[PDF] Chapitre 4.9a – La quantité de mouvement relativiste

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1 Chapitre 4.9a - La quantité de mouvement relativiste

La conservation de la quantité de mouvement

La quantité mouvement

pv permet d'évaluer l'état de mouvement d'un objet ou d'un système. Selon Newton, lorsqu'il n'y a pas de force extérieure exercée sur un système (

0ext=Fv), cette quantité

doit être conservée (1 re loi de Newton). C'est ce qui se produit lors d'une collision. Plusieurs forces normales sont en jeux, mais puisqu'elles se retrouvent en paire action-réaction, leurs influences ne modifient pas la quantité de mouvement du système (3 e loi de Newton). https://abdurahmaankenny.wordpress.com/ En mécanique classique, la quantité de mouvement pv se définit comme étant le produit de la masse de l'objet au repos m multipliée par la vitesse ordinaire de l'objet vv (vmpvv=). Puisque la vitesse dépend

du choix de référentiel, la quantité de mouvement aussi dépend du choix de référentiel. Cependant, le

1

er postulat de la relativité impose que les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentiels

inertiels. S'il existe un référentiel inertiel observant la conservation de la quantité de mouvement, alors

tous les autres référentiels doivent observer également cette conservation, mais avec des valeurs

numériques différentes.

La quantité de mouvement relativiste

En relativité, nous devons modifier l'expression de la quantité de mouvement classique vmpv= puisqu'elle n'est valide que dans le référentiel de l'objet en mouvement. Dans ce référentiel, cette quantité de mouvement est nulle puisque l'objet est immobile dans son référentiel. Ainsi, pour préserver la conservation de la quantité de mouvement dans tous les référentiels, il faut reformuler la quantité de mouvement. Ainsi, l'expression relativiste de la quantité de mouvement d'une masse au repos m qui est observée se déplaçant à une vitesse vv sera égale à l'expression suivante : vv x y z

Référentiel observant

l'objet en mouvement pv vmpvvγ= (expression vectorielle) xxxmvpγ= (selon l'axe x uniquement) où pv : Quantité de mouvement de l'objet (m/skg?) m : Masse de l'objet mesuré au repos (kg) vv : Vitesse de l'objet (m/s) (222 zyxvvvv++=v) γ : Facteur de Lorentz associé à l'objet (22/1/1cv-=γ , 2 21/ 1 /x xv cγ= -) Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 Preuve :

Considérons une particule O immobile

dans son propre référentiel possédant une masse égale à m. Étant immobile, sa quantité de mouvement dans son référentiel est nulle ce qui donne 0dd OO OO ===trmvmp vvv . 0O=vv O Ox Oy Oz

Référentiel O

OAvv O Ax Ay A Az Aw xθ yθ

Référentiel A

Considérons maintenant un référentiel

A observant la particule O en mouvement à vitesse OAvv selon un axe w tel que 2 OA2 OA2

OAOAOAOA

zyxwvvvvvv++===v et permettant de décomposer la vitesse selon l'axe x, y et z tel que ()xwxvvθcosOAOA=, ()ywyvvθcosOAOA=, ()zwzvvθcosOAOA= .

Utilisons la transformation de Lorentz de

O vers A selon l'axe w

()OOAOOAAtvwww+=γ avec 22

OAOA/1/1cv-=γ

afin de définir la position de la particule O dans le référentiel A en fonction du temps pour représenter la quantité de mouvement Awp de la particule O dans le référentiel A à l'aide d'une dérivée par rapport

au temps dans le référentiel O étant le temps propre (dérivée par rapport au temps propre) :

Puisque la particule est uniquement immobile dans le référentiel

O, alors nous avons

()OOAOOAAtvwww+=γ ⇒ ( )OOAOOA OOAdd ddtvwttww+=γ OA OO OA OAdd ddwwvtw twγ ⇒ OAOA

OAddwwvtwγ= (0dd

OO O ==twvw) ⇒ OAOA OAddwwvmtwmγ= (Multiplier par l'invariant m) ⇒ OAOAAwwwvmpγ= (Définition : OAAd/dtwmpw=)

Puisque l'axe

w est décomposable selon l'axe x, y et z par des règles de trigonométrie, nous pouvons affirmer vectoriellement que

OAOAAvmpvvγ=

avec OAOAAxxvmpγ= , OAOAAyyvmpγ= et OAOAAzzvmpγ= . ■ Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3

Situation A : La collision élastique relativiste d'un électron et d'un positron. Dans un accélérateur de

particule, un électron ( kg1011,931 e-×=m) se déplace vers la droite avec une vitesse de c7,0 et entre en collision élastique avec un positron (kg1011,931 e-×=m) se déplaçant vers la gauche avec une

vitesse de c7,0 . Après la collision, l'électron se déplace vers le bas avec une vitesse de c7,0 et le

positron se déplace vers le haut avec une vitesse de c7,0 . On désire vérifier si la quantité de

mouvement relativiste xxmvpγ= est conservée (a) selon l'accélérateur de particule et (b) selon un

observateur se déplaçant vers la droite à c7,0 par rapport à l'accélérateur de particule.

Dans ce problème, nous avons deux référentiels et deux objets à étudier : A : L'accélérateur de particule 1 : Électron

B : Observateur à c7,0 2 : Positron

Voici deux représentations graphiques du mouvement de l'électron et du positron selon nos deux

référentiels : Selon l'accélérateur de particule Selon l'observateur à c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 2Bxv 2Bv 1Bv Selon l'accélérateur de particule, nous avons les mesures de vitesses suivantes : Vitesses des particules (selon le référentiel de l'accélérateur A)

Vitesse initiale Vitesse finale

l'électron positron l'électron positron cvx7,0A1= 0

A1=yv cv

x7,0A2-= 0

A2=yv 0

A1=xv cv y7,0A1= 0 A2=xv cv y7,0A2-=

Vitesse relative entre les référentiels

Vitesse de l'observateur B par rapport à l'accélérateur A cvx7,0BA= Vitesse de l'accélérateur A par rapport à l'observateur B cvx7,0AB-=

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4 Évaluons la quantité de mouvement classique selon l'axe x de l'électron

1 et du positron 2 avant

collision et après la collision selon l'accélérateur A :

Avant la collision : (Référentiel

A) Électron 1 : A111AA1xxvmpγ= ⇒ ()()cpx7,01011,931

1AA1-×=γ

⇒ 1A22

A110913,1γ-×=xp (22

A11A/1/1cvx-=γ)

Positron 2 :

A222AA2xxvmpγ= ⇒ ()()cpx7,01011,931

A2A2-×=-γ

⇒ A222

A210913,1γ-×-=xp (22

A22A/1/1cvx-=γ)

Après la collision : (Référentiel

A) Électron 1 : A11A2A1xxvmpγ= ⇒ m/skg0A1?=xp ( 0A1=xv)

Positron 2 :

A22A2A2xxvmpγ= ⇒ m/skg0A2?=xp ( 0A2=xv)

(a) Nous observons qu'il y a conservation de la quantité de mouvement selon l'accélérateur (A) :

∑∑=ifppvv ⇒ ixixfxfxppppA2A1A2A1+=+ ⇒ ()()()()A222 ⇒ 00= ■ (car A2A1γγ= puisque A2A1xxvv=)

Évaluons la vitesse selon l'axe

x de l'électron 1 et du positron 2 selon l'observateur B à c7,0 . Pour ce

faire, nous devons utiliser les transformations de Lorentz des vitesses parallèles du référentiel de

l'accélérateur A vers le référentiel de l'observateur B :

Avant la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

cv cvvvv xxxx x

ABA1ABA1

B11 cc ccccvx7,07,017,07,0B1 ⇒ 0B1=xv

Positron 2 :

cv cvvvvxxxx x

ABA2ABA2

B21 cc ccccvx7,07,017,07,0B2 ⇒ cvx9396,0B2-=

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 5 Après la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

cv cvvvvxxxx x

ABA1ABA1

B11 cc cc vx7,0017,00B1 ⇒ cvx7,0B1-=

Positron 2 :

cv cvvvvxxxx x

ABA2ABA2

B21 ⇒ cvx7,0B2-= (Idem : B1B2xxvv=) Après avoir réalisée ces transformations de vitesse dans le référentiel

B à c7,0 , nous avons les

informations suivantes : Selon l'accélérateur A de particule Selon l'observateur B à c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c7,0 c9396,0 2Bv c7,0 c7,0 1Bv

Pour évaluer la quantité de mouvement, nous aurons besoin également de transformer les vitesses selon

l'axe y. Pour ce faire, nous aurons besoin de calculer le ABγ de transformation de A vers B : 22

ABAB/1/1cvx-=γ ⇒ ( )22AB/7,011

cc--=

γ ⇒ 40,1AB=γ

Évaluons la vitesse selon l'axe

y de l'électron 1 et du positron 2 selon l'observateur B à c7,0 . Utilisons

la transformation de Lorentz des vitesses perpendiculaires du référentiel de l'accélérateur A vers le

référentiel de l'observateur B :

Avant la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

A12AB ABA1

B11xxy

yvcvvvγ ⇒ 0B1=yv ( 0A1=yv)

Positron 2 :

A22AB ABA2

B21xxy

yvcvvvγ ⇒ 0B2=yv ( 0A2=yv)

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 6 Après la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 :

A12AB ABA1

B11xxy

yvcvvvγ -+=07,0140,17,02B1cccv y ⇒ cvy5,0B1=

Positron 2 :

+=A22AB ABA2

B21xxy

yvcvvvγ

07,0140,17,02B2cccv

y ⇒ cvy5,0B2-=

Évaluons maintenant le module des vitesses

Bv de chaque particule avant et après la collision dans le référentiel B :

Avant la collision : (Référentiel B)

Électron 1 : 2

B12

B1B1yxvvv+= ⇒ 0B1=v ( 0B1=xv, 0B1=yv)

Positron 2 :

2 B22 B2B2yxvvv+= ⇒ cv9396,0B2= (cvx9396,0B2-=, 0B2=yv)

Après la collision : (Référentiel B)

Électron 1 : 2

B12

B1B1yxvvv+= ⇒ ( ) ( )22

B15,07,0ccv+-= ⇒ cv860,0B1=

Positron 2 :

2 B22 B2B2 yxvvv+= ⇒ ( ) ( )22

B25,07,0ccv-+-= ⇒ cv860,0B2=

Voici un tableau synthèse des vitesses selon le référentiel de l'observateur à c7,0 (B) :

Vitesses des particules (selon l'observateur B)

Vitesse initiale Vitesse finale

l'électron positron l'électron position

0B1=xv

0 B1=yv cvx9396,0B2-=

0B2=yv

cvx7,0B1-= cvy5,0B1= cvx7,0B2-= cvy5,0A2-=

0B1=v cv9396,0B2= cv860,0B1= cv860,0B2=

Représentation graphique des vitesses ci-haut

c9396,0 c860,0 c7,0 c7,0 c860,0 c5,0 c5,0

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 7 Évaluons la quantité de mouvement relativiste

xxmvpγ= selon l'axe x de chaque particule avant et après la collision selon le référentiel de l'observateur à c7,0 (B) :

Avant la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 : B11B1B1xxvmpγ= ⇒ B1122

B1B1/11

xxvm cvp 22

B1B1/11

cv-= ⇒ ( )()( )01011,9 /01131 2

2B1-×

cpx ⇒ m/skg0B1?=xp

Positron 2 :

B22B2B2xxvmpγ= ⇒ B2222

B2B2/11

xxvm cvp 22

B2B2/11

cv-= ⇒ ( )()( )c ccpx9396,01011,9 /9396,01131 2

2B2-×

⇒ m/skg10503,722

B2?×-=-

xp

Après la collision : (Référentiel

B)

Électron 1 : B11B1B1xxvmpγ= ⇒ B1122

B1B1/11

xxvm cvp 22

B1B1/11

cv-= ⇒ ( )()( )c ccpx7,01011,9 /860,01131 2

2B1-×

⇒ m/skg10749,322

B1?×-=-

xp

Positron 2 :

B22B2xxvmpγ= ⇒ m/skg10749,322

B2?×-=-

xp (Idem : B1B2xxvv=)

Nous observons qu'il y a conservation de la quantité de mouvement selon l'observateur B à c7,0 :

∑∑=ifppvv ⇒ ixixfxfxppppB2B1B2B1+=+ ⇒ ()()()()22222210503,7010749,310749,3---×-+=×-+×- ⇒ 22221050,71050,7--×-=×- ■ Ainsi, nous pouvons affirmer que la définition classique de la quantité de mouvement vmpvv= ne peut pas être utilisée à haute vitesse

1, car elle n'est plus conservée ce qui serait en contradiction avec

le 1 er postulat de la relativité.

1 Dans l'exercice précédent, une définition classique de la quantité de mouvement ne serait pas conservée dans le

référentielle B car le résultat serait : ∑∑=ifppvv ⇒ 222210568,210826,3--×-≠×- Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 8 Situation B : La guerre des étoiles mortes, partie 1. Dans une guerre futuriste où deux civilisations possèdent une technologie leur permettant de lancer des trous noirs (étoile morte très massive) à haute vitesse, deux trous noirs A et B se dirigent l'un vers l'autre. Selon la galaxie, le trou noir A ayant une masse mA = 60 × 1030 kg se déplace 0,3 c et le trou noir B ayant une masse de mB = 40 × 1030 kg se déplace à 0,5 c. Les deux trous noirs sont initialement espacés par une distance très grande (l'énergie gravitationnelle du système est nulle). http://fr.wikipedia.org/wiki/Trou_noir

Image simulée d'un trou noir stellaire.

On désire (a) évaluer la quantité de mouvement du système constitué des deux trous noirs A et B après

la collision sachant qu'elle sera parfaitement inélastique et (b) peut-on évaluer la vitesse du système

des deux trous noirs après la collision ? (Remarque : La masse solaire est de 1,99 × 1030 kg.) Évaluons la quantité de mouvement du trou noir A considérant qu'il se déplace dans le sens positif de l'axe x : ixxixvmpAAAγ= ⇒ ix ixixvm cvpAA22 AA/11 -= (Remplacer

22/1/1cv-=γ)

⇒ ( )( )cm ccpix3,0 /3,011A22A-= (Remplacer valeurs num.) ⇒ AA3145,0mcpix= (Calcul) ⇒ m/skg10661,539

A?×=ixp (Évaluer ixpA)

Évaluons la quantité de mouvement du trou noir B considérant qu'il se déplace dans le sens négatif de l'axe x : ixxixvmpBBBγ= ⇒ ix ixixvm cvpBB22 BB/11 -= (Remplacer

22/1/1cv-=γ)

⇒ ( )( )cm ccpix5,0 /5,011B22B- --= (Remplacer valeurs num.) ⇒ BB5774,0mcpix-= (Calcul) ⇒ m/skg10929,639

B?×-=ixp (Évaluer ixpB)

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 9 Évaluons la quantité de mouvement du système composé des deux trous noirs après la collision en

appliquant la conservation de la quantité de mouvement sachant que la force gravitationnelle est une

force interne au système ne créant par d'impulsion externe extxJ : extxixfxJpp+= ⇒ ixixfxfxppppBABA+=+ ( 0ext=xJ) ⇒ ixixfxpppBABA+=+ (Collision parf. inélas.) ⇒ ()()3939 BA10929,610661,5×-+×=+fxp (Remplacer val. num.) ⇒ m/skg10268,139

BA?×-=+fxp (a) (Évaluer fxpBA+)

(b) Malheureusement, nous ne pouvons pas évaluer la vitesse du système des deux trous noirs avec

l'équation fxxfxvmpBABABA+++=γ où 22
BA/11 cvfxx en isolant fxvBA+ dans l'équation, car nous ne savons pas quelle sera la masse du système après laquotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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