[PDF] Travaux dirigés : Flocon de Von Koch I. Introduction II. Définition III

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I. Introduction

Niels Fabian Helge Von Koch, (Suédois 1870-1924) est un mathématicien qui a donné son nom à l"une des premières

fractales : le flocon de Koch ou flocon de neige.

Il a décrit le flocon auquel on a donné son nom en 1904 dans un article intitulé Sur une courbe continue sans tangente,

obtenue par une construction géométrique élémentaire.

Le mot " fractal » vient du latin " fractus » qui signifie " brisé ». En effet, une figure fractale est une figure géométrique

la figure, on dit qu"elle est auto similaire.

On attribue la découverte des fractales à un polytechnicien français, Benoît Mandelbrot (1924-2010). Ses premières

recherches datent de 1964 où il emploie le terme de self-similar lors d"une étude réalisée chez IBM. Mais c"est en 1975

qu"il expose ses travaux et donne le nom de " fractale » dans son ouvrage "Les objets fractals.

II. Définition

Le flocon de Von Koch est défini à partir d"un triangle équilatéral de périmètre 1 (étape i=0)auquel on construit ex-

térieurement au triangle de manière régulière trois triangles équilatéraux de côté le tiers du triangle précédent (étape

i=1) on répète la construction aux étapes suivantes.III. Travail à faire 1.

P ourt outent ierion note :

•nile nombre de côtés de la figure à l"étapei •cila longueur d"un côté de la figure à l"étapei •ail"aire de la figure à l"étapei •pile périmètre de la figure à l"étapei.

Compléter l"algorithme et le programme sur Python qui donnent les quatre variables de la figure de Von Koch

à l"étapeI.

nÃ3 cÃ13 aÃ.... pÃ...

Pour i variant de 1 à I faire

cÃ... aÃ... nÃ... pÃ...

Fin pour

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd1/3

1#flocond eV onk och2fromm athi mport*3

4defV onKoch(I ) : 5n=36c=1/37A=...8p=...9fori i nr ange(1, I +1): 10c =...11A=...12n=...13p=...14return( n,c, A,p)vonkoch.py

2.

J ustifierl esexp ressionssuiv antes:

•niAE3£4i •ciAE13 iÅ1•AiAE2p3 45

¡3p3

180

£µ49

i (voir annotation 1) •piAEµ43 i note 1: calculer de deux manières (ai¡ai¡1)Å(ai¡1¡ai¡2)Å...Å(a1¡a0). 3.

Do nnerles l imitesdes su ites

(ai)et¡pi¢ 4. (pour a llerplu sloi n: p rogrammerla fig ure)1fromt urtlei mport*2

3defk och(longueur, n ): 4

5ifn = =0 :6forward(longueur)7else: 8koch(longueur/3, n¡1)9left (60)10koch(longueur/3, n¡1)11right (120)12koch(longueur/3, n¡1)13left (60)14koch(longueur/3, n¡1)15

16deff locon(t aille, e tape): 17koch( taille , etape)18right (120)19koch( taille , etape)20right (120)21koch( taille , etape)22

23

24fori i nr ange(0, 6): 25up()26setheading(0)27goto(¡280+i*100, 100)28down()29speed(0)30flocon(50 , i )31hideturtle ()32done()vonkochfigure.py

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd2/3

Correction du programme

1

2fromm athi mport*3

4defV onKoch(I ) : 5n=36c=1/37A=c**2*sqrt (3)/48p=n*c9fori i nr ange(1, I +1): 10c=c/311A=A+n*c**2*sqrt (3)/412n=n*413p=n*c14return( n,c, A,p)vonkochcorrection.py

Stéphane MirbeldLycée Gay LussacdLimogesdmath-adore.frd3/3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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