve les équations

u=a0v+u0,v=a1u0+u1,:::, etc., de l"algorithme d"Euclide. Donc quand on applique l"algorithme (2) à un rationnel uv , on fait l"algorithme d"Euclide, sauf que les sorties de l"al- gorithme sont les quotients entiersaides divisions successives, qui deviennent les quotients partiels de la fraction continue de uv Théorème 3.2.Pouruetv >0entiers, l"algorithme d"Euclide étendu calcule les quotients partiels de la fraction continue de uv = [a0;a1;:::;aN]et les réduitesp0q 0;p1q

1;:::;pNq

Nde cette

fraction continue.

En particulier, on a

pNq N=uv mais avecpgcd(pN;qN) = 1. C"est à dire,pNq

Nest la forme

réduite (ou simplifiée) de uv

4.Fractions continues infinies

Supposons qu"on a une fraction continue infinie

[a0;a1;a2;a3;:::] =a0+1a 1+1a 2+1a 3+1.

La suite de ses réduites

p 0q

0= [a0];p1q

1= [a0;a1]; :::pnq

n= [a0;a1;:::;an]; ::: est convergente, selon le théorème suivant. Lavaleurde la fraction continue infinie est cette limite.

CHAPITRE 2 : FRACTIONS CONTINUES 15

Théorème 4.1.Soita0un entier relatif, eta1;a2;:::des entiers strictement positifs. Alors la suite de réduites p0q 0;p1q 1;p2q

2;:::de la fraction continue infinie[a0;a1;a2;:::]a les propriétés

suivantes. (a)La sous-suite des réduites pairesp0q 0;p2q

2;:::;p2nq

2n;:::est strictement croissante.

(b)La sous-suite des réduites impairesp1q 1;p3q

3;:::;p2n+1q

2n+1;:::est strictement décroissante.

(c)Toute réduite paire est plus petite que toute réduite impaire. (d)Si la suite des réduites est infinie, elle a une limite.

On peut écrire (a)(b)(c) sous la forme

p 0q 04<< 5 = 1:500000000000000000000000000 85
= 1:600000000000000000000000000 2113
= 1:615384615384615384615384615 5534
= 1:617647058823529411764705882 14489
= 1:617977528089887640449438202 limite=1 +p5 2 = 1:618033988749894848204586834

233144

= 1:618055555555555555555555555 8955
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