[PDF] Précisions sur les conjectures au secondaire - Comment vaincre l

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Précisions sur les conjectures

au secondaire devant une conjecture? Direction de la formation générale des jeunes

6HŃPHXU GH O·pGXŃMPLRQ SUpVŃROMLUH HP GH O·HQVHLJQHPHQP SULPMLUH HP VHŃRQGMLUH

0LQLVPqUH GH O·eGXŃMPLRQ HP GH O·(QVHLJQHPHQP VXSpULHXU

Animatrices

Sophie Genest

ͻEnseignante de mathématique

au secondaire

ͻCollaboratrice aux programmes

de mathématique

ͻIntérêt marqué pour la

compréhension chez les élèves

Geneviève Dupré

ͻConseillère pédagogique en

prêt de service /domaine de la mathématique

ͻIntérêt marqué pour la

résolution de problèmes 2

Plan de la présentation

ͻConjecture et Programme de formation

ͻPistes d'enseignement liĠes ă la conjecture

ͻTâches de conjecture

ͻCréation de situations de conjecture

3

Conjecture et

Programme de formation

Définition

5

PEFQ, Premier cycle, p. 245.

PFEQ, Deuxièmecycle, p. 31.

Composantes de la compétence 2

PEFQ, Premier cycle, p. 245.

PFEQ, Deuxièmecycle, p. 31.

Composantes de la compétence 2

liées à la conjecture

Pistes d'enseignement

ͻConcrĠtiser l'idĠe de conjecture

9

Pistes d'enseignement

ͻFaǀoriser l'apprentissage par l'edžploration ͻFavoriser la " culture de l'argumentation ͩ ͻCompléter des conjectures formulées partiellement 10

Faǀoriser l'apprentissage par l'edžploration

Travailler à partir de :

ƒSituations de manipulations

ƒProblèmes ouverts

ƒRéseaux de concepts

11 12

J'amĠliore ma dĠmarche et mon

raisonnementde façon autonome.

Réflexion approfondie

J'Ġǀaluela pertinence lors

d'une sĠance plĠnière.

Évaluation des stratégies

un sous-groupe.

Partage des stratégies

Je pense et j'Ġcris de façon

autonome.

Réflexion préliminaire

Je vérifie les conjectures et

je les précise.

AnalysePistes d'enseignement

13

Plan d'action et essais

Réflexion préliminaire

Vocabulaire et réseau de

concepts

Vérification de la

comprĠhension de l'ĠnoncĠ

Ressemblances et différences

entre les conjectures

Comparaison

Pistes d'enseignement

Pistes d'amĠliorationRétroaction

Généralisation, raisonnement

déductif ou inductif, preuve par analogie

Construction d'une preuǀe

Faǀoriser la ͨ culture de l'argumentation ͩ

ͻJustifier ses réponses

14

Quelestl'intrus?

15 16 formed'uneexpressionalgébrique. 17

Compléter une conjecture

expression algébrique. ____________________.18

Compléter une conjecture

ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ La somme des degrĠs des sommets

d'un graphe est ͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺͺ .

19

Compléter une conjecture

Tâches de conjecture

20

Tâches

de conjecture

Dégager un lien, donner des

exemples variés, comparer, justifier

Formulation (émission)

Raisonnement déductif, analogie,

raisonnement inductif, preuve, généralisation, argumentation

Validation

21

Contre-exemple,

Raisonnement par contradiction

Réfutation

Tâches

de conjecture 22

Contre-exemple,

Raisonnement par contradiction

Réfutation

fonction. A-t-elle raison? deux nombres opposés dans une distribution statistique, la moyenne ne change pas. 23

Tâche de conjecture : réfutation

Source :MEES, Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique au secondaire;

Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement.

Tâches

de conjecture

Raisonnement déductif, analogie,

raisonnement inductif, preuve, généralisation, argumentation

Validation

24

Tâche de conjecture : validation

deux nombres négatifs est toujours négative. Expliquez pourquoi. polygone rĠgulier est toujours paire. L'affirmation d'Emma est-elle vraie ou fausse? Expliquez pourquoi. 25

Tâches

de conjecture

Dégager un lien, donner des

exemples variés, comparer, justifier

Formulation (émission)

26
perpendiculaires à celle-ci. Formulez une conjecture décrivant le lien qui existe entre les pentes des droites tracées. contraintes? 27
Tâche de conjecture : formulation (émission)

Dialogue intérieur

ͻQuels sont les concepts ou les éléments à mettre en relation?

ͻComment les trouver ou les calculer?

ͻYuels edžemples choisir pour m'aider ă ǀisualiser le lien existant? possibles? ͻComment vérifier que mon argumentation est suffisamment développée? ͻComment savoir si ma conjecture peut être démontrée? 28
Tâche de conjecture : formulation (émission) 29

Source :MEES, Précisions sur les types de raisonnement à exploiter en mathématique au secondaire;

Exemples de démarche illustrant les différents types de raisonnement.

Pistes d'enseignement

ͻRendre ludique la conjecture

30
www.semainedesmaths.ulaval.ca Edžemple tirĠ d'une Ġpreuǀe ministĠrielle 31
question 16. Tâche de conjecture : formulation (émission)

Création desituations de

conjecture 32

Création de situations de conjecture

ƒPour amener les élèves à compléter, réfuter, valider ou

émettre des conjectures

ͻTravailler à partir des énoncés du programme 33
pentagone.(Questiontypique) ͻComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ La diffĠrence entre l'aire d'un _________________. 34

Exemple de modification

ͻYu'arriǀe-t-il ă l'aire d'un pentagone si on double la mesure de son apothème? ͻL'affirmation suiǀante est-elle vraie ou fausse? apothème double. double aussi. A-t-ilraison? 35

Exemple de modification (suite)

et la figure formée en les reliant? 36

Exemple de modification

PFEQ, Deuxièmecycle, p. 128.

Déployer un raisonnement mathématique

Voir l'actiǀitĠ de conjecture comme une résolution de problème. Laisser le temps audž Ġlğǀes de s'inǀestir. Accorder plus d'importance audž Ġtapes de la dĠmonstration

Michelle Cirillo, " Ten Things to Consider When Teaching Proof », Mathematics Teacher, vol. 103, no4, novembre2009,p. 250-257.

37

Fréquence des expériences

Apprentissage par exploration

Culture de l'argumentation

Progression dans les tâches

proposées

Adoption de diverses méthodes

pédagogiques 38

Apprivoiser la conjecture

Matériel didactique

Utiliser et partager les exemples de

la formation

Modifier les questions des manuels

et des cahiers d'edžercices

Travailler à partir des énoncés du

Programme de formation

39

Exemples de tâches supplémentaires

mesures des angles dans un triangle rectangle. ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ Dans un triangle rectangle, la mesure du côté opposé à un angle de 30est égale à __________________________ . 40

Compléter une conjecture

Compléter une conjecture

homologues, les aires totales ainsi que les volumes des solides semblables. ComplĠtez l'ĠnoncĠ suiǀant ͗ Le rapport entre les ǀolumes de solides semblables est égal __________________________ . 41
deux nombres entiers est supérieur ou égal à chacun de ces deux nombres. 42

Tâche de conjecture : réfutation

43
mathématique est élevée, plus il y a de possibilités de gagner.

A-t-ilraison?

une norme plus grande que ces deux vecteurs. A-t-elle raison?

Tâche de conjecture : réfutation

le produit d'edžpressions edžponentielles ayant la mġme base, on conserǀe la base et on l'affecte d'un edžposant correspondant à la somme des exposants des facteurs. nombres impairs consécutifs commençant par 1 est un nombre carré. 44

Tâche de conjecture : validation

45
forme : où ׷ܽdemi-mesure de l'adže horizontal et ܾ l'ellipse, si ܽ൐ܾ pourquoi.

Tâche de conjecture : validation

triangle? base de la rğgle d'une fonction edžponentielle et les coordonnées des points sur la courbe dans cette fonction? 46
Tâche de conjecture : formulation (émission) d'une suite et la somme des ݊premiers termes de cette suite correspond à une fonction polynomiale de degré 2, soit la entre le neterme d'une suite et la somme des ݊premiers termes de cette suite.47

Exemple de modification

PFEQ, Deuxièmecycle, p. 133.

Tous les liens

Site officiel du MEES : programmes de mathématique technologie/mathematique/

Site du domaine de la mathématique

domaine.recitmst.qc.ca 48

Tous les liens

Site pour des questions du type QELI

wodb.ca Site de la Semaine des maths de l'UniǀersitĠ Laǀal www.semainedesmaths.ulaval.ca 49

Pour nous joindre

Direction de la formation générale des jeunes

FGJ-math@education.gouv.qc.ca

Mariannik Toutant

Geneviève Dupré

Conseillère pédagogique en prêt de services/domaine de la mathématiquequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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