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2015-2016, Licence 3

èmeannée

parcours Mathématiques M66, Modélisation et analyse numériqueTP2 : Interpolation par morceaux et splines

Vous êtes invités à créer le fichiertp2_fonction.sciqui sera complété au fur et à mesure avec

les nouvelles procédures. Pour chaque exercice, il va falloir créer les fichierstp2_exo0.sce, ...,tp2_exo3.sce, comportant les lignes de code correspondant à la résolution de l"exercice et incluant au début le fichiertp2_fonction.sciet les autres initialisations habituelles (clear,clc,...).En cas de blocage, commencez toujours par regarder l"aide ou sur Google !!

Présentation et indications

On se propose ici de procéder à l"interpolation d"une fonctionfdéfinie sur un intervalleI= [a,b]par utilisation de fonctions polynomiales par morceaux. On découpe donc l"intervalle en nsous-intervalles de même longueurh= (b-a)/ndéfinis parIi= [xi-1,xi], avecxi=a+ih, varier selon les exercices). a=x0I1x1I2x2IkxkInxn=bf

Exercices

Exercice 0(Détermination de l"intervalle)

Avant de procéder aux différentes interpolations, on va créer une fonction utilitaire. Cette

fonction nous permettra étant donné unx?[a,b[de déterminer le sous intervalle d"appartenance.aI

1I 2I kx.I

nbk=IndexInterval(a,b,n,x)Pour cela, créez dans le fichiertp2_fonction.sciune fonction[k]=IndexInterval(a,b,n,x).

Cette fonction doit satisfaire les conditions suivantes : Étan tdonnés les b ornesaetb, le nombre de sous intervallesnet un vecteurx, elle doit retourner un vecteurk, de la même taille quex, qui contient les indices des intervalles contenant les coordonnées dex. P ourdes raisons tec hniques,on demande en plus que si une co ordonnéede xest inférieure

àa, la valeur correspondante rendue doit être1, et si elle est supérieure àb, elle doit être

n.

Indications :

a)Avant de débuter la création de la fonction, testez et commentez le code suivant test = [-1.3 -0.5 0.7 1.3 2 3.7]; disp(ceil(test));disp(max(test ,1));disp(min(test ,2)); b)Créez d"abord la fonction pour qu"elle fonctionne avec une valeur uniquex. Puis testez-la par exemple avecIndexInterval(0,1,3,.5)(le résultat doit être2).

c)Une fois la fonction marche avec un vecteurx, vérifiez que l"instructionIndexInterval(0,1,3,[-1,0,.5,1,2])

renvoie1. 1. 2. 3. 3..

Exercice 1(Interpolation constante par morceaux)

Dans cet exercice, on va approcher une fonctionfpar une fonction constante par morceaux. a)Une fonction constante par morceaux surnsous-intervalles deI= [a,b], de longueur

constante, peut être encodée par un vecteurv= (v1,...,vn):aI1v1I2v2IkvkInbvnCréez la fonction[y] = ConstPiecewise(a,b,v,x)qui, étant données les bornesa,b

et les valeurs des hauteurs des paliersv, renvoie les valeursyde la fonction constante par morceaux aux pointsx. Puis pour tester son fonctionnement, dessinez (en utilisant1000points) la fonction constante par morceaux sur[-12 ,32 ]qui a pour hauteur des paliersv= (0,2,-1,1). Profitez de l"occasion pour rajouter, en plus de la légende, une grillexgrid(5, 1, 7) visible sur la boîte de coordonnéesaxes.data_bounds= [-1,2,-2,3], oùaxes=gca().

Le résultat devrait ressembler à ça :b)On se propose maintenant de construire une fonctions0constante sur chaque intervalle

I itelle ques0|Ii(x) =f(xi-12 ), oùxi-12 = (xi-1+xi)/2. En supposant quef?C1(I), on rappelle que : M1, oùM1est un majorant def?surI. (1) P ourcela, créez une fonction [v,t] = InterpConst(a,b,n,f)qui étant donnée une fonctionfrenvoie danstles valeurs desxi-12 pouri= 1,...,n, et envles valeurs de fen ces points. (2) Soit f= sin(x)sur[-5,5]. En utilisant les fonctions précédemment définies,InterpConst etConstPiecewise, dessinez (en utilisant 1000 points) sur un même graphique : la fonction f, la fonction d"in terpolationconstan tepar morceaux s0, les p ointsd"in terpolation(xi-12 ,f(xi-12

Le résultat devrait ressembler à ça :(3)P ourn=2,4,...,2^10calculez l"erreur d"interpolation (en norme infinie). Représentez

ensuite sur un même graphique (en échelle logarithmique) cette erreur et la majoration théorique de l"erreur.

Exercice 2(Interpolation affine par morceaux)

Dans cet exercice, on va approcher une fonctionfpar une fonction affine par morceaux. a)Une fonction affine par morceaux surnsous-intervalles deI= [a,b]de longueur constante,

peut être encodée par un vecteurv= (v1,...,vn+1):aI1v1I2v2Ikvkvk+1Inbvnvn+1Créez la fonction[y] = AffinePiecewise(a,b,v,x)qui, étant données les bornesa,b

et les valeurs aux noeudsv, renvoie les valeursyde la fonction affine par morceaux aux pointsx. Puis pour tester son fonctionnement, dessinez (en utilisant1000points) la fonction affine par morceaux sur[-12 ,32 ]qui a pour valeurs aux noeudsv= (0,2,-1,1,0). Le résultat

devrait ressembler à ça :b)On se propose maintenant de construire la fonctions1affine sur chaque intervalleIiet

qui coïncide avecfaux pointsxietxi+1: s

1|Ii(x) =(xi+1-x)f(xi) + (x-xi)f(xi+1)h

En supposant quef?C2(I), on rappelle que :

M2, oùM2est un majorant def??surI. On va suivre le même schéma que dans l"exercice précédent. (1) Cré ezune fonction [v,t] = InterpAffine(a,b,n,f)qui étant donnée une fonction frenvoie danstles valeur desxipouri= 0,...,n, et envles valeurs defen ces points. (2) Soit f= sin(x)sur[-5,5]. En utilisant les fonctions précédemment définies,InterpAffine etAffinePiecewise, dessinez (en utilisant 1000 points) sur un même graphique : la fonction f, la fonction d"in terpolationaffine par morceaux s1sur10intervalles, les p ointsd"in terpolation(xi,f(xi)).

Le résultat devrait ressembler à ça :(3)P ourn=2,4,...,2^10calculez l"erreur d"interpolation (en norme infinie). Représentez

ensuite sur un même graphique (en échelle logarithmique) cette erreur et la majoration théorique de l"erreur.

Exercice 3(Interpolation par splines)

Dans cet exercice, on va approcher une fonctionfpar une spline cubique (fonctionC2 polynomiale de degré3par morceaux). a)Dans cette question on va déterminer les coefficients d"un polynôme cubique à partir des données d"interpolation d"Hermite. Pour commencer, écrire une procédure [p] = CubicCoeffs(x1,x2,y1,y2,d1,d2) qui détermine les coefficientspdu polynômeP(x) =p1+p2x+p3x2+p4x3qui a pour valeursy1enx1ety2enx2, et dont les dérivées dans ces deux points sont respectivementd1etd2. Pour vérifier que votre procédure fonctionne, testez-la avec CubicCoeffs(0,1,2,3,4,5)et le résultat devrait être2. 4. - 10. 7.(éventuellement en colonne).

P=CubicCoeffs(x1,x2,y1,y2,d1,d2)d1d2x1.x2.y1y2b)Écrire la procédure[y] = CubicEval(p,x)qui, étant donnés les coefficientspd"un

polynôme et un vecteurx, évalue ce polynôme en les coordonnées dex. Pour vérifier que votre procédure fonctionne, testez-la avecCubicEval([1:4],[-1:1])et le résultat devrait être- 2. 1. 10.. c)En utilisant les procéduresCubicCoeffsetCubicEval, dessinez la base d"Hermite sur [0,1], c"est-à-dire les4polynômes qui ont une seule des valeursP(0),P(1),P?(0),P?(1) non nulle, égale à1. d)En utilisant les procédureCubicCoeffsetCubicEval, dessinez les polynômesPsur[0,1] tels queP(0) = 0,P(1) = 1,P?(1) =-7etP?(0)prend les valeurs entières de-10à10.

e)Il est temps maintenant de créer la procédure qui évalue la spline cubique d"interpolation.

Pour cela créez la procédure[y] = CubicSplin(a,b,v,x)qui a pour entrées :

Les b ornesaetbde l"intervalle d"interpolation.

Les v aleursv=[v(1), v(2), ..., v(n+1)]d"interpolation auxn+ 1noeuds équi- distribués. Les p ointsxdans lesquels il faut faire l"évaluation. Cette procédure doit renvoyer les valeursyde la spline naturelle aux pointsx. a=t0 I 1 t 1 v 0 I 2 t 2 v 1 v 3 I k t k v k-1 v k I n t n=b v n-1 v n d 1 d 2 d 3 d k-1 d k d n-1 d nLa procédureCubicSplindevra dans l"ordre : Créer le v ecteurtdesn+ 1noeuds équi-distribués d"interpolation. En utilisan td =splin(t,v,"natural"), déterminer les valeurs des dérivées aux noeuds d"interpolation. En utilisan tIndexIntervalde l"exercice1, déterminer les intervalles dans lesquels se trouvent les pointsx. En utilisan tCubicCoeffsetCubicEval, déterminer les valeurs desyà partir des informations précédemment obtenues. Pour vérifier que votre procédure fonctionne, testez-la avec

CubicSplin(0,1,[0,2,1],[0:.2:1])

et le résultat devrait être

0. 1.052 1.816 2.016 1.652 1.

f)Reprendre la question 2.(b) de l"exercice2, pour représenter la fonctionsin(x)sur[-5,5], ainsi que la spline cubique naturelle qui l"interpole sur10intervalles de longueur constante. Pour cela normalement il suffit de remplacer la fonctionAffinePiecewiseparCubicSplin. g)Modifiez la fonctionCubicSplin(ou créez une nouvelle fonctionCubicSplinClamped) qui permet à la place desplin(t,v,"natural")d"utiliserd =splin(t,v,"clamped",bd) pour obtenir une interpolation par spline tendue avec des dérivées aux bordsbd(1)en a, etbd(2)enb. Puis rajouter le graphe de la spline cubique tendue d"interpolation desin(x)sur le graphique de la question précédente. h)Pourn=2,4,...,2^10calculez l"erreur d"interpolation par splines cubiques naturelles et tendues (en norme infinie). Puis représentez-les sur un même graphique (en échelle logarithmique). i)Dessinez la base cardinale des splines cubiques sur les noeuds{0,1,2,3}.quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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