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Théorie des nombres

JEAN-PIERRESERRE

(définitionsetconjectures) Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome 11, no2 (1969-1970), exp. n o19, p. 1-15 © Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1969-1970, tous droits réservés. L"accès aux archives de la collection " Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théo- rie des nombres » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression sys- tématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 19-01 FACTEURS LOCAUX DES FONCTIONS ZÊTA DES VARIÉTÉS

ALGÉBRIQUES

(DÉFINITIONS ET

CONJECTURES)

par

Jean-Pierre SERRE

Séminaire DELAMGE-PISOT-POITOU

(Théorie des

Nombres)

l1e année, 1969/70, n° 19, 15 p.

11 mai 1970

1. Position du

problème 1.1.

Conjectures

standard sur les corps finis.

Rappelons

brièvement en quoi elles consistent (voir ~6 ~! C~ ~, ~ 19 ~~ pour plus de détails).

On se donne un entier m

>~ 0 et une variété projective non singulière

Y sur un

corps fini k à q p f

éléments. On note

y ~ ~ Y l 'endomorphisme de

Frohenius de Y .

Soit k une clôture

algébrique de k , et soit Y = Y "k k la variété déduite de Y par extension des scalaires de k à k . Si £ est un nombre premier ~ p ,

M. Artin et A. Grothendieck ont défini le

groupe de cohomologie Hm (Y , Ql) et montré que c' est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps Ql des nom- bres l-adiques (cf. [2]). Par fonctorialité,

TT induit un

endomorphisme de

H (Y y Q ) 9 ~cela permet

de définir le polynôme qui est à coefficients dans Z~ . De plus, le produit coïncide ~cf. ~ 2 ~~ avec la fonction zêta de Y au sens de ~'eil ~ ~ 13~, ~ 19 ~~ ; en particulier, c'est une fonction rationnelle de T 9

à coefficients

da.ns ~ a et elle ne dépend pas du choix Les "conjectures standard" pour une dimension m donnée consistent en les deux assertions suivantes : Le polynôme est à coefficients dans Z et ne dépend pas du choix du nombre premier l . (On peut donc le noter P m ~T~ , sans préciser £ . ) C2 (conjecture de Weil) - Si l'on décompose Pm(T) sur C en facteurs linéaires (1 - T) , on a

IÀ.I

qm/2 pour tout i.

Pour m ces assertions sont

vraies, car

équivalentes

à des résultats clas-

siques de 'Weil ([18 ]; §§ IX, X) .

Pour m

& 2 , par contre, on sait peu de choses, faute d'avoir pu transposer en caractéristique p les résultats de la théorie

1.2. Les "bons facteurs" des fonctions zêta sur les

corps globaux.

Notations.

La lettre K

désigne un cor s global,

1. e, un

corps de nombres algébriques ou un corps de fonctions d'une variable sur un corps fini. On note 03A3K (resp.

03A3~K )

l 'ensemble des places ultramétriques (resp. archimédiennes) de K . Si v G

I§ ~ 03A3~K ,

On note K ie

complété de Il pour v . Si v est ultramétrique, on note 0 , v v k( v) et pv l'anneau de valuation de I( v ,son corps résiduel et sa caractéristi- que résiduelle; on pose Nv =

Card(k(v)) ;

on a

La lettre X

désigne une variétéquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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