[PDF] Modules de Fractions Sous-modules S-saturés et Foncteurs S 1

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International Journal of Algebra, Vol. 6, 2012, no. 16, 775 - 798

Modules de Fractions, Sous-modulesS-satur´es

et FoncteursS -1

Mohamed Ben Fraj BEN MAAOUIA

UFR des Sciences Appliqu´ees et Technologie

University Gaston Berger Saint-Louis (UGB)

maaouiaalg@hotmail.com

Mamadou SANGHARE

Universit´e Cheikh Anta Diop de Dakar (UCAD)

mamsanghare@hotmail.com Abstract.The main results that has shown in this article are the prop- erties of the foncteurS -1 (),to know that it is isomorphe to the foncteur S -1 (A)? A -, that his adjoint isHom A (S -1 (A),-) and that it preserves the projectivity, the flatness ,the artinienty, the noetherienity and the simplicity of the left A -modules.

1 Introduction

Dans cet article A d´esigne un anneau associatif unitaire non n´ecessairement commutatif , M d´esigne un A-module `a gauche unitaire . Les principaux r´esultats qu"on a montr´e dans cet article sont des propri´et´es du foncteur S -1 (),`a savoir qu"il est isomorphe au foncteurS -1 (A)? A -, que son adjoint estHom A (S -1 (A),-) et qu"il pr´eserve la projectivit´e, la platitude, l"artini´et´e, la noeth´erienit´e et la simplicit´e des A-modules `a gauches. Dans cet article nous proc´edons comme suit: Dans la premi`ere section nous construisons l"anneau de fractionsS -1 (A) et le module de fractionsS -1 (M) relativement `aSo?Sest une partie multiplicative satur´ee deAv´erifiant les conditions de Ore `a gauche. Dans la deuxi´eme section nous ´etudions la notion de sous - moduleS-

776Mohamed Ben Fraj BEN MAAOUIA and Mamadou SANGHARE

satur´e d"unA- module `a gauche. Nous montrons qu"il existe une bijection croissante (pour l"inclusion) de l"ensemble des sous -modules duS -1 (A)- module `a gaucheS -1 (M) sur l"ensemble des sous - modulesS- satur´es du

A- module `a gaucheM.

En particulier l"ensemble des id´eaux `a gauche deS -1 (A) est en bijection croissante avec celui des id´eaux `a gaucheS- satur´es deA. Nous montrons aussi que siNest un sous-module deM, alors leS -1 (A)- module `a gaucheS -1 (M/N) est isomorphe `aS -1 (M)/S -1 (N) et en particulier siIest un id´eal `a gauche deA, alors leS -1 (A)-module `a gaucheS -1 (A/I) est isomorphe `aS -1 (A)/S -1 (I). Dans la troisi`eme section nous construisons le foncteur covariant,aditif et exactS -1 ():A-Mod-→S -1

A-Mod.Nous montrons que le foncteur

S -1 ( ) pr´eserve la projectivit´e et que siSne contient pas de diviseur de z´ero alors le foncteurS -1 ( ) est fidele. Ensuite nous montrons que le foncteur S -1 ( ) est isomorphe au foncteurS -1 (A)? A -,queS -1 (A) est un A- module `a gauche plat et que si M est un A-module `a gauche plat alorsS -1 (M) est un A-module `a gauche plat. Nous prouvons aussi que:S -1 (M) est un S -1 (A)-module `a gauche plat si et seulement siMest unA-module `a gauche plat. Enfin nous montrons que le foncteurHom A (S -1 (A),-) est l"adjoint du foncteurS -1 (),et queS -1 ()pr´eserve les propri´et´es d"artini´et´e, de noeth´erienit´e et de simplicit´e des A-modules `a gauches.

2D´efinitions et r´esultats pr´eliminaires

D´efinition 2.1.Une partieSd"un anneauAest dite multiplicative si 1 A ?SetSest stable par multiplication c"est-`a-dire pour tous x,t?S, st?S,une partie multiplicativeSest dite satur´ee si pour tous s,s ?A, ss ?Simpliques?Sets ?S. D´efinition 2.2.SoientAun anneau etSune partie multiplicative satur´ee deA.Un anneauBest dit anneau de fractions relativement `aSs"il existe un morphisme d"anneaux?:A-→Bv´erifiant :

1)?s?S, ?(s)est inversible (dansB)

2)?b?B,il existea?Aets?Stels queb=?(s)

-1 ?(a)

3) Si?(a)=0,alorssa=0,pour touts?S.

Remarque 2.3.Le couple(B,?)est dit anneau de fractions `a gauche deA relativement `aS, on dit alors queAadmet un anneau de fractions `a gauche relativement `aS. Modules de Fractions, Sous-modulesS-satur´es777 Remarque 2.4.SiAadmet un anneau de fractions `a gauche relativement `a une partie multiplicative satur´ee alors il est unique `a isomorphisme pr`es.

Notations

1) L"anneau de fraction `a gauche deArelativement `aSest not´e par

S -1 (A).

2) Le morphisme?:A-→S

-1 (A)delad´efinition 0.2.2 est appel´e morphisme canonique.

3) Les ´el´ements deS

-1 (A) sont not´es para s. D´efinition 2.5.SoitSune partie multiplicative satur´ee d"un anneauA. On dit queSv´erifie les conditions de Ore `a gauche si : a)?a?A,?s?Sils existentt?Setb?Atels queta=bs (Sest dit permutable `a gauche) b)?a?A,sis?Stel queas=0,alors il existet?Stel queta=0 (Sest dit reversible `a gauche) D´efinition 2.6.SoitAun anneau etSune partie deA.On dit queA v´erifie les conditions de Ore `a gauche relativement `aSsiSest une partie multiplicative satur´ee qui v´erifie les conditions de Ore `a gauche. Th´eor`eme 2.7.SoientAun anneau etSune partie multiplicative satur´ee qui v´erifie les conditions de Ore `a gauche,MunA- module ` a gauche. Alors la relation binaire d´efinie surS×Mpar :(s,m)R(s ,m )si et seulement si ils existentx,y?Stels que ?xm=ym xs=ys est une relation d"´equivalence.

Preuve

La r´eflexivit´e et la sym´etrie deRsont ´evidentes. Il suffit donc de montrer la transitivit´edeR.Supposons que (s,m)R(s ,m et (s ,m )R(s ,m ) alors ils existentx,y?Stels que ?xm=ym xs=ys et ils existentx ,y ?Stels que ?x m =y m x s =y s

778Mohamed Ben Fraj BEN MAAOUIA and Mamadou SANGHARE

Poury,x

ils existentp?Setq?Atels quepx =qyet comme x ?Salorspx ?Sdoncqy?Sce qui implique queq?Sdonc on a les implications suivantes : ?px m =py m px s =py s =??(px )m =(py )m (px )s =(py )s =??(qy)m =(py )m (qy)s =(py )s =??a(ym )=(py )m (px )s =(py )s =??q(xm)=(py )m q(xs)=(py )s =??(qx)m=(py )m (qx)s)=(py )s donc commeqxetpy ?Sd"o? (s,m)R(s ,m ) d"o? la transitivit´edela relationR.

Notation

:(S×M)/Rest not´e parS -1 (M).

Les ´el´ements deS

-1 (M) sont not´es parm sous -1 met en particulier les

´el´ements deS

-1 (A) sont not´es paraquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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