[PDF] Anneaux de fractions. Éléments entiers. Théorèmes de Krull

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Séminaire Henri Cartan

J.LAFON

Séminaire Henri Cartan, tome 8 (1955-1956), exp. no1, p. 1-12

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ANNEAUX DE FRACTIONS.

ÉLÉMENTS ENTIERS. THÉORÈMES DE KRULL.

(Exposé de J.

LAFON, 7.11.1955)

Séminaire

E.NoS.,

1955-56

(H.

CARTAN et C. CHEVALLEY)

Conventions et notations. -

Dans cet

expose et les suivants, on fera les- conventions suivantes (sauf mention expresse du contraire) i on appelle un anneau commutatif

élément

unité 1 0 ~. on appelle d'un anneau A un anneau B contenu dans A et ayant même

élément

unité que A ; on appelle un homomorphisme f : A -~ B qui respecte l'addition et la multiplication, et satisfait f(l) 1 . Si A est un anneau} tous les

A-modules

considérés seront unitaires (c'est-à-dire l.x x pour tout x du module). 0

Le mot

"corps'~ désignera un corps commutatif.Les idéaux d'un anneau seront notés par des minuscules soulignées: m ~ p ~ etc. 0

Rappelons

que si m est un idéal d'un anneau A ~ l'anneau A/m est un corps si et seulement si m est un idéal maximal (on appelle ainsi tout idéal distinct de A ~ et maximal dans l'ensemble des idéaux $ A ).

L'anneau

A/m est un sans autre diviseur de 0 que 0 lui-même) , si et seulement si l'idéal m est premier. Tout idéal $ A est contenu dans un idéal maximal ; tout anneau d'intégrité se plonge dans un corps. 1~-

Anneaux de

fractions. Soit A un sous-anneau d'un corps K y et soit S une partie non vide de A ~ multiplicativement stable, et ne contenant pas

0 . L'ensemble AS"

des éléments as-1 (où a ~ A et s ~ S) est un sous-anneau de K. On le note A~. ~ et on l'appelle l'anneau des fractions de A (relativement S ). Si S A - ( 0) , l'anneau Aq n'est autre que le A .

Proposition

1.- (a)

L'application

m' 2014~ m' ~ A est une inj ection de des Aq dans idéaux si m n~' A ~ m' (idéal engendré par m dans Aq) . 0 (b)

L'application

p' A est une bijection de l'ensemble des J.

LAFON,

idéaux premiers de

AS sur l'ensemble des idéaux premiers de À

ne rencontrent pas S . (c) Si p ' est un idéal premier de AS , et p li , l'homomorphis-

§@ canonique 03C6 :

À/p

se prolonge d'une seule manière en un homomor- phisme AS~ (A/p)03C6(S) , lequel

Démonstration :

(a) résulte de l'égalité m' (m' ~

A)S" ~

valable pour tout idéal m' de Aq . _ (b) Si p' est un idéal premier de p p' ~

A est évidemment un

idéal premier de A qui ne rencontre pas

S ~ puisque p' ~

L' assertion.

(b) résulte alors de

Inégalité p

(pS" ) ~ A ~ valable pour tout idéal premier p de A ~ tel que p~S=~. (c) ~ se prolonge d'une seule manière en un homomorphisme d'anneaux

03C6 :

Ag (A/p)03C6(S) , défini par

03C6(as-1)

03C6(a)(03C6(s))-1.

Il est clair

que 03C6 est surjectif le noyau de 03C6 se-compose des éléments as tels que ~(a) =0~ donc ce noyau est pS =P' . o

Proposition

2. - Soit B un anneau tel que A c Si p' un idéal premier de AS y et p p' ~ A , q p' B , on a

Démonstration ?

observons d'abord que et Aq-p* sont multiplicativement stables. On a évidemment A. c

Montrons

que ~

A. A'**p

tout élément de (AS)AS-p' s'écrit (as"*)(a's~ )" ~ avec a$A y s~S ~ a'~ A-p ~ s'~ S~ il est

égal

(as')(a*s) ~ avec as' ~ A p a's ~ A-p . 2.-

Anneau local d'un idéal premier.

Définition

s on appelle anneau local un anneau A tel que la somme de deux éléments non-inversibles de A soit non-inversible. Les éléments non- inversibles de A forment alors un idéal m(A) , distinct de A , et qui contient tout idéal distinct de

A ; m(A)

est donc l'unique idéal maximal de A .

Réciproquement,

si un anneau A possède un seul idéal maximal, cet idéal contient tous les éléments non-inversibles, et A est donc un anneau local.

Proposition

3.- Soit

A corps, et_soit p un

S~'S=.A"-'p,

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