[PDF] Vers les conjectures de Weil On s'intéresse ici à é

View - Download Vers les conjectures de Weil

Previous PDF

Next PDF

Vers les conjectures de Weil

Cécile Gachet, Yichen Qin, Élie Studnia,

sous la direction de Cyril Demarche

Résumé

La résolution d"équations polynomiales semble sous-tendre l"histoire des mathéma-

tiques, de l"époque pythagoricienne à la célèbre lettre de Galois, en passant par Cardan,

Lagrange, Abel, Gauss. C"est en travaillant à la suite des intuitions de Galois, et en les cristallisant en ce qui deviendra peu à peu l"algèbre moderne, que les mathématiciens de la deuxième moitié du XIX esiècle déplacent le problème. Dès lors, la question n"est plus de résoudre des équations, mais d"étudier la structure des ensembles de solutions dans différents corps. Parallèlement aux questions proprement galoisiennes de non-résolubilité, de nou- veaux problèmes apparaissent au début du XIX esiècle, à mi-chemin entre algèbre et arithmétique : après avoir montré indépendamment la loi de réciprocité quadra- tique, Gauss, Jacobi étoffent leur théorie des résidus quadratiques, et deviennent ainsi à même de dénombrer des solutions de diverses équations polynomiales modulop. Les ponts entre théorie des nombres et algèbre se multiplient tout au long du XIX esiècle jusqu"à l"avènement de la théorie algébrique des nombres et de la théorie analytique des nombres. Cependant, les outils arithmétiques élémentaires, les calculs astucieux et les questionnements naïfs des siècles passés tombent en désuétude. Si quelques ma- thématiciens se repenchent sur ces questions de comptage de solutions dans les années

1930-1940, ils ne s"y attardent pas et tentent surtout de relier ces problèmes au Graal de

l"époque : l"hypothèse de Riemann. Lorsqu"André Weil publie, en 1949, l"article [ Wei49 il va donc à l"encontre de la tendance contemporaine en se proposant de dénombrer le nombre de solutions à une équation de la formea0Xn0+...+arXnr=bdansFq, par des méthodes élémentaires. Mais Weil va plus loin : en introduisant une série formelle associée à son problème

de dénombrement, il remarque d"intéressantes propriétés, assez analogues à celles de la

fonction zêta de Riemann. Il énonce alors trois conjectures sur la fonction zêta d"une

variété algébrique générale. Ces conjectures suscitent l"engouement de la communauté

mathématique, qui travaillera pendant une bonne partie du XX esiècle à développer

l"analysep-adique et surtout à créer des outils algébriques à la hauteur des espérances

de Weil. La première conjecture de Weil est résolue par des méthodes analytiques par

Bernard Dwork en 1960 dans [

Dwo60 ], et finalement, Pierre Deligne propose en 1974 une preuve des trois conjectures de Weil basée sur les théories de Grothendieck. On s"intéresse ici à établir les conjectures de Weil dans le cas particulier de [ Wei49 et à présenter la preuve de la première conjecture de Weil donnée par Dwork en 1960, en s"appuyant essentiellement sur l"exposition de la preuve présentée dans [ Tao ]. En chemin, on développe par ailleurs quelques outils élémentaires d"arithmétique, comme les sommes de Gauss, plusieurs résultats de la théorie des corps finis, et des éléments d"analysep-adique. Les deux sections1et2sont largement indépendantes des sections3et4. 1

Table des matières

1 Quelques préliminaires de nature arithmétique

3

1.1 Des éléments de théorie des corps

3

1.2 Un peu d"arithmétique élémentaire

8

1.3 Séries formelles

11

1.4 Le théorème de Hasse-Davenport

15

2 Étude des hypersurfaces diagonales

18

2.1 Calcul du nombre de points des hypersurfaces diagonales

18

2.2 Fonction zêta d"une hypersurface diagonale

20

2.3 Vers une généralisation

24

3 Quelques résultats d"analysep-adique25

3.1 Des rudiments sur les anneaux valués

25

3.2 Le corpsQp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

3.3 Polynômes dansZpetQp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

3.4 Topologie, sommation et produits dans un anneau valué ultramétrique

34

3.5 Extensions de corps valués ultramétriques

41

3.6 Le corpsCp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

3.7 Lemme de préparation de Weierstrass

45

4 Rationalité de la fonction zêta

48

4.1 Un plan d"attaque

48

4.2 Lien entre majorations de|Nn|∞,|Nn|pet rationalité de la fonction zêta. . . 49

4.3 Relèvement de Teichmüller

54

4.4 Formule des traces

58

4.5 Décomposition de la fonction zêta

63

Références72

2

1 Quelques préliminaires de nature arithmétique

1.1 Des éléments de théorie des corps

vectoriel. DéfinitionOn dit quelest uneextension, ou unsurcorpsdek. Sa dimension comme k-espace vectoriel, si elle est finie, est ledegréde l"extension de corps. On le note[l:k]. On peut remarquer que la relation " être une extension de » est transitive. De plus, le degré, vu comme une application à valeurs dansN?{∞}, est multiplicatif : si on a une tour d"extensionsk?l?m, alors[m:l][l:k] = [m:k]. Exemple 1.1.1Le corpsCest une extension deRde degré deux. En revanche,Ret l"ensemble des nombres algébriques sont tous deux des extensions de degré infini surQ: Rpour une simple raison de cardinal, l"ensemble des nombres algébriques pour des raisons plus intéressantes 1. Un polynôme à coefficients danskpeut aussi être vu comme un élément del[X]. Ainsi,

on peut au choix étudier ses racines danskou dansl, et arriver à des résultats très différents.

Exemple 1.1.2Le polynômeX3+X-1est scindé dansC, a une racine dansRet est irréductible dansQ. On peut aussi adopter le point de vue inverse et voir certainsx?lcomme racines de

polynômes à coefficients dansk[X](on dit alors quexestalgébriquesurk). Les éléments de

lqui ne sont pas algébriques sont ditstranscendants. Les nombres algébriques sont un bon moyen de fabriquer des extensions de corps finies dont on connaît le degré. Lemme 1.1.1Soitx?lalgébrique surk. Alorsk[x] :={P(x)|P?k[X]}est un sous- corps del, et on a[k[x] :k] = deg(π), oùπengendre l"idéal{P?k[X],|P(x) = 0}. DéfinitionUn corpsΩest ditalgébriquement closlorsque tout polynôme deΩ[X]est scindé surΩ. Bien que tout corps ne soit pas algébriquement clos, on peut souvent se ramener à

travailler dans un surcorps algébriquement clos, grâce à un théorème de Steinitz, ici admis,

2 qui nous servira dans la section3: Théorème 1.1.1Soitkun corps. Il existe un surcorps algébriquement closΩdek, constitué

d"éléments tous algébriques surk, et il est unique à isomorphisme de corpsk-linéaire près.

On l"appelle la clôture algébrique dek.

Cette première approche des extensions de corps est suffisante pour comprendre l"essentiel

de l"exposé. Toutefois, certaines définitions et vérifications qui suivent peuvent sembler un

peu arbitraires si on s"arrête en si bon chemin dans l"étude des extensions de corps...Le

lecteur intéressé sera donc invité, plus loin, à lire un paragraphe d"introduction à la théorie

de Galois. ici admis 3: Proposition 1.1.2Soitkun corps. Tout sous-groupe fini dek?est cyclique. Citons un corollaire qui servira plus tard :1. qu"on ne développera pas ici

2. pour une preuve, consulter [

Tau08

3. pour des preuves, consulter [

Tau08 3 Corollaire 1.1.3SoientKun corps de caractéristique nulle,n≥1. SupposonsXn-1 scindé dansK. Alors il est scindé à racines simples et, pourd≥0, x?Kxn=1x d=n·1(n|d) PreuveLa dérivée deXn-1estnXn-1, scindée dansKde seule racine nulle, et0n-1?= 0, donc(Xn-1)??Xn-1 = 1, d"où la simplicité des racines. Soitd≥0. Sindivised, le résultat est alors clair. Supposons donc quenne divise pasd. Comme{x?K|xn= 1}est un sous-groupe de cardinalndeK, il possède un générateur g, etgd?= 1. Dès lors, x?Kxn=1x d=n-1? t=0(gt)d=n-1? t=0(gd)t=1-(gd)n1-gd= 0.

La proposition

2 p ermetde plus d"établir l"existence et l"unicité des corps fin is. Proposition 1.1.4Soitqun entier naturel. Il existe un corps fini de cardinalqsi et seulement s"il existeppremier,n?N?tels queq=pn. De plus, un tel corps est unique à isomorphisme près.

DéfinitionOn note ce corpsFq, et on l"appelle à bon droit le corps àqéléments. Doréna-

vant, la lettreqest réservée aux puissances de nombres premiers. Remarque 1.1.3Puisqu"on a maintenant établi l"existence du corps finiFq, la proposition 2 implique que F?qest cyclique. Ce résultat fondamental sera fréquemment utilisé par la suite. Proposition 1.1.5Pour toutppremier et toutkdivisantn?N?, on aFpk={x?Fpn| x pk=x}. En particulier,Fpk?Fpn. Proposition 1.1.6Soitl/k,m/kdes extensions finies de degrésdl,dmsur un corps finik. Soitnle plus petit surcorps engendré parletm. Alorsn/kest une extension finie de degré ppcm(dl,dm). Pour montrer tout cela, on utilise notamment les lemmes d"arithmétique admis suivants, qui resserviront aussi dans la section2: Lemme 1.1.7Soitkun corps. Soitn,m?N?. On a, dansk[X]:Xn-1|Xm-1ssin|m. Lemme 1.1.8Soitq?N\{0,1}. Soitn,m?N?. On a :qn-1|qm-1ssin|m.

On peut maintenant prouver la proposition

6 PreuveSoitx1,...,xdlune base delsurkety1,...ydmune base demsurk. Alorsn= k[x1,...,ydm]doncn/kest bien une extension finie. Soitdson degré surk. Par unicité des corps finis à unique isomorphisme près, on se ramène à la situation oùk=Fq,l=Fqdl,m=Fqdm,n=Fqd. De plus, par multiplicativité des degrés,ppcm(dl,dm)divised. D"autre part,letmsont inclus dans le corpsFqppcm(dl,dm), doncnaussi. Par conséquent, d|ppcm(dl,dm). Remarque 1.1.4Ce résultat tombe en défaut pour des extensions de corps générales : par exemple,Q[i]etQ[⎷2]sont deux extensions finies de degré deux surQmais le surcorps qu"elles engendrent estQ[i,⎷2]qui est de degré quatre surQ. On peut résumer les liens entre extensions de corps et corps finis par la figure 1 k?est divisible parp. 4 F p8F p30F p4F p6F p15F p2F p3F p5... F p Figure1 - Treillis de divisibilité et extensions de corps finis PreuveIl suffit de constater que les coefficients binomiaux sont entiers, quek?p k?=p?p-1 k-1? et quekest premier avecp. Proposition 1.1.10Soientpun nombre premier,q,rdeux puissances dep. Soitkle corps àqéléments. Alorsx?k?-→xr?kest un automorphisme. PreuveIl suffit de le montrer pourr=p, car notre application est une itérée def:x?-→xp) (afois, oùr=pa). Orfest clairement multiplicative, et d"après le lemme et la formule du binôme,fest additive, donc c"est un morphisme d"anneaux. Sa source est un corps, donc le morphisme est injectif, donc (kest fini) bijectif. DéfinitionSoientqune puissance d"un nombre premier,s≥1. Alors l"applicationx? F qs?-→xq?Fqsest appelée à bon droit l"automorphisme de Frobenius deFqs. ????? ?? ????? ???? ??? ????? ?????Les bases étant posées, on peut maintenant

s"intéresser à deux applications particulièrement intéressantes sur un corps fini : la norme et

la trace. DéfinitionSoitFqun corps fini,s?N?. On définit : la normenrqs,q:x?F?qs?→xxqxq2···xqs-1 la tracetrqs,q:x?Fqs?→x+xq+xq2+...+xqs-1 Lemme 1.1.11La norme est un morphisme de groupes surjectif deF?qsdansF?q. De plus, elle coïncide avec le morphismex?→xssurF?q.

PreuveOn fait les vérifications suivantes :

la nor meest à v aleursdans F?q: soitx?F?qs. Par définition des corps finis (proposition 5 ), il suffit de montrer quenr(x)q= nr(x). C"est bien le cas carxqs=xet le produit est cyclique. la norme e stclairemen tun morphisme ; soit a?F?q. Comme pour toutk?N?,aqk= (aq)qk-1=aqk-1=a, il vientnr(a) =as; la norme est surjecti ve: mon tronsque son no yauest de cardinal |F? qs||F?q|=qs-1q-1. Soit x?F?qs, notons lex=ξjoùξest un générateur deF?qs:nr(x) = 1équivaut à q s-1|j(qs-1)q-1, ce qui apgcd?qs-1q-1,qs-1?=qs-1q-1solutions. 5 Lemme 1.1.12La trace est une forme linéaire surjective deFqsdansFq. PreuveC"est le même genre de preuve que pour la norme : la trace est additiv e: c"est une somme d"itérées de morphismes de F robenius,donc une somme de fonctions additives; soien ta?F?q,x?Fqs. Comme pour toutk?N?,aqk=a, il vienttr(ax) =atr(x); la trace est à v aleursdans Fq: soitx?Fqs. Par définition des corps finis (proposition 5 ), il suffit de montrer quetr(x)q= tr(x). C"est bien le cas carx?Fqs?-→xqest additive,xqs=xet la somme est cyclique; la trace est surjec tive: soit x?Fqs,tr(x) = 0si et seulement sixest racine d"un certain polynôme de degréqs-1. Donc le noyau de la trace est de cardinal au plus q s-1, donc son image est de cardinal au moinsq, donc c"est bienFq.

De telles vérifications " à la main » aboutissent certes à une preuve correcte, mais elles

ne permettent pas vraiment de comprendre le bien-fondé des définitions de la norme et de la trace, qui semblent tout de même sortirex nihilo...Pour mieux motiver ces définitions,

on propose au lecteur intéressé le paragraphe suivant d"introduction à la théorie de Galois.

?????? ?? ??????? ?? ??????On rappelle ici quelques résultats de théorie de Ga- lois, dans le but de définir la norme et la trace d"une extension de corps d"une façon plus satisfaisante. 4

Soitl/kune extension de corps de degré fini.

Lemme 1.1.13Toutx?lest algébrique surk. On définit le polynôme minimal dex, P x?k[X], comme le polynôme unitaire de degré minimal tel queP(x) = 0. Il est irréductible. DéfinitionLes autres racines dePdans la clôture algébrique deksont appelées lesconju- guésdex. S"il y a exactementdeg(P)-1conjugués dex(iePest à racines simples dans la clôture algébrique dek), le polynômePet l"élémentxsont ditsséparables. DéfinitionL"extension de corpsl/kest ditegaloisiennesi : elle est séparable, ie toutx?lest séparable; elle est normale, ie pour toutx?l, tous les conjugués dexsont aussi dansl. Remarque 1.1.5Une extension galoisienne est doncalgébrique(toutx?lest algébrique surk). En revanche, elle n"est pas nécessairement de degré fini, puisqu"on peut a priori

trouver des éléments algébriques de degré arbitrairement grand dansl. On travaille désormais

dans des extensions galoisiennes en toute généralité, les extensions de degré fini sur les corps

finis en étant bien un cas particulier, d"après le lemme suivant. Lemme 1.1.14Toute extension de corps algébriquel/kde degré fini, oùkest un corps fini, est galoisienne. PreuveNotonspla caractéristique dek,q=|k|,r= [l:k], de sorte quek=Fq,l=Fqr, et notonsΩla clôture algébrique dek. SoitP?k[X]irréductible. Alors,D=P??P?k[X] est un diviseur deP. SiP?= 0, alorsP?k[Xp]donc, en vertu des propriétés du morphisme de Frobenius,P

est une puissancep-ième donc n"est pas irréductible, absurde! Supposons doncP??= 0.4. ces définitions resserviront régulièrement par la suite, tout particulièrement dans la sous-section3.5

pour construire des normes sur les extensions deQp 6 AlorsDest de degré strictement inférieur à celui deP, doncD= 1, donc toute racine zdePdansΩest simple, doncPest séparable. Doncl/kest séparable. Montrons maintenant le caractère normal de l"extension : soientx?l, soitPson poly- nôme minimal surk. Soitωl"ordre multiplicatif dex. Commeωdivise|l|-1, il est premier avecp, doncqest inversible dansZ/ωZ: on peut donc définitαl"ordre multiplicatif de qmoduloω. On a alorsk[x] =Fqα: commex?Fqαon a l"inclusion directe, etxn"est inclus dans aucunFqt,0< t < α, car six?Fqt,xqt-1= 1, doncqt= 1modω, doncα|t.

αracines distinctes dePet sont bien dansl.

Soitl/kune extension de corps.

DéfinitionOn définit :

la normenrl/k:x?l??→det(ux), oùux:y?l?→xyautomorphisme dek-espace vectoriel; la tracetrl/k:x?l?→tr(ux), pour le mêmeuxquesupra. Ainsi, la norme et la trace sont immédiatement des morphismes (del?dansk?et del danskrespectivement). Leur surjectivité est en revanche fausse dans le cas général.

Reste à faire le lien entre ces définitions et les définitions données pour les corps finis.

Proposition 1.1.15Soitl/kune extension de corps finie de degrén. Soitx?l,Pson polynôme minimal surk. SiP=d? i=0a iXiavecad= 1, alors : nr(x) = (-1)nan/d

0ettr(x) =-nd

ad-1.

PreuveSoits=nd

une décomposition delen sous-espaces stables parux. Dans chaqueEi, la matrice deux dans la base canonique est la matrice compagnon deP, d"où le résultat. Or(-1)da0(respectivement-ad-1) est le produit (respectivement la somme) dexet de ses conjugués. Pour des corps finis, on a montré dans la preuve du lemme 14 que les

minimal dex, et restent dans le corps fini. D"où la définition de la norme dans les corps finis.

Le paragraphe suivant sert à établir une dernière propriété dite de transitivité de la

norme et de la trace, qui sera très utile dans la suite. Soitl/kune extension finie de corps de degréd,Bune base delsurk. Àx?lon associe la matriceMxde l"endomorphismeuxdu paragraphe précédent. Soitr?N?. DéfinitionÀ une matriceA?Mr(l), on associe la matriceT(A)?Mrd(k), définie en remplaçant dansAchaqueai,jparMai,j. Remarque 1.1.6Commex?l?-→Mxsoit un morphisme d"anneauxk-linéaire et par les propriétés du produit par blocs,A?Mr(l)?-→T(A)?Mdr(k)est un morphismek-linéaire d"anneaux. Lemme 1.1.16SiA?Mr(l)est triangulaire supérieure (resp. inférieure), avec des1sur sa diagonale, il en est de même pourT(A). Corollaire 1.1.17SiA?Mr(l)est de déterminant1,T(A)aussi. PreuveLe groupeSLr(l)est engendré par les matrices de transvection, qui sont triangulaires avec des1sur la diagonale. 7 Lemme 1.1.18SiA?Mr(l)est diagonale de déterminantδ,T(A)est de déterminant nr l/k(δ).

PreuveCela découle des propriétés du déterminant diagonal par blocs, de la définition et

de la multiplicativité de la norme. Corollaire 1.1.19SiA?GLr(l),detT(A) = nrl/k(detA). PreuveIl suffit de décomposerAsous la formeA=BCavecB?SLr(l)etC?Mr(l) diagonale. Proposition 1.1.20Pour toutA?Mr(l),detT(A) = nrl/k(detA). PreuveOn écritA=PDQavecP,Q?GLr(l)etD?Mr(l)diagonale. Proposition 1.1.21Pour toutA?Mr(l), on atrT(A) = trl/k(trA).

PreuveEn notantA= (ai,j), on atrT(A) =?r

i=1trMai,i=?r i=1trl/k(ai,i) = trl/k(trA). Proposition 1.1.22SoitEunl-espace vectoriel de dimension finie. Soitf:E→E l-linéaire. AlorsEest également unk-espace vectoriel de dimension finie, etfest un endo- morphismek-linéaire deE. On anrl/k(detl(f)) = detk(f),trl/k(trlf) = trkf. PreuveNotons les vecteurs de la baseB= (u1,...,ud)delsurk, et soitC= (e1,...,er)une l-base deE. On sait alors queC?= (u1e1,u2e1,...,ude1,u1e2,...,ude2,...,u1er,...,uder) est unek-base deE. De plus, siAest la matrice defdans la baseC,T(A)est la matrice de fdans la baseC?. De la sorte,detkf= detT(A) = nrl/k(detA) = nrl/k(detlf). On procède de même pour la trace. Proposition 1.1.23Soitm/letl/kdes extensions finies de corps. On a : -nrl/k◦nrm/l= nrm/k; -trl/k◦trm/l= trm/k. PreuveSoitx?m. On sait quemest unk-espace vectoriel de dimension finie,f=x·Idm estm-linéaire. Doncnrm/k(x) = detk(f) = nrl/k(detl(f)) = nrl/k◦nrm/l(detmf) = nrl/k◦ nr m/l(x); on fait de même pour la trace.

1.2 Un peu d"arithmétique élémentaire

Revenons maintenant à de l"arithmétique du XIX esiècle. On rappelle ici la définition des caractères, et on introduit les sommes de Gauss et les sommes de Jacobi, dont on montre quelques propriétés. DéfinitionSoitGun groupe. UncaractèredeGest un morphisme de groupesχ:G→C? (respectivementC). Fixonsξun générateur deF?q. CommeF?qest cyclique, on dispose de caractères multi- plicatifs

5non triviaux sur un corps fini, un caractère étant entièrement donné par le choix

d"une racineq-1-ième de l"unité dansC. Ainsi, pour toute(q-1)-ième racine de l"unitée2iπα(c"est-à-dire telle queαmod1? {0,1q-1,...,q-2q-1}:=1q-1[[0,q-2]]), on noteχFqαle caractère associé. Dans la suite, on s"autorise à confondreαetαmod1et à omettre l"exposantFqs"il n"y a pas ambiguïté. DéfinitionSiα?Z,χαest appelé lecaractère trivial.

On dispose d"un résultat général utile :5. c"est-à-dire de caractères pour le groupe multiplicatif (F?q,·); on peut aussi définir les caractères additifs

comme les caractères pour le groupe (Fq,+).quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] les conjonctions de coordination en français pdf

[PDF] Les connaissances du soda

[PDF] les connaissances pour pharmacie

[PDF] les connecteurs chronologiques pdf

[PDF] les connecteurs d'un texte argumentatif

[PDF] Les connecteurs et expression écrite

[PDF] les connecteurs exercices

[PDF] Les connecteurs logique

[PDF] Les connecteurs logiques

[PDF] les connecteurs logiques dans un texte argumentatif

[PDF] les connecteurs logiques dans un texte argumentatif pdf

[PDF] les connecteurs logiques et leurs fonctions

[PDF] les connecteurs logiques exemples

[PDF] les connecteurs logiques exercices corrigés pdf

[PDF] les connecteurs logiques exercices pdf